四川省成都石室中学高三数学上学期“一诊”模拟试题

石室中学高2014届2013～2014学年度上期“一诊”模拟考试（一）
数学(理科)试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1.设集合}1,0,1
{-
=
M，}
,
{2a
a
N=则使M∩N＝N成立的a的值是（）
A．1 B．0 C．－1 D．1或－1
2.复数i
i
(
1
1
3
-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）
A．(1,1) B．(1,1)
- C．(1,1)
- D．(1,1)
--
3.已知函数,
,
)
2
1
(
,
)
(
2
1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
>
=
x
x
x
x
f
x
则=
-)]
4
(
[f
f（）
A．4
- B．
4
1
- C．4 D．6
4.函数
ln||
||
x x
y
x
=的图像可能是（）
5.实数y
x,满足条件
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≥
+
-
≤
-
+
,0
2
2
4
y
x
y
x
y
x
,则y
x-
2的最小值为（）
A．16B．4C．1 D．
1
2
6.下列说法中正确的是（）
A．“5
x>”是“3
x>”必要条件
B．命题“x R
∀∈，210
x+>”的否定是“x R
∃∈，210
x+≤”
C．R
m∈
∃，使函数)
(
)
(2R
x
mx
x
x
f∈
+
=是奇函数
D．设p，q是简单命题，若p q
∨是真命题，则p q
∧也是真命题
7.阅读程序框图，若输入4
m=，6
n=，则输出i
a,分别是（）
A．12,3
a i
== B．12,4
a i
== C．8,3
a i
== D．8,4
a i
==
8.设函数)2
2
,0)(sin(3)(π
φπ
ωφω<
<->+=x x f 的图像关于直线3
2π
=
x 对称,它的周期是π,则（ ）
A ．)(x f 的图象过点)2
1,0( B ．)(x f 的一个对称中心是)0,12
5(π
C ．)(x f 在]3
2,12[
π
π上是减函数 D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象
9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）
A ．12种
B ．24种
C ．28种
D ．36种
10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x e
x f x
，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，
则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).
A ．有两个
B ．有一个
C ．没有
D ．上述情况都有可能
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.已知向量a ρ、b ρ满足(1,0),(2,4)a b ==r r
，则=+→→||b a .
12.4
5)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.
13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .
14.已知二次函数)R (4)(2
∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，
，则a
c 9
1+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足
0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→
||(T 为常数)在区间]
,[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=x
y ； ③2
x y =； ④x x y 1-=.
则在区间]2,1[上具有“4
1
性质”的函数为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，2
3210a a =-.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设{}n b 是以函数2
4sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的
前n 项和n S .
17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-u r
,
(2,0)n =r ，且m u r 与n r 所成角为3
π
.
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.
18. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：
根据上表：
（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.
19. (本小题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；
（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒
角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
20. (本小题满分13分)已知()||,=-+∈R f x x x a b x . （Ⅰ）当1,0a b ==时,判断()f x 的奇偶性,并说明理由； （Ⅱ）当1,1a b ==时,若5
(2)4
x
f =
,求x 的值； （Ⅲ）若0b <,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.
21. (本小题满分14分)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f （Ⅰ）a e =时，求()f x 在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1=a 时，设函数x
x f x g )()(=
，若1),1,1
(,2121<+∈x x e x x ，求证：42121)(x x x x +<
石室中学高2014届一诊模拟考试(一)数学理科答案
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 5 ； 12. -5 ；13. -1 ；14. 3 ； 15. ①③④ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12
112210
a a d a d ⎧=⎪
⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-（舍）……………5分 所以2(1)22n a n n =+-⨯= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）21cos 24sin 42
x
y x ππ-==⨯Q 2cos22x π=-+
其最小正周期为
212π
π
=，故首项为1；……………………………………………………7分 因为公比为3，从而1
3n n b -= ……………………………………………………………8分 所以1
23n n n a b n --=-，故()()()
011234323n n S n -=-+-++-L
()2213213n n n +-=-
-211
322
n n n =++-⋅………………………………………………12分
17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）Θ (sin ,cos )m b A a a B =-u r 与向量(2,0)n =r 所成角为3
π
，
∴3sin cos 1=-B B ∴1cos sin 3=+B A ，∴2
1)6sin(=+πB
又Θπ<<B 0，
∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π
=B …………6分
（Ⅱ）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3
π
∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+
=)3
sin(A +π
Θ30π<<A ，∴3
233π
ππ<+<A
所以C A sin sin +的范围为,1]2
. ……… …12分
18. (本小题满分12分)
解（I ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则1
221
()(1)(1)(1)23318
P A =---=
………………………………………………………4分 （II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，5
4121
(0)(1)(1),2348
P ξ==--=g
1344112121(1)(1)(1)(1),223238
P C ξ==--+-=g g g g 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324
P C C ξ==--+-=g g g g g
3322
2441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=g g g g g g
433
4121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=g g g g
4121
(5)(),2324
P ξ===g ……………………………………………………………10分
所以随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0 1 2 3 4 5
P
148 18 724 13 316 124
故18
01234548824316243
E ξ=+++++=g g g g g g ………………………12分
19. (本小题满分12分)
解： （Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，12AB BC AA ==，90
ABC ︒
∠=连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点.又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， 因为 OD ⊂平面1ADC ，
1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . …………4分
（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒
∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系xyz B -. …………5分
Θ2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .
所以 (1,2,0)AD =-u u u r ，1(2,2,1)AC =-u u u u r
设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,
0.
n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r
所以 20,220.
x y x y z -=⎧⎨-+=⎩
取1=y ，得)2,1,2(-=n . …………………… …6分
易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………7分
由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2
cos ,3
⋅〈〉==n v n v n v .……………8分 所以二面角1C AD C --的余弦值为2
3
. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .
因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.
所以 (0,2,1)AE λ=-u u u r ，1(1,0,1)DC =u u u u r
. ………………………9分
因为AE 与1DC 成60︒
角，所以11
12AE DC AE DC ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r . ………………………10分
1
2
=
，解得1λ=，舍去3λ=. ……………………11分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒
角. ………………………12分 20. (本小题满分13分)
解:（Ⅰ）当1,0a b ==时,()|1|f x x x =-既不是奇函数也不是偶函数
∵(1)2,(1)0f f -=-=,∴(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-
所以()f x 既不是奇函数,也不是偶函数 ………………………………………………3分 （Ⅱ）当1,1a b ==时,()|1|1f x x x =-+, 由5(2)4x
f =
得52|21|14
x x
-+= 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或221
1(2)204
x x x
⎧<⎪⎨-+=⎪⎩
解得111
222222
x
x x -=
==或（舍），或
所以2
2log log (11x ==+-或1x =- ………………………………………………8分 （Ⅲ）当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立, 故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为||b x a x --<
；即b b x a x x x
+<<- 故(]max min ()(),0,1b
b x a x x x x
+<<-∈
又函数()b g x x x =+
在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1b
x g b x +==+; 对于函数(](),0,1b
h x x x x
=-∈
①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1b
x h b x
-==-,又11b b ->+,
所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +- ②当10b -≤<,在(]0,1上
,()b
h x x x
=-
≥,
当x =
时,min ()b
x x
-=此时要使a 存在,
必须有110
b b ⎧+<⎪⎨
-≤<⎪⎩即13b -≤<,此时a 的取值范围是(1b +
综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-;
当13b -≤<时,a 的取值范围是(1b +;
当30b ≤<时,a 的取值范围是∅ ………………………………………………13分 21. (本小题满分14分)
解（Ⅰ）32y x =-………………………………………………3分
（Ⅱ）x ax x x f +=)ln(2)(',2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=，即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立
设x ax x u -+=1ln 2)(,2,012
)('==-=x x
x u ，2>x 时，单调减，2<x 单调增， 所以2=x 时，)(x u 有最大值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ，
所以2
0e
a ≤<. ………………………………………………8分
（Ⅲ）当1=a 时，x x x x f x g ln )
()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1
,0(e
上是减函数.
因为11
211<+<<x x x e
，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+
即)ln(ln 211211x x x x x x ++<
,
同理)ln(ln 212
2
12x x x x x x ++<. 所以)ln()2()ln()(ln ln 211
2212112122121x x x x
x x x x x x x x x x x x +++=++++<+ 又因为,4212
21≥++
x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号. 又1),1,1
(,2121<+∈x x e x x ，0)ln(21<+x x ,
所以)ln(4)ln()2(21211
2
21x x x x x x x x +≤+++,
所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+， 所以：42121)(x x x x +<. ………………………………………………14分。