4.28高一数学卷子含答案

1．若复数满足 ，其中为虚数单位，则B
A ．1i -
B ．1i +
C ．1i -+
D ．1i --
2．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ B ）
A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 3、设()5
2
501252x a a x a x a x -=++，那么
024
13
a a a a a +++的值为（ B ）
A ： －
122121 B ：－6160 C ：－244
241
D ：-1
4．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项， 每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有C
A ．120种
B ．180种
C ．240种
D ．480种
5．近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市场，在海外设了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派
愿意被外派 不愿意被外派 合计
中年员工 20
20 40 青年员工 40 20 60 合计
60 40 100
由2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++并参照附表，得到的正确结论是A
附表
20()P K k ≥
0.10 0.01 0.001
0k
2.706 6.635 10.828
A ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄有关”；
B ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为 “是否愿意外派与年龄无关”；
C ．有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”；
D ．有99% 以上的把握认为“是否愿意外派与年龄无关”．
6．5
1(2)2
x y -的展开式中23
x y 的系数是A
A ．－20
B ．－5
C ．5
D ．20
7．在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为D A ．
6
25
B ．
3
10
C ．
35
D ．
12
8．“杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S = B A ．1024
B ．1023
C ．512
D ．511
9．若函数11()ln 22
f x x a x ⎛⎫=-+
-- ⎪⎝⎭至少有1个零点，则实数a 的取值范围是C A ．(,1)-∞
B ．[0,1)
C ．1
(,]e
-∞
D ．1[0,]e
10．某射手每次射击击中目标的概率为p ，这名射手进行了10次射击，设X 为击中目标的
次数， 1.6DX =，(=3)(=7)P X P X <，则p =A A ．0.8
B ．0.6
C ．0.4
D ．0.2 11．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有B A ．60对
B ．48对
C ．30对
D ．24对
11．解：直接法：如图，在上底面中选11B D ，四个侧面中的面对角线都与它成60︒，共8
对，同样11A C 对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对，所以全部共有48对． 间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为
60︒，所以成角为60︒的共有212
12648C --=．
12.设函数()2sin ,(0,)x
f x e a x x π=-∈有且仅有一个零点，则实
数a 的值为（ B ）
A.
4
π
B. 42π
C. 22
x e
D.
2
π
二、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
13．（12分）已知函数3
()=f x x x -．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值．
解：（1）由3()=f x x x -得2()=31f x x '- …………………………1分
令()0f x '=
得x =， ……………………………………………2分
当(,x ∈-∞-
和+∞）时，()>0f x '； ………………………………3分
当(3x ∈
-)3
时，()<0f x '， ……………………………………………4分 因此，()f x
的单调递增区间为(,-∞
和+∞）， ………………5分
单调递减区间为(3
-
． ………………………………6分
1
（2）由（1），列表得
………………………………………………………………………………………8分
因为 (1)0f -=，()39f -
=，39
f =-
，(2)6f = ………………10分 所以()f x 在区间[1,2]-上的最大值为6，,最小值为9
-
． ………………12分 14．（12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
3
4
．现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品. （1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率； （2）随机选取3件产品，
（i ）记一等品的件数为X ，求X 的分布列； （ii ）求这三件产品都不能通过检测的概率．
解：（1）设随机选取一件产品，能通过检测的事件为A ,
事件A 等于事件“选取一等品都通过或者选取二等品通过检测”，则
73337
()1010440
P A =
+⨯=. ……………………………………………………3分 （2）（i ）X 的可能取值为0,1,2,3. …………………………………………………4分
03
733101
(0)120C C P X C ===， ……………………………………………………5分
1273310217
(1)12040C C P X C ====， ……………………………………………………6分
21733106321
(2)12040C C P X C ====， ……………………………………………………7分
3073310357
(3)12024
C C P X C ====. ……………………………………………………8分
故X 的分布列为
……………………………………………………9分
（ii ）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ，事件B 等于事件“随机选取3件产
品都是二等品且都不能通过检测”，所以，3
111
()12047680
P B ⎛⎫=⋅=
⎪⎝⎭ …………12分 15．（12分）近年来，人们对食品安全越来越重视，有机蔬菜的需求也越来越大，国家也制
定出台了一系列支持有机肥产业发展的优惠政策，鼓励和引导农民增施有机肥，“藏粮于地，藏粮于技”．根据某种植基地对某种有机蔬菜产量与有机肥用量的统计，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y （百斤）与使用有机肥料x （千克）之间对应数据如下表：
（1）根据表中的数据，试建立y 关于x 的线性回归方程y bx a =+（精确到0.01）； （2） 若种植基地每天早上7点将采摘的某有机蔬菜以每千克10元的价格销售到某超
市，超市以每千克15元的价格卖给顾客．已知该超市每天8点开始营业，22点结束营业，超市规定：如果当天16点前该有机蔬菜没卖完，则以每千克5元的促销价格卖给顾客(根据经验，当天都能全部卖完
)．该超市统计了100天该有机蔬菜在每天的16点前的销售量(单位：千克)，如下表：
若以100天记录的频率作为每天16点前销售量发生的概率，以该超市当天销售该
有机蔬菜利润的期望值为决策依据，说明该超市选择购进该有机蔬菜110千克还是120千克，能使获得的利润更大？
附：回归直线方程ˆˆy
bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1
1
2
2
2
1
1
()()()
n n
i
i
i i i i n
n
i
i i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，ˆa
y bx =-． 参考数据：
8
1
261.8i i
i x y
==∑，8
21
()42i i x x =-=∑．
21．(12分) 解：（1）345678910
6.58
x +++++++=
=，
2.1 2.9
3.5
4.2 4.8
5.6
6.2 6.7 4.58
y +++++++== ……………………1分
因为
888
8
2
2
2
2
21
1
1
1
()28842i i i i i i i i x x x x x x x x ====-=-+=-=∑∑∑∑， …………………2分
所以 8
18
2
21
8261.88 6.5 4.527.8
0.664242
8i i
i i i x y x y
b x x
==--⨯⨯=
=
=≈-∑∑，…………………3分
a y
b x ∧∧
=- 4.50.66 6.50.21=-⨯=， …………………………………………4分
所以y 关于x 的线性回归方程为0.660.21y x ∧
=+. …………………………………5分 （2）若该超市一天购进110千克这种有机蔬菜， 若当天的需求量为100千克时，获得的利润为：10015-10-110-10010-5=450⨯⨯（）（）（）（元）；若当天的需求量大于等于110千克时，获得的利润为：11015-10=550⨯（）（元）…………………………………………6分 记1X 为当天的利润(单位：元)，则1X 的分布列为
7分
1X 数学期望是11090450550540100100
EX =⨯
+⨯= ……………………………8分 若该超市一天购进120千克这种有机蔬菜， 若当天的需求量为100千克时，获得的利润为：10015-10-120-10010-5=400⨯⨯（）（）（）（元）；若当天的需求量为110千克时，获得的利润为：11015-10-120-11010-5=500⨯⨯（）（）（）（元）；若当天的需求量大于或等于120千克时，获得的利润为：12015-10=600⨯（）（元） ………………………………9分 记2X 为当天的利润(单位：元)，则X 的分布列为
10分
2X 数学期望是2102070400500600560100100100
EX =⨯
+⨯+⨯= ………………11分 因为 21EX EX >
所以 选择购进该有机蔬菜120千克，能使得获得的利润更大． (12)
16．（12分）已知()2ln ,1
kx
f x x k x =+
∈+R ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）
若1x ，2x 12()x x ≠为
()f x 的两个极值点，求证：
122[()()](ln 21)x f x f x k x +≤+．
解：(1) ()2ln (0)1
kx
f x x x x =+
>+ ， 22()(1)
k f x x x '=
++ ……………………………………………………1分 22
2(4)2(1)x k x x x +++=+
令2
()2(4)2g x x k x =+++，对称轴为44
k
x +=-
， ①当404
k
+-
≤，即4k ≥-时，()g x 的对称轴小于等于0，
又(0)20g =>，所以 ()0g x >在(0,)+∞上恒成立，
故 ()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增． …………………………………2分 ②当404
k
+-
>，即4k <-时，()g x 的对称轴大于0．令()0g x =， 2(4)16(8)k k k ∆=+-=+，令0∆=，得8k =-或0k =
（i ）当84k -≤<-时，0∆≤，()0g x ≥，从而()0f x '>，
此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． …………………………………………3分 （ii ）当8k <-时，0∆>，令()0g x =，
解得1x =
，2x =当10x x <<或2x x >时，()0f x '> 当12x x x <<时，()0f x '<
所以 ()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． ………5分 综上所述，当8k <-时，()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减（其
中1x =
2x =；
当8k ≥-时，f(x)在(0,)+∞上为单调增函数．………………………………………6分
(2)证明：∵222
22(4)2
()(1)(1)
k x k x f x x x x x +++'=+=++， 由（1）知，当8k <-时，()0f x '=有两个不相等的正实数根1x ，2x ，则
12
12240,2
10,
(4)160,k x x x x k +⎧
+=->⎪⎪
=>⎨⎪∆=+->⎪⎩
……………………………………………………………7分 而12
121212()()2ln 2ln 11
kx kx f x f x x x x x +=+++
++ 1212122ln()11x x x x k x x ⎛⎫
=++ ⎪++⎝⎭
1212
12121222ln()1
x x x x x x k k x x x x ++=+=+++ ………………………………………………9分
故欲证原不等式等价于证明不等式：
2(ln 21)kx k x ≤+，因为8k <-，
所以也就是要证明：对任意0x >，有2ln 21x x ≥+． …………………………10分 令()ln 221(0)g x x x x =-+>，由于1()02g =，并且1
()2g x x
'=
-，
当102x <<时，()0g x '>，则()g x 在1
(0,)2上为增函数． 当12x >时，()0g x '<，则()g x 在1
(,)2
+∞上为减函数； ……………………11分
则()g x 在(0,)+∞上有最大值1
()02
g =，即()0g x ≤，故原不等式成立．………12分。