级数收敛

级数重排得几何？
钓主发表于 2011-04-11 13:30:30
（级数重排有限维无穷维）
简单地说，一个级数就是一个无穷的求和式。

有限项相加当然不会有什么问题，但是一般地，要把无穷项相加必然会牵涉到取极限。

级数的和就是其通项按顺序的求有限项和的极限。

需要特别注意的是，当两个级数的所有项的数字看上去都一样，只有位置不一样时，这两个级数是不同的，它们中的任一个称为另一个的重排。

著名的Riemann级数重排定理是说，一个由实数构成的级数的所有可能的重排只有三种结果，其一为所有重排都不收敛（发散），再一为收敛到同一个数（绝对收敛），又一为可收敛到所有的实数（条件收敛）。

【1】
由此定理可以产生两个很自然的问题，一个是复数项的级数以至于更一般的n维实向量构成的级数重排后结果是怎样的？还有一个就是绝对收敛是否总是和所有重排收敛到同一极限（无条件收敛）等价？回答这两个问题，有如下两个深刻的然而不那么广为人知的（第一个甚至是极少人知）的结果。

Levy-Steinitz定理：n维实向量构成的级数的所有可能的重排，要么都不收敛，要么所有可能收敛的结果构成n维空间内的一个低维的平面（仿射子集，例如一个点，一条线，一个面）。

【此定理如果取n=1，就是Riemann的级数重排定理】
Dvoretzky-Rogers定理：在一个无限维的Banach空间内，总存在无条件收敛但不绝对收敛的级数。

【1】感谢Random Graph的指正，关于条件收敛，虽然上面的叙述本质上不能算错，但是可能容易产生误导，更精确的叙述是（条件收敛时）可收敛到所有实数，同时还肯定有重排会发散到正负无穷。

1.给定级数的特征：①所属数域（R/C）②收敛性（发散，条件收敛，绝对收敛）③有界性....
2.重排规则：无限制重排或有限制重排
3.重排结果
先暂且不考虑这些问题，先来品味一下William Dunham对黎曼重排定理的叙述：
从莱布尼茨级数1-1/3+1/5-1/7+1/9-.....开始。

假定我们按照下列方式重排这个级数中的项：把第一个负值项排在前面两个正值项的后面；把第二个负值项排在随后两个正值项的后面；依此类推。

在进行这种三项一组的分组之后，我们得到
(1+1/5-1/3)+(1/9+1/13-1/7)+(1/17+1/2 1-1/11)+(1/25+1/29-1/15)+....
稍加思索就会发现，括号里的可以表示为:
1/(8k-7)+1/(8k-3)-1/(4k-1) k=1.2.3.4.....
通分之后为(24k-11)/[(8k-7)(8k-3)(4k-1)]
由于k≥1，所以这个分式的分子和分母都是正整数，于是式(1)的每一个三项组合都是正值。

由此我们可以得出关于该级数重排的下述结果：
(1+1/5-1/3)+(1/9+1/13-1/7)+(1/17+1/21-1/11)+(1/25+1/29-1 /15)+....
≥(1+1/5-1/3)+0+0+0+....
=13/15=0.86666...
另一方面，莱布尼茨证明了原来的级数
1-1/3+1/5-1/7+1/9-.....=π/4=0.7854......。

我们得到了不可避免的结论：重排的级数的和大于0.866，不能收敛于原来级数的相同值。

我们通过改变技术中项的位置，而不改变项的值就改变了级数的和。

这看起来是非常离奇的。

事实上，它的后果更为严重，因为黎曼证明了莱布尼茨级数竟然可以重排成收敛于任何数值的级数！
习惯上，在处理混合符号的级数时分别考虑正值项和负值项的级数。

我们将级数写成
的形式，其中所有字母都是非负的。

黎曼知道，对于级数
和，如果原来的级数绝对收敛，那么这两个级数都收敛；如果原来的级数发散，那么这两个级数之一发散至无穷大；如果原来的级数条件收敛，那么这两个级数都发散至无穷大。

狄利克雷证明了一个绝对收敛级数的任何重排必定收敛于原来级数的同一个和。

也就是说，对于绝对收敛级数，重排它的项不会对和产生任何影响。

但是对于条件收敛的级数，我们得到了迥然不同的结果：如果一个级数条件收敛，那么可以把它重排为收敛于我们想要的任意值。

我们可以把这个结果成为“黎曼惊人的重排结果”。

下面介绍他的证明思想。

令C为一个常数——可以说是我们的“靶子”——黎曼于是这样开始：“以交替的方式，首先取级数中足够多的正值项使其和超过C，然后取足够多的负值项使其和小于C”为了看清得到了什么，我们规定C为正数。

从正值项开始，我们求出使
最小的m。

由于发散至无穷大，这样一个下标值必定存在。

下一步考虑负项值，并且选择使
最小的n。

同样。

由于发散级数最终必定超过，因此我们知道存在一个满足条件的下标值。

这样是原来级
数的一个重排，其和与C的差不超过。

然后重复这一过程，加上某些，再减去某
些，使得这些重排后的项之和与C的差小于某个，由
于原来的级数收敛，可知他的通项趋于0，所以。

同前面的断言一样，用这种交替方案进行的重排使得级数收敛于C。

太奇妙了！！
为了说明起见，假定我们寻找莱布尼茨级数的一个重排使之收敛于1.1。

我们找出足够多的正值项，使其和超过1.1开始：1+1/5=1.2＞1.1。

接着，我们减去一个负值项，使其差小于1.1：
（1+1/5）-1/3=0.8666...＜1.1
然后我们再加上某些正值使其和超过1.1，接着再减去某些负值项使其差小于1.1，依此类推。

用这种方法，重排后收敛于1.1的莱布尼茨级数将从下面的项开始：
（1+1/5）-1/3+（1/9+1/13+1/17）-1/7+（1/21+1/25+1/29+1/33）-1/11+......
骤然一看，黎曼的证明过程似乎是不言而喻的。

虽然如此，他的级数重排定理以引人注目的形式证明的无穷级数求和是一个微妙的问题。

通过简单的重新排列级数中的项，我们可以戏剧性的改变答案。

之前见过一本书上有一个加强版：设实级数∑An条件收敛，对﹣∞≤α≤β≤﹢∞，那么存在重排∑An′满足：它的部分和数列{Sn′}的下极限为α，上极限为β. 这个命题的证明和上面的差不多：在上面的操作中，重排后的部分和在C两边来回跳动，这里只需要让部分和在α和β之前来回走动就可以了。

显然，在这种重排之下，{Sn′}的聚点集合是一个连续的区间【α，β】，其实在其它重排之下得到的结果也是样的。

决定因素是原级数的通项趋于0，这导致了Sn'只能“缓慢的行走”。

在实数的情况下，条件收敛级数重排所得到的结果似乎考虑的差不多了，接下来该思考的问题是：
在复数域中条件收敛级数重排能达到什么样的结果？重排之后的部分和数列是否有聚点，如果有聚点，那么这些聚点构成的集合有什么特征？
另外，对于绝对收敛的级数的重排似乎没多大意思，而对发散级数的重排似乎难以下
手。

根据黎曼重排定理，可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的
实数或者发散。

定理矩阵的秩、矩阵的行秩、矩阵的列秩三者相等的证明
自学考试教材《工程数学-线性代数》矩阵的秩一章中关于矩阵的秩、矩阵的行
秩、矩阵的列秩三者相等这一定理，没有给出证明。

现证明如下，以供大家参考。

求证：矩阵的秩、矩阵的行秩、矩阵的列秩三者相等且矩阵r阶非零子式所在
的行（列）是矩阵行（列）向量组的一个最大无关组。

证明：设矩阵A，B
a11 a12 (1)
A= a21 a22 …a2n =[ α1
α2 …αn ]
…………
a m1 a m2 …a m n
a11 a12 (1)
B= a21 a22 …a2r =[β1 β2 …βr
],是A的一个r阶非零子式
…………对应的子矩阵。

a r1 a r2 …a r r
由det(B)≠0,知向量组β1 β2 …βr线性无关。

因为向量组α1
α
2 …αr 是在向量组β1 β2 …βr的相同位置添加了n-r个分量,所
以向量组α1
α
2 …αr线性无关。

即A中r阶非零子式所在的列对应的列向量线性无关。

同理可证r阶非零子式所在的行对应的行向量线性无关。

下面再证明矩阵的任意列向量可由A中r阶非零子式所在的列对应的列向量
组线性表出。

设矩阵C，
a11 a12 …a1r a1,r+1 θ1
C= a21 a22 …a2r a2,r+1 =[β1 β2 …βr βr+1 ] =
θ1
……………
…
a r1 a r2 …a r r a r,r+1 θr
由上面的结论可知向量组θ1，θ2，…θr线性无关。

因为矩阵C的行数小于列数，所以向量组β1 β2 …βr βr+1线性相关。

设矩阵D，
a11 a12 …a1r a1,r+1 θ1
D= a21 a22 …a2r a2,r+1 = θ2
………………
a r1 a r2 …a r r a r,r+1 θr
a r+1,1 a r+1,2 …a r+1,r a r+1,r+1 θr+1
因为矩阵A的秩=r,所以A的任意r+1阶子式等于0，
从而det(D)=0.
由det(D)=0知D的行向量组线性相关，即向量组θ1，θ2，…, θr+1线性相关。

即存在一组不全为零的常数X1,X2,…,Xr+1,使
X1θ1+ X2θ2 + …+ Xr+1 = 0 (1)
因为前面已经证明向量组θ1，θ2，…θr线性无关，
所以θr+1可由向量组θ1，θ2，…θr线性表出，
即存在一组常数k1,k2,…kr,使
θr+1 = k1θ1+k2θ2+…+krθr
这说明矩阵D的第r+1行是由前面的r行线性相加而得到。

因此使得（1）式成立的常数X1,X2,…,Xr+1，也能使
θr+1X = 0 成立。

（X是向量（X1,X2,…,Xr+1）的转置）同理可证：θr+2X = 0
…………….
θmX = 0
此时，我们应有
a11 a12 …a1r a1,r+1 ` X1
a21 a22 …a2r a2,r+1 X2
……………… = 0
a m1 a m2 …a m r a m,r+1 X r+1
上式写成向量形式就是X1α1 + X2α2 + …+ Xr+1αr+1 = 0
这就证明了向量组α1
α2 …
αr+1 线性相关。

因为向量组α1
α2 …
αr线性无关，
所以αr+1可由α1
α2 …
αr 线性表出。

同理，αr+2,…αn可由α1，α2 …αr 线性表出。

再结合前面的结论：A。