人教版七年级实数平方根与立方根

平方根与立方根 知识点一：算术平方根
1．定义
一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的__________．
2．表示方法
a 的算术平方根记为__________，读作“根号a ”，a 叫被开方数．
3．算术平方根的性质
①正数a a
②0的算术平方根是00=__________；
③负数没有算术平方根．
④a a 是非负数，即a ≥0a a ≥0．
【例1-1】求下列各数的算术平方根.
①10 ②25 ③64
49 ④0.01 ⑤23
【例1-2】设3-a 是一个数的算术平方根，那么（ ）.
A ．a ≥0
B ．a >0
C ．a >3
D ．a ≥3
【例1-3】算术平方根等于它本身的数有__________．
【例1-4】13-m 的算术平方根是2，16-+n m 的算术平方根是3，求n m 29+的算术平方根.
举一反三
1. 16的算术平方根是________．
2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =
；①S a =；①S 是a 的
算术平方根；①a 是S 的算术平方根.正确的是（ ）
A ．①①
B ．①①
C ．①①
D ．①①
3. 12+x 的算术平方根是2，则x ＝________．
4. 已知，()132++-=b a y ，当b a ,取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时，求a b 的非算术平方根.
知识点二：平方根
1. 平方根的概念
一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫做a 的________或二次方根．
【注意】在这里，a 是x 的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a ≥0．
2. 平方根的性质
①一个正数a 有_______个平方根，其中一个是“a ”，另一个为“a -”，它们互为相反数； ②0的平方根是0；
③负数没有平方根．
3. 开平方的概念
求一个数a 的平方根的运算，叫做__________．
4. 利用平方根的定义解方程
将各式转化为等号的左边是含x 的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如m x =2或()()02
≥=+m m b ax ，然后利用平方根的定义得到m x ±=或m b ax ±=+，进而得到原方程的解．
5．平方根与算术平方根的区别
①定义不同；
②个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同，正数a 的平方根表示为a a a ；
④取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．
【例2-1】25的平方根是（ ）.
A ．5
B ．-5
C ．5±
D ．±5
【例2-2】 下列说法正确的（ ）. ①2-是2的一个平方根；②4-的算术平方根是2；③16的平方根是±2；④0没有平方根.
A ．①②③
B ．①④
C ．①③
D ．②③④
【例2-3】求下列各式的值： ①144 ②81.0- ③196121±
④256
【例2-4】 求下列各式中的x ．
x 2=17 049
1212=-x 【例2-5】若一个正数的算术平方根是a ，则比这个数大3的正数的平方根是（ ）. A ．32+a B ．32+-a C ．32+±a D ．3+±a
举一反三
1. ()2
0.7-的平方根是（ ）
A ．0.7-
B ．0.7±
C ．0.7
D ．0.49
2. 下列说法中正确的是（ ）
A ．81的平方根是3±
B ．1的立方根是±1
C ．11±=
D ．5-是5的平方根的相反数
3. 计算.
=412___________ =±169___________ =-289
4___________ 4. 求下列各式中x 的值. ()16142=-x ()011242=-+x
5. 已知9的算术平方根是a ，b 的平方是25，求ab 的值．
知识点三：立方根
1．立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的__________或三次方根．这就是说，如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．
2. 表示方法：一个数a 的立方根，用符号3
a 表示，读作：“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数．
注：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．
3．开立方
求一个数的立方根的运算，叫做__________． 性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；
33a a -= ③3333()a a =a ．
开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．
4．平方根和立方根的区别和联系
①被开方数的取值范围不同 在a a 是非负数，即a ≥03a 中，被开方数a 是任意数．
②运算后的数量不同
一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．
【例3-1】 -64的立方根是（ ）.
A ．-4
B ．4
C ．±4
D ．不存在
【例3-2】 下列计算中，错误的是（ ）.
A 30.125
B 3273644-=-
C 3313182=
D ．3821255-=-
【例3-3】若83-=a ，则a =__________．
【例3-4】已知，一个正数的平方根是12-a 与a -2，求a 的平方的相反数的立方根.
【例3-5】 已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的立方根是4，求b a +的平方根．
举一反三 1. 33(1)- ）.
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1 2. 求下列各式的值：
（130.001 （23343125
- （3）327191--．
3. 求下列各式中的x .
012583=+x ()2733=+x
4. 若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.
5. 已知12+x 1362-+y x 的立方根是2．
（1）求y x ,的值；
（2）求xy 3的平方根．
知识点四：非负性的运用
非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

初中阶段三种非负数：
①绝对值a ；
②偶次方n a 2；
③偶次方根()02≥a a n .
非负数有最小值，最小值为0.
【例4-1】 若622=---
-y x x 求x y 的立方根.
【例4-2233(2)0x y z --++=，求xyz 的值.
【例4-3】已知()0132=--+++y x y x ，求y x -的平方根.
举一反三
1. 已知,21221+-+
-=x x y 求y x 的值.
2. 已知6+-b a 与8-+b a 互为相反数，求b a ,的值。

3. 已知22(4)20,()y x y x y z xz -+++-=求的平方根。

一、课堂练习（60分钟）
1. 81的算术平方根是（ ）
A ．9±
B ．9
C ．-9
D ．3
2.如果5.1=y ，那么y 的值是（ ）
A ．2.25
B ．22.5
C ．2.55
D ．25.5
3. 下列各式中正确的是（ ）
A ．525±=
B ．()662-=-
C ．()222-=
D ．()33
2=-
4．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则这个正数是（ ）
A.1
B.3
C.4
D.9
5．在下列说法中： ①0.09是0.81的平方根；①－9的平方根是±3；①的算术平方根是－5；负数；①0的相反数和倒数都是0；；①已知． 正确的是 ．（只填序号）
6．()2
6-的算术平方根是__________。

7a 3±，则317-a = .
8．若 ． 优化1. 若3x x =，则=x ．
优化2. 若实数、，则与的关系是 ．
优化3. 若2
442
2+---=x x x y ，求y x +2的值． 2(5)-2-42=±a 2||a a =2(23)a +2b -b
a =x y 330x y -=x y
已知0276432=-+-b a ，求()1+-b b a 的算术平方根.
课堂小结
巩固提高
1.计算题.
33216.00121.0125.0--+
2. 若,x y 都是实数，且338y x x =
--，求3x y +的立方根.
3. 若 0)3
3(32=-++y x ，求()2020xy 的值
33271893111864256
--31252(1)4
x -=-2361(1)16x -+=。