2021-2022学年山东省青岛市市南区七年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年山东省青岛市市南区七年级第一学期期末数学试
卷
一、选择题（本歴满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（）
A．B．0C．1D．﹣2
2．角可以看成是由一条射线绕着它的点旋转而成的，这体现了（）A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．线线相交得点
3．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）
A．调查江北市民对“江北区创建国家食品安全示范城市”的了解情况
B．调查央视节目《国家宝藏》的收视率
C．调查我校某班学生喜欢上数学课的情况
D．调查学校一批白板笔的使用寿命
4．科学家发现，距离银河系约2 500 000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2 500 000用科学记数法表示为（）
A．0.25×107B．2.5×106C．2.5×107D．25×105
5．下午3：40，时针和分针的夹角是（）
A．130°B．135°C．140°D．145°
6．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝3，则最后输出的结果是（）
A．10B．12C．38D．42
7．如图是一个正方体的展开图，标注了A的是正方体的正面，若该正方体的左面和右面上标注的数值相等，则x的值是（）
A．1B．﹣1C．0D．2
8．平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（）A．18B．20C．22D．24
二、填空题（本题满分18分，共有6道小題，每小题3分）
9．若﹣2a m b2与5a5b n+1的和还是一个单项式，则m﹣n的值是．
10．a、b两数在数轴上的位置如图所示，把a、﹣a、b、﹣b用“＜”连接起来为．
11．某种商品的进价为300元，售价为450元．后来由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保证利润率为20%，则该商品应打折．
12．半径为2的圆中，扇形AOB的圆心角为60°，则这个扇形的面积是．13．如图，将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为2：3：5，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是cm．
14．观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第n个单项式为．
三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15．已知：线段a，b．
求作：线段AB，使AB＝a﹣2b．
四、解答题（本大题满分74分，共有9道小题）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．（1）化简：；
（2）先化简，再求值：4y2﹣2（x2+y）+（x2﹣4y2），其中x＝﹣1，y＝2．
18．解方程：
（1）10﹣5（x+8）＝0；
（2）．
19．为了解某品牌冰箱销售量的情况，销售人员对某商场十月份该品牌甲、乙、丙三种型号的冰箱销售量进行统计，绘制如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题：
（1）该商场十月份售出这种品牌的冰箱共多少台？
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求出乙种冰箱部分所对应的圆心角的度数；
（4）若该商场计划订购这三种型号的冰箱共1600台，根据十月份销售量的情况，求该商场应订丙种型号的冰箱多少台比较合理？
20．某仓库原有某种商品300件，现记录了8天内该种商品进出仓库的件数如下所示：（“+”
表示进库，“﹣”表示出库）+30，﹣10，﹣15，+25，+17，+35，﹣20，﹣15．
（1）经过8天，仓库内的该种商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少件商品？
（2）如果该种商品每次进出仓库都需要支付人工费每件3元，请问这8天要支付多少人工费？
21．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：不超过10本按标价销售，从第11本开始每本按标价的70%销售；乙商店的优惠条件是：每本均按标价的80%销售．
（1）小明要购买x本（x＞10）练习本时，到甲店需要付款元，到乙店需要付款元．（结果要化简）
（2）购买多少本时，两个商店付款一样多？
22．如图，∠DOC＝∠BOD，OB平分∠AOC．
（1）若∠DOC＝20°，求∠BOD和∠AOC的度数；
（2）若∠DOC＝α，则∠AOD＝°．
23．七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
（1）七年级1班有男生、女生各多少人？
（2）原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？24．阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；
边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
探究三：
请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有个正方形．
问题解决：
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有个正方形？
应用拓展：
计算：1+3+8+24+…+899＝．
参考答案
一、选择题（本歴满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（）
A．B．0C．1D．﹣2
【分析】本题是对有理数的大小比较考查，根据任何负数都小于非负数，直接得出答案．解：在有理数、0、1、﹣2中，只有﹣2是负数，
∴最小的是﹣2．
故选：D．
2．角可以看成是由一条射线绕着它的点旋转而成的，这体现了（）A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．线线相交得点
【分析】根据角的特征判断即可．
解：角可以看成是由一条射线绕着它的点旋转而成的，这体现了：线动成面，
故选：B．
3．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）
A．调查江北市民对“江北区创建国家食品安全示范城市”的了解情况
B．调查央视节目《国家宝藏》的收视率
C．调查我校某班学生喜欢上数学课的情况
D．调查学校一批白板笔的使用寿命
【分析】普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
解：A、调查江北市民对“江北区创建国家食品安全示范城市”的了解情况，故应当采用抽样调查，故本选项错误；
B、调查央视节目《国家宝藏》的收视率，故应当采用抽样调查，故本选项错误；
C、调查我校某班学生喜欢上数学课的情况，适宜采用全面调查，故本选项正确；
D、调查学校一批白板笔的使用寿命，故应当采用抽样调查，故本选项错误；
故选：C．
4．科学家发现，距离银河系约2 500 000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2 500 000用科学记数法表示为（）
A．0.25×107B．2.5×106C．2.5×107D．25×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将2 500 000用科学记数法表示为2.5×106．
故选：B．
5．下午3：40，时针和分针的夹角是（）
A．130°B．135°C．140°D．145°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
解：下午3：40，时针和分针相距的份数是4+＝，
此时钟面上的时针与分针的夹角是30°×＝130°．
故选：A．
6．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝3，则最后输出的结果是（）
A．10B．12C．38D．42
【分析】将x＝3代入程序框图计算，根据结果等于10，将x＝10代入程序框图计算，判断结果大于10，即可得到输出的结果．
解：当x＝3时，得到3×4﹣2＝12﹣2＝10，
当x＝10时，得到10×4﹣2＝40﹣2＝38，
则输出的数为38．
故选：C．
7．如图是一个正方体的展开图，标注了A的是正方体的正面，若该正方体的左面和右面上标注的数值相等，则x的值是（）
A．1B．﹣1C．0D．2
【分析】根据正方体的表面展开图，找出相对面即可解答．
解：由图可得：
标注了A的是正方体的正面，则该正方体的左面和右面分别是x和5x﹣4，
由题意得：x＝5x﹣4，
∴x＝1，
故选：A．
8．平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是m个，最多是n个，则m+n的值为（）A．18B．20C．22D．24
【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出，m、n的值即可．解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m＝1，
平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6＝21（个），即n＝21，所以m+n＝22，
故选：C．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小題，每小题3分）
9．若﹣2a m b2与5a5b n+1的和还是一个单项式，则m﹣n的值是4．
【分析】根据同类项的定义，列出式子进行计算即可解答．
解：∵﹣2a m b2与5a5b n+1的和还是一个单项式，
∴m＝5，n+1＝2，
∴m＝5，n＝1，
∴m﹣n＝5﹣1＝4，
故答案为：4．
10．a、b两数在数轴上的位置如图所示，把a、﹣a、b、﹣b用“＜”连接起来为﹣b＜a＜﹣a＜b．
【分析】在数轴上找到﹣a，﹣b两数对应的位置即可判断．
【解答】解a、b、﹣a、﹣b四个数在数轴上的位置如图所示，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b．
11．某种商品的进价为300元，售价为450元．后来由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保证利润率为20%，则该商品应打8折．
【分析】可设商店可打x折，则售价是450×0.1x＝45x元．根据等量关系：利润率为20%就可以列出方程，解方程即可求解．
解：设该商品应打x折，
则450×0.1x﹣300＝300×20%，
解得x＝8．
即该商品可打8折．
故答案为：8．
12．半径为2的圆中，扇形AOB的圆心角为60°，则这个扇形的面积是．【分析】根据扇形的面积公式求出答案即可．
解：∵扇形AOB的半径为2，圆心角为60°，
∴扇形的面积为＝，
故答案为：．
13．如图，将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为2：3：5，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 2.45或2.8cm．
【分析】先利用三段长度之比求得三段的长，然后由中间段求得折痕对应的刻度．解：∵三段长度由短到长的比为2：3：5，卷尺总长为7cm，
∴最长的一段长7×＝3.5cm，中间长的一段长7×＝2.1cm，最短一段长7×＝1.4cm，
如图，则BD＝3.5cm，
当BC为最短段时，BC＝1.4cm，2AB＝2.1cm，
∴AC＝AB+BC＝1.05+1.4＝2.45cm，
∴折痕对应的刻度为2.45cm；
当BC段为中间长的那段时，BC＝2.1cm，2AB＝1.4cm，
∴AB＝0.7cm，
∴AC＝AB+BC＝0.7+2.1＝2.8cm，
∴折痕对应的刻度为2.8cm；
综上所述，折痕对应的刻度为2.45cm或2.8cm，
故答案为：2.45或2.8．
14．观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第7个单项式为64x7；第n个单项式为（﹣2）n﹣1x n．
【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为正，数字变化规律是2n﹣1，字母变化规律是x n．
解：由题意可知第n个单项式是（﹣1）n﹣12n﹣1x n，即（﹣2）n﹣1x n，第7个单项式为（﹣1）7﹣127﹣1x7，即64x7．
故答案为：64x7；（﹣2）n﹣1x n．
三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15．已知：线段a，b．
求作：线段AB，使AB＝a﹣2b．
【分析】作射线AM，在射线AM上截取AC＝a，在线段CA上截取CB＝2b，线段AB 即为所求．
解：如图线段AB即为所求．
四、解答题（本大题满分74分，共有9道小题）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．
解：（1）原式＝+﹣
＝+﹣
＝
＝
＝；
（2）原式＝﹣1+16÷（﹣8）﹣（﹣）×4
＝﹣1﹣2+
＝﹣2．
17．（1）化简：；
（2）先化简，再求值：4y2﹣2（x2+y）+（x2﹣4y2），其中x＝﹣1，y＝2．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可求出答案．
（2）先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x与y的值代入化简后的式子即可求出答案．
解：（1）原式＝﹣x2+x﹣2﹣x+
＝﹣x2﹣．
（2）原式＝4y2﹣2x2﹣2y+x2﹣4y2
＝﹣x2﹣2y，
当x＝﹣1，y＝2时，
原式＝﹣1﹣4
＝﹣5．
18．解方程：
（1）10﹣5（x+8）＝0；
（2）．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．解：（1）去括号，可得：10﹣5x﹣40＝0，
移项，可得：﹣5x＝﹣10+40，
合并同类项，可得：﹣5x＝30，
系数化为1，可得：x＝﹣6．
（2）去分母，可得：2（3x+1）﹣（3x﹣2）＝8，
去括号，可得：6x+2﹣3x+2＝8，
移项，可得：6x﹣3x＝8﹣2﹣2，
合并同类项，可得：3x＝4，
系数化为1，可得：x＝．
19．为了解某品牌冰箱销售量的情况，销售人员对某商场十月份该品牌甲、乙、丙三种型号的冰箱销售量进行统计，绘制如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题：
（1）该商场十月份售出这种品牌的冰箱共多少台？
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求出乙种冰箱部分所对应的圆心角的度数；
（4）若该商场计划订购这三种型号的冰箱共1600台，根据十月份销售量的情况，求该商场应订丙种型号的冰箱多少台比较合理？
【分析】（1）利用商场十月份售出这种品牌的冰箱的台数＝甲种型号的冰箱数÷对应的百分比求解，
（2）先求出丙型号的冰箱数，再补全条形统计图，
（3）利用乙种冰箱部分所对应的圆心角的度数＝×360°求解即可．
（4）利用商场应订丙种型号的冰箱数＝计划订购这三种型号的冰箱数×丙种型号的冰箱百分比求解即可．
解：（1）该商场十月份售出这种品牌的冰箱的台数300÷30%＝1000（台）．
（2）销丙型号的冰箱数为1000﹣450﹣300＝250（台），补全条形统计图，如下图：
（3）乙种冰箱部分所对应的圆心角的度数×360°＝162°．
（4）商场应订丙种型号的冰箱数：1600×＝400（台）．
20．某仓库原有某种商品300件，现记录了8天内该种商品进出仓库的件数如下所示：（“+”
表示进库，“﹣”表示出库）+30，﹣10，﹣15，+25，+17，+35，﹣20，﹣15．
（1）经过8天，仓库内的该种商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少件商品？
（2）如果该种商品每次进出仓库都需要支付人工费每件3元，请问这8天要支付多少人工费？
【分析】（1）把这些数据全部相加，即可判断；
（2）把这些数的绝对值相加，然后进行计算即可解答．
解：（1）+30+（﹣10）+（﹣15）+（+25）+（+17）+（+35）+（﹣20）+（﹣15）＝47（件）
300+47＝347（件），
答：经过8天，仓库内的该种商品是增加了47件，此时仓库还有347件商品；
（2）|+30|+|﹣10|+|﹣15|+|+25|+|+17|+|+35|+|﹣20|+|﹣15|
＝167（件），
3×167＝501（元），
答：这8天要支付501元人工费．
21．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是：不超过10本按标价销售，从第11本开始每本按标价的70%销售；乙商店的优惠条件是：每本均按标价的80%销售．
（1）小明要购买x本（x＞10）练习本时，到甲店需要付款（0.7x+3）元，到乙店需要付款0.8x元．（结果要化简）
（2）购买多少本时，两个商店付款一样多？
【分析】（1）根据题意，可以分别写出到两家商店的付款情况；
（2）根据到两个商店付款一样多和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可．
解：（1）由题意可得，
小明要购买x本（x＞10）练习本时，到甲店需要付款10×1+（x﹣10）×1×70%＝（0.7x+3）元，到乙店需要付款1×80%x＝0.8x（元），
故答案为：（0.7x+3），0.8x；
（2）由题意可得，
0.7x+3＝0.8x，
解得x＝30，
答：购买30本时，两个商店付款一样多．
22．如图，∠DOC＝∠BOD，OB平分∠AOC．
（1）若∠DOC＝20°，求∠BOD和∠AOC的度数；
（2）若∠DOC＝α，则∠AOD＝5α°．
【分析】（1）根据∠DOC＝∠BOD得到∠BOD＝3∠DOC，求出∠BOC，根据角平分线的定义即可得出答案；
（2）方法同（1）问，最后根据∠AOD＝∠DOC+∠AOC即可得出答案．
解：（1）∵∠DOC＝∠BOD，∠DOC＝20°，
∴∠BOD＝3∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝60°﹣20°＝40°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠BOC＝80°，
答：∠BOD和∠AOC的度数分别为60°，80°；
（2）∵∠DOC＝∠BOD，
∴∠BOD＝3∠DOC＝3α°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝3α°﹣α°＝2α°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠BOC＝4α°，
∴∠AOD＝∠DOC+∠AOC＝5α°，
故答案为：5α．
23．七年级1班共有学生45人，其中男生人数比女生人数少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒，每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
（1）七年级1班有男生、女生各多少人？
（2）原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？
【分析】（1）根据男生人数+女生人数＝总人数，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以计算出原计划制作的筒身和筒底数，然后看一下数量是否是二倍的关系即可判断原计划生产的是否配套；然后根据判断设男生要支援女生a人，再列方程，解答即可．
解：（1）设女生有x人，则男生有（x﹣3）人，
由题意可得：x+（x﹣3）＝45，
解得x＝24，
∴x﹣3＝21，
答：七年级1班有男生21人，女生24人；
（2）女生可以做筒身：24×30＝720（个），男生可以做筒底：21×90＝1890（个），∵720×2＜1890，
∴原计划每节课做出的筒身和筒底不配套；
设男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，
（24+a）×30×2＝（21﹣a）×90，
解得a＝3，
答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．
24．阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；
边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
探究三：
请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有55个正方形．
问题解决：
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有个正方形？
应用拓展：
计算：1+3+8+24+…+899＝9411．．
【分析】探究三：根据探究二的思路可得答案；
探究四：根据探究三的思路得出规律可得解决问题；
问题解决：正方形的个数为12+22+32+…+n2＝1+4+9+…+n2＝个；
应用拓展：将原式转化为1+（22﹣1）+（32﹣1）+（42﹣1）+…+（302﹣1）再利用规律计算即可．
解：探究三：如图，
边长为1的正方形有42＝16个；边长为2的正方形有32＝9个；边长为3的正方形有22＝4个，边长为4的正方形有12＝1个，
总共有12+22+32+42＝1+4+9+16＝＝30个正方形；
探究四：
将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中正方形的个数为：
12+22+32+42+52＝1+4+9+16+25＝＝55个，
故答案为：55；
问题解决：
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中正方形的个数为12+22+32+…+n2＝1+4+9+…+n2＝个，故答案为：；
应用拓展：
原式＝1+（22﹣1）+（32﹣1）+（42﹣1）+…+（302﹣1）﹣（42﹣1）
＝12+22+32+42+…+302﹣29﹣15
＝﹣44
＝9411．
故答案为：9411．。