2017年高考理科数学全国卷2含答案

y 3≥0.
（）
A. 15
B. 9
C.1
D.9
6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的
安排方式共有
（）
A.12 种
B.18 种
C.24 种
D.36 种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有 2
姓名________________ 准考证号_____________
------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- ----------------
线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为
（）
A. 3 2
B. 15 5
C. 10 5
D. 3 3
11.若 x 2 是函数 f (x) (x2 ax 1)ex1 的极值点，则 f (x) 的极小值为
（）
A. 1
B. 2e3
C. 5e3
D.1

12.已知 △ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的
1 2 有灯 3 盏，故选 B. 名师点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型— —数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、 求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最 值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得
卷
笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
上
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、
刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
效
理科数学试卷 第 5页（共 22页）
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的 第一题计分.
22.[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1
的极坐标方程为 cos 4 . （1） M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM | | OP | 16 ，求点 P
效
体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，
则该几何体的体积为
（）
A. 90
B. 63
C. 42
D. 36 理科数学试卷 第 1页（共 22页）
2x 3y 3≤0, 5.设 x ， y 满足约束条件 2x 3y 3≥0, 则 z 2x y 的最小值是
D. 1, 5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻
无
两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯
（）
A.1 盏
B.3 盏
C.5 盏
D.9 盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何
z1 z2 | z1 |2 | z2 |2 ，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化.
【考点】复数的除法
2.【答案】C 【解析】试题分析：由 A B {1} 得1 B ，即 x 1 是方程 x2 4x m 0 的根，所以
1 4 m 0 ， m 3 ， B {1,3} ，故选 C． 名师点睛：集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合， 在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视 元素的互异性；②保证运算的准确性． 【考点】交集运算，元素与集合的关系 3.【答案】B 【解析】试题分析：设塔的顶层共有灯 x 盏，则各层的灯数构成一个首项为 x ，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有： x(1 27 ) 381 ，解得 x 3 ，即塔的顶层共
有一项是符合题目要求的.
答
1.
3 1
i i

（）
A.1 2i
B.1 2i
C. 2 i
D. 2 i
2.设集合 A 1,2,4 ， B x x2 4x m 0 .若 A B 1 ，则 B
（）
题
A. 1, 3
B. 1, 0
C. 1, 3
角为 45o ，求二面角 M AB D 的余弦值.
卷
20.（12 分）
设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C : x2 y 2 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，
上
2
点 P 满足 NP 2 NM .
（1）求点 P 的轨迹方程；
19.（12 分）
在
如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形
且 垂 直 于 底 面 ABCD ， AB BC 1 AD ，
2
BAD ABC 90o ， E 是 PD 的中点.
（1）证明：直线 CE∥平面 PAB ；
此
（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成
理科数学试卷 第 2页（共 22页）
最小是
A. 2
B. 3 2
C. 4 3
（）
D. 1
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，
X 表示抽到的二等品件数，则 DX
.
14.函数 f (x) sin2 x 3 cos x 3 (x [0, ]) 的最大值是
，
其
体
积
V2

1 2
( 32
6)

27
，
故该
组
合
体
的
体
积
V V1 V2 36 27 63 ．故选 B．
名师点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据 三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中 为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进 行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的 形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 【考点】三视图，组合体的体积 5.【答案】A 【解析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即： y 2x z ，其中 z 表示斜率为 k 2 的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形 结合可得目标函数在点 B(6, 3) 处取得最小值， Zmin 2 (6) (3) 15 ，故选 A.
.
4
2
15.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a3
3， S4
n
10 ，则
1
S k 1 k

.
16.已知 F 是抛物线 C : y2 8x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N .
若 M 为 FN 的中点，则 FN
.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法 有关：
箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）.
（2）设点 Q 在直线 x 3 上，且 OP PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过
答
C 的左焦点 F .
题
21.（12 分）
已知函数 f (x) ax2 ax x ln x ，且 f (x)≥0 .
无
（1）求 a ；
（2）证明： f (x) 存在唯一的极大值点 x0 ，且 e2＜f (x0 )＜22 .
（）
A.2
B.3
C.4
D.5
9.若双曲线
C
:
x a
2 2

y2 b2
1（ a

0 ，b 0 ）的一条渐近线被圆 (x 2)2

y2

4 所截得的
弦长为 2，则 C 的离心率为
（）
A.2
B. 3
C. 2
D. 2 3
3
10.已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 120 ， AB 2 ， BC CC1 1 ，则异面直
理科数学试卷 第 7页（共 22页）
出结论.
【考点】等比数列的应用，等比数列的求和公式
4.【答案】B
【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，
高为 4 的圆柱，其体积V1 32 4 36 ，上半部分是一个底面半径为 3，高为 6 的圆
柱的Βιβλιοθήκη 一半------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- ----------------
（一）必考题：共 60 分. 17.（12 分）
△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 已知 sin( A C) 8sin2 B . 2
（1）求 cos B ； （2）若 a c 6 ， △ABC 的面积为 2 ，求 b .
18.（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）.其频率分布直方图如下：
的轨迹 C2 的直角坐标方程；
（2）设点
A
的极坐标为
(2,
) 3
，点
B
在曲线
C2
上，求
△OAB
面积的最大值.
23.[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知 a 0 ， b 0 ， a3 b3 2 .证明：
（1） (a b)(a5 b5 )≥4 ；
（2） a b≤2 .
理科数学试卷 第 6页（共 22页）
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：
3 1
i i

(3

i)(1 2
i)

2

i
，故选
D.
名师点睛：复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除.除法实际上是分母实数化的
过程.在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若 z1 ， z2 互为共轭复数，则
绝密★启用前
在
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
此 本试卷共 23 题，共 150 分，共 6 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴
在条形码区域内。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字
P(K 2≥k) 附：
k
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
K2
n(ad bc)2
(a b)(c d)(a c)(b d)
理科数学试卷 第 3页（共 22页）
理科数学试卷 第 4页（共 22页）
姓名________________ 准考证号_____________
位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.
看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则
（）
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的 a 1，则输出的 S