单项式乘多项式法则的再认识——因式分解(一)教学案例
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泛的应用。
【 关键词 】因式分解 ； 类比 ； 探索 【 中图分类号 】 Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 【 文献标识码 】 Ａ
案 例 分析 教 学过程 设 计
【 文章编号 】 ２ ０ ９ ５ ． ３ ０ ８ ９（ ２ ０ １ ６ ） ２ ８ ． Ｏ １ １ ７ ． ０ ｌ
（ 三 ）『 例 题 研 究 Ｊ例 １ 把 下列各式分解 因式 （ １ ）６ ａ ３ ｂ一 ９ ａ ２ ｂ ２ ｃ（ ２ ）一 ２ ｍ３ ＋８ ｍ２— １ ２ ｍ【 评析 】（ １ ）因式分解 的概 念和意义需要学生多层次的感受 ，教 师不要期望一次透彻的讲
教学方法
课 程教 育研 究
单项式乘多项式法则的再认识
孔 华 明
（ 南京市高淳 区固城 中学
因式分解 （ 一） 教 学案例
２ １ １ ３ ０ ４ ）
江苏 南京
【 摘要】 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础，又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中 有广
６ ｘ ）（ ３ ）ａ ３一 ａ ２ ＝ ａ ２（ ａ一 １ ）＝ ａ ３一 ａ ２【 评析 】（ １ ）这 些 多 是学生易错 的，本题设置的 目的是让学生运 用例 １ 的成果准确
辨别因式分解 中的常见错误 ，对 因式分解 的认识更加清晰。本 例仍采用小组讨论 、 交流的方式 ， 让学生都参与到课堂活动 中。 （ ２ ）当多项式的某一项恰好是公 因式时，这 一项应看成它与 １ 的乘积 ， 提公 因式后剩下的应是 １ 。１ 作为项的系数通常可省略， 但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。（ ３ ）进行 多 项式分解 因式时，必须把每一个 因式都分解到不能分解为止。 （ 五） 想一想如何把 多项式 ３ ａ（ ｘ ＋ ｙ ） ． ２ ｂ（ ｘ ＋ ｙ ） 分解 因式？ 评析 ： 公因式 （ ｘ ＋ ｙ ）是 多项式 ，属较 高要求， 当多项式中有 相同的整体 （ 多项式）时 ，不要把它拆开，提取公 因式 时把 它 整体提 出来 ，有 时还 需要做适 当变形 ，如 （ ２ － ａ ）＝ ．（ ａ － ２ ） ，教 学时可初步渗透换元思想 ， 将换元思想引入 因式分解 ，可使 问
分 解 方 法 的理 解 。 （ 四 ）『 巩 固练 习 』练 一 练 ： 辨 别 下 列 因式 分解 的正 误 （ １ ）
８ ａ ３ ｂ ２— １ ２ ａ ｂ ４ ＋４ ａ ｂ － － ４ ａ ｂ （ ２ ａ ２ ｂ一 ３ ｂ ３ ） （ ２ ） ４ ｘ ２— １ ２ ｘ ３ ＝ ２ ｘ ２ （ ２—
①ａ ｂ ＋ａ ｃ ＋ ｄ ＝ ａ（ ｂ ＋ ｃ ）＋ ｄ② ａ ２ ． １ ＝（ ａ ＋ １ ）（ ａ １ ）③ （ ａ ＋１ ）（ ａ ． １ ）
解和分析就 能让学生 完全掌握 。 这时先让学生进行初步的感受 ， ）教 师在讲解
例题 时， 应鼓励 学生 自己动手找公 因式， 让学生通过动手动脑、 实际操作 ，教师可在下面收集错误 ，再加 以点评，加深对因式
（ 一 ） 情 境 引入 情 境 一 ：如 何 计 算 ３ ７ ５ ２ ． ８ ＋３ ７ ５ ４ ． ９＋ ３ ７ ５ ２ ＿ ３ ，你是怎 么想的 ？ 【 评析 】： （ １ ）复习旧知 ，加深记忆， 同时为下面的学习作铺 垫。（ ２ ）学生对这样的问题有兴趣 ，能 迅速找 出一些不同的速 算方法 ，很快想 出乘法分 配律的逆 向变 形 ，设置这样 的情境，由数推广到式，效率较 高。情境二 ： 分 析 比较把 单项式乘多项式的乘法法则 ａ（ ｂ＋ Ｃ ＋ｄ ）＝ ａ ｂ＋ ａ Ｃ ＋ａ ｄ①反 过来 ， 就得到 ａ ｂ＋ ａ ｃ＋ ａ ｄ ＝ ａ（ ｂ＋ ｃ＋ ｄ ）②思考： 你是怎样认识 ①式和 ②式之 间的关系的？ 【 评析 】 ： 探 索因式 分解的方法，事实上是对整 式乘法的再认识，因此 ，在教 学过 程 中，教师要借助学生 已有 的整式乘 法运算的基础 ，给他们 留 下充分探 索与交流的时间和 空间，让他们经历从整式乘法到 因 式分解的这种 互逆变形的过程。 （ 二 ）ｆ 探 究 因式分解 Ｊ １ ． 认识公 因式 （ １ ）多项 式 ａ ｂ＋ ａ ｃ＋ ａ ｄ的各项 ａ ｂ 、ａ ｃ 、ａ ｄ都含 有相 同的 因式 ａ ，称为多项式 各项的公 因式。（ ２ ）议 一议下列多项 式的各项是 否有公 因式？ 如果有 ，试找 出公 因式 ． ａ ２ ｂ＋ ａ ｂ ２ 、３ ｘ ２— ３ ｙ 、３ ｘ ２— ６ ｘ ３【 评 析 】（ １ ）教师不要直接给 出找多项式公 因式的方法和解释 ，而 是鼓励学生 自 主探索，根据 自己的体验来积 累 找公 因式的方法 和经验 ， 并能通过相 互问的交流来纠正解题 中的常见错误 。（ ２ ） 对公 因式的理解是 因式分解 的基础 ，所以在解决这个 问题 时要 注意配以练习， 特别是 多次方及系数的公 因式， 要让 学生注意。 （ ３ ）找公 因式的一般步骤可 归纳为 ： 一看 系数 二看字母 三 看指数 。２ ． 认识 因式分解把一个多项式化成几个整式积的形 式 的叫做把这个多项 式因式分解 。（ 课本 ）Ｐ ７ １ 练一练 第 １ 题 （ １ ） 下列各式由左边到右边的变形，哪些是 因式分解 ，哪些不是 ？
题化繁 为简。 （ 六 ）教 学反思分解 因式是一种变形 ，变形的结果应是整 式的积 的形式，分解 因式与整 式的乘法是 互逆关系，即把分解 因式看作是一个变形 的过程，那 么整式乘法又是分解 因式的逆 过程，这种互逆关系一方面体现二者之间的密切联 系，另一方 面又说 明了二者之 间的根 本区别 。探 索因式分解的方法 ，事实 上是对 整式乘法的再认识 ，因此 ，在教学过程 中，教师要借助
【 关键词 】因式分解 ； 类比 ； 探索 【 中图分类号 】 Ｇ ６ ３ ３ ． ６ 【 文献标识码 】 Ａ
案 例 分析 教 学过程 设 计
【 文章编号 】 ２ ０ ９ ５ ． ３ ０ ８ ９（ ２ ０ １ ６ ） ２ ８ ． Ｏ １ １ ７ ． ０ ｌ
（ 三 ）『 例 题 研 究 Ｊ例 １ 把 下列各式分解 因式 （ １ ）６ ａ ３ ｂ一 ９ ａ ２ ｂ ２ ｃ（ ２ ）一 ２ ｍ３ ＋８ ｍ２— １ ２ ｍ【 评析 】（ １ ）因式分解 的概 念和意义需要学生多层次的感受 ，教 师不要期望一次透彻的讲
教学方法
课 程教 育研 究
单项式乘多项式法则的再认识
孔 华 明
（ 南京市高淳 区固城 中学
因式分解 （ 一） 教 学案例
２ １ １ ３ ０ ４ ）
江苏 南京
【 摘要】 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础，又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中 有广
６ ｘ ）（ ３ ）ａ ３一 ａ ２ ＝ ａ ２（ ａ一 １ ）＝ ａ ３一 ａ ２【 评析 】（ １ ）这 些 多 是学生易错 的，本题设置的 目的是让学生运 用例 １ 的成果准确
辨别因式分解 中的常见错误 ，对 因式分解 的认识更加清晰。本 例仍采用小组讨论 、 交流的方式 ， 让学生都参与到课堂活动 中。 （ ２ ）当多项式的某一项恰好是公 因式时，这 一项应看成它与 １ 的乘积 ， 提公 因式后剩下的应是 １ 。１ 作为项的系数通常可省略， 但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。（ ３ ）进行 多 项式分解 因式时，必须把每一个 因式都分解到不能分解为止。 （ 五） 想一想如何把 多项式 ３ ａ（ ｘ ＋ ｙ ） ． ２ ｂ（ ｘ ＋ ｙ ） 分解 因式？ 评析 ： 公因式 （ ｘ ＋ ｙ ）是 多项式 ，属较 高要求， 当多项式中有 相同的整体 （ 多项式）时 ，不要把它拆开，提取公 因式 时把 它 整体提 出来 ，有 时还 需要做适 当变形 ，如 （ ２ － ａ ）＝ ．（ ａ － ２ ） ，教 学时可初步渗透换元思想 ， 将换元思想引入 因式分解 ，可使 问
分 解 方 法 的理 解 。 （ 四 ）『 巩 固练 习 』练 一 练 ： 辨 别 下 列 因式 分解 的正 误 （ １ ）
８ ａ ３ ｂ ２— １ ２ ａ ｂ ４ ＋４ ａ ｂ － － ４ ａ ｂ （ ２ ａ ２ ｂ一 ３ ｂ ３ ） （ ２ ） ４ ｘ ２— １ ２ ｘ ３ ＝ ２ ｘ ２ （ ２—
①ａ ｂ ＋ａ ｃ ＋ ｄ ＝ ａ（ ｂ ＋ ｃ ）＋ ｄ② ａ ２ ． １ ＝（ ａ ＋ １ ）（ ａ １ ）③ （ ａ ＋１ ）（ ａ ． １ ）
解和分析就 能让学生 完全掌握 。 这时先让学生进行初步的感受 ， ）教 师在讲解
例题 时， 应鼓励 学生 自己动手找公 因式， 让学生通过动手动脑、 实际操作 ，教师可在下面收集错误 ，再加 以点评，加深对因式
（ 一 ） 情 境 引入 情 境 一 ：如 何 计 算 ３ ７ ５ ２ ． ８ ＋３ ７ ５ ４ ． ９＋ ３ ７ ５ ２ ＿ ３ ，你是怎 么想的 ？ 【 评析 】： （ １ ）复习旧知 ，加深记忆， 同时为下面的学习作铺 垫。（ ２ ）学生对这样的问题有兴趣 ，能 迅速找 出一些不同的速 算方法 ，很快想 出乘法分 配律的逆 向变 形 ，设置这样 的情境，由数推广到式，效率较 高。情境二 ： 分 析 比较把 单项式乘多项式的乘法法则 ａ（ ｂ＋ Ｃ ＋ｄ ）＝ ａ ｂ＋ ａ Ｃ ＋ａ ｄ①反 过来 ， 就得到 ａ ｂ＋ ａ ｃ＋ ａ ｄ ＝ ａ（ ｂ＋ ｃ＋ ｄ ）②思考： 你是怎样认识 ①式和 ②式之 间的关系的？ 【 评析 】 ： 探 索因式 分解的方法，事实上是对整 式乘法的再认识，因此 ，在教 学过 程 中，教师要借助学生 已有 的整式乘 法运算的基础 ，给他们 留 下充分探 索与交流的时间和 空间，让他们经历从整式乘法到 因 式分解的这种 互逆变形的过程。 （ 二 ）ｆ 探 究 因式分解 Ｊ １ ． 认识公 因式 （ １ ）多项 式 ａ ｂ＋ ａ ｃ＋ ａ ｄ的各项 ａ ｂ 、ａ ｃ 、ａ ｄ都含 有相 同的 因式 ａ ，称为多项式 各项的公 因式。（ ２ ）议 一议下列多项 式的各项是 否有公 因式？ 如果有 ，试找 出公 因式 ． ａ ２ ｂ＋ ａ ｂ ２ 、３ ｘ ２— ３ ｙ 、３ ｘ ２— ６ ｘ ３【 评 析 】（ １ ）教师不要直接给 出找多项式公 因式的方法和解释 ，而 是鼓励学生 自 主探索，根据 自己的体验来积 累 找公 因式的方法 和经验 ， 并能通过相 互问的交流来纠正解题 中的常见错误 。（ ２ ） 对公 因式的理解是 因式分解 的基础 ，所以在解决这个 问题 时要 注意配以练习， 特别是 多次方及系数的公 因式， 要让 学生注意。 （ ３ ）找公 因式的一般步骤可 归纳为 ： 一看 系数 二看字母 三 看指数 。２ ． 认识 因式分解把一个多项式化成几个整式积的形 式 的叫做把这个多项 式因式分解 。（ 课本 ）Ｐ ７ １ 练一练 第 １ 题 （ １ ） 下列各式由左边到右边的变形，哪些是 因式分解 ，哪些不是 ？
题化繁 为简。 （ 六 ）教 学反思分解 因式是一种变形 ，变形的结果应是整 式的积 的形式，分解 因式与整 式的乘法是 互逆关系，即把分解 因式看作是一个变形 的过程，那 么整式乘法又是分解 因式的逆 过程，这种互逆关系一方面体现二者之间的密切联 系，另一方 面又说 明了二者之 间的根 本区别 。探 索因式分解的方法 ，事实 上是对 整式乘法的再认识 ，因此 ，在教学过程 中，教师要借助