专题17 参变分离法解决导数问题(解析版)

专题17参变分离法解决导数问题
1.分离变量法
在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2.分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！一、单选题
1．已知函数()ln f x x ax =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围是（）
A ．(],1-∞
B ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥
⎝⎦C ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭D ．()
,1-∞【解析】1
()0f x a x '=
-≥在区间()1,2上恒成立，即1a x
≥在区间()1,2上恒成立，显然1y x
=在区间()1,2的最小值为1
2，所以1
2
a ≤．故选：B ．2．若函数()5
ln f x x a x x
=--在[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）
A ．-⎡⎣
B ．(
,-∞C ．(],6-∞D ．(]
0,6【解析】因为函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2510a f x x x '=+-≥，即5
a x x
≤+恒成立，
又5x x +
≥=x =a ≤，故选：B 3．已知函数()e x
f x mx x
=-（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围
是（
）
A ．()
,2-∞B ．2e ,4⎛⎫-∞ ⎪
⎝
⎭C ．(]
,e -∞D ．2e ,4∞⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
【解析】若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则2e
x m x <在()0,∞+上恒成立等价于2e x min m x ⎛⎫< ⎪
⎝⎭在()0,∞+上恒成立，令()()2e
0x
h x x x =>，则()()()3
e 20x x x h x x
-'>=，令()0h x '>，解得2x >，令()0h x '<，解得02x <<，故()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()()2e 24
min
h x h ==，故2
e 4m <.故选：B.
4．关于x 的方程210x mx ++=在[]0,2内有解，则实数m 的取值范围（）
A ．(]
,2-∞-B ．[)
2,+∞C ．5,2∞⎛
⎤-- ⎥
⎝⎦D ．5,2⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
【解析】当0x =时，可得10=显然不成立；
当(]0,2x ∈时，由于方程210x mx ++=可转化为1
m x x =--，(]0,2,
x ∈令1y x x =--，可得2
22111x y x x
-=-='，
当01x <<时，0y '>，函数单调递增；当12x <<时，0y '<，函数单调递减，所以当1x =时，函数1
y x x
=-
-取唯一的极大值，也是最大值，所以2max y =-，所以2y ≤-，即2m ≤-，所以实数m 的取值范围(],2-∞-.故选：A.5．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（
）
A ．1,e
⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪
⎝⎭C ．1,e ∞⎛
⎤-- ⎥
⎝⎦D ．1,0e ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
【解析】由题意可得，()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即1ln x
x
a e +-=
没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令1ln ()x x g x e
+=，0x >，则1
ln 1
()x
x x g x e --'=，令1
()ln 1h x x x
=
--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，
故当1x =时，()g x 取得最大值1
(1)g e
=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，结合图象可知，1
a e -≥
即1a e
≤-.故选：C.
6．若对任意正实数x ，不等式()21x
e a x -≤恒成立，则实数a 的范围是（
）A ．ln 21
22
a ≤
+B ．ln 2
12
a ≤
+C ．1
ln 22
a ≤+
D ．ln 21
22
a ≥
+【解析】因为不等式()2e 1x
a x -≤恒成立，2e 0x >，所以21
e x
a x ≤
+恒成立，设()21
e
x f x x =
+，则()min a f x ≤，因为()22
1e x f x '=-
+，令()0f x '=，则ln 22
x =，
所以当ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当ln 2,2x +∈∞⎛⎫
⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln 2,2⎛⎫-∞ ⎝⎭上单调递减，在ln 2,2+∞⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，所以()min ln 21ln 2
222f x f ⎛⎫==+
⎪⎝⎭
，所以ln 2122a ≤+，故选：A 7．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（）
A ．[0,)
+∞B ．(,0]
-∞C ．[1,)
+∞D ．(,1]
-∞【解析】由题意可得0x a x xe +≤-在()1,-+∞上能成立，所以x a x xe ≤-在()1,-+∞上能成立，
令()()1x x xe h x x -=>-，则()()11x
x h x e -+'=，
令()()11x x x e m =-+，则()()02x x m x e +'=-<，所以()()11x
x x e m =-+在()1,-+∞上单调递减，且
()()000110e m -+⨯==，即()00h '=，因此()h x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以
()()max 00h x h ==，所以0a ≤，故选：B.
8．当0x >时，1
1
e 2x a x
->-
恒成立，则a 的取值范围为（）
A ．()
1,+∞B ．()
e,∞+C ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
D ．()
2,+∞
【解析】由1
1121e
2e x x x a a x x --->-⇒>，设()121e x x f x x --=，则()()()2212121121e e
x x x x x x f x x x --+-+-++'==，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，
所以函数()f x 在区间()0,1上递增，在区间(1,)+∞上递减，故()()11f x f ≤=，故1a >.故选：A.9．对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（）
A B
C ．
1e
D ．e
【解析】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥．
∵()e (0)x
f x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即e
x a x
≤．
令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x
'
-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==．∴实数a 的最大值为e ．故选：D 10．已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则实数m 的取值范围为（）
A ．(,1]
-∞B ．(,1)
-∞-C ．(1,)
-+∞D ．[1,)
+∞【解析】()10f x mx m -++≤有解，即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--，设1t x =-，则0t >，
不等式转化成2
(1)1t
t e mt -£-在0t >时有解，则2(1)1t t e m t -+³有解，记2(1)1()t t e h t t
-+=，
则322
(1)1
()t
t t t e h t t
+-+-¢=，再令32()(1)1t g t t t t e =+-+-，则32()(4)0t g t t t t e ¢=++>，那么()g t 在0t >时递增，所以()(0)0g t g >=，于是()0h t '>，()h t 在0t >时递增，
故20(1)1()lim t t t e h t t ®-+>，记()()21t t t e ϕ=-，0()(0)()lim (0)10t t h t t j j j ®-¢>==--，于是2(1)1t
t e m t
-+³有解，只需要1m >-.故选：C 二、多选题
11．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列选项正确的是（
）
A ．10,a e ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
B ．()y f x =在(0,)e 上单调递增
C ．126
x x +>D ．若221,a e e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则212a x x a --<
【解析】令()0f x =得ln x a x
=，记ln ()x
g x x =
2
1ln ()x
g x x -'=
，令()0g x '=得x e =当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0x →时，()g x →-∞，1
(e)g e
=
，x →+∞时，()0g x →据题意知y a =的图象与()y g x =的图象有两个交点，且交点的横坐标为1x ，2x ，
所以10,a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，故A 选项正确；
因为11()'
-=
-=ax f x a x x ，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 递增，因为10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(0,)0,e a ⎛⎫
⊆ ⎪⎝⎭，故B 选项正确；
当1a e →时，1
e a
→，
10f a ⎛⎫
→ ⎪⎝⎭
，又因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，
所以12,x e x e →→，所以1226x x e +→<，所以C 选项错误；
因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，且221,a e e ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭所以110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，因为()1(1)0f a f x =-<=，所以11
x >因为()2
222ln 2ln 20f e f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭
，所以22x a <
所以21221a x x a a
--<-=，故D 选项正确故选：ABD.
12．已知函数()()1x f x x k e =-+在区间[11]-，上只有一个零点，则实数k 可取的值有（）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【解析】由题意可知，()10x x k e -+=在区间[1,1]-上只有一个根，等价于1
x
k x e =+
在区间[1,1]-上只有一个根，等价于y k =与1
()x
g x x e =+的图像有唯一一个公共点，由1()x g x x e =+
得1
()1x g x e
=-'，令()0g x '=得0x =，当10x -≤<时，()0g x '<，则()g x 在[1,0)-上单调递减，
当01x <≤时，()0g x '>，则()g x 在(0,1]上单调递增，
∴在区间[1,1]-内，当0x =时()g x 取极小值也是最小值，∴当()(0)1g x g ≥=，又1(1)1g e =+，(1)1g e -=-，且1
11e e ->+，
则满足条件的k 的取值范围是{}1
1(1,1]e e
⋃+-，
所以k 可取的值为1、2.故选:CD.
13．设函数()f x =为自然对数的底数).若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则实数a 的取值可以是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】易知()f x 在定义域内单调递增，若()f b b >，则()()()f f b f b b >>，若()f b b <，则()()()f f b f b b <<.故存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则()f b b =，即()f x x =在[]0,1上有解.
故[]2e ,0,1x x a x x x ⇔=+∈=-，
设[]2
e ,0,1()x g x x x x +∈-=，则e 1(2)x g x x =-+'，令2e 1,2e ()()x x h x h x x '=+--=，
在[)0,ln 2上()0,()h x h x '<单减，在(]ln 2,1上()0,()h x h x '>单增，
故()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->即()0g x '>，()g x 在[]0,1上单增，又(0)1,(1)e g g ==，故1e a ≤≤.故选：BC.
14．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式
2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（
）
A ．1
a e
-≤<B ．
4312a e e
≤<C ．
3211
a e e ≤<D ．1
a e
e
≤<【解析】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数；
222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则2
2ln x
ae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln x
x x x x
a e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；
令22ln ()x
x x x x
g x e --=，
则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x x
x x e x x x x e x x x x g x e e
-------+-+-'==(1)(3ln )
x x x x e ---=，(0,1]x ∈
记()ln 3h x x x =--，1
()10h x x
'=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311
(
)0h e e
=>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，
因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，
因此00
2
00000000
02ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==
，由03
00000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321
()()x x x x x e g x g x e e e --≤===，
故若使22ln x
x x x x
a e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则0
31()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.三、填空题15．若函数2
1()e 2
x f x x a =
-是R 上的减函数，则实数a 的最小值为_______【解析】由题意得，()e 0x f x x a '=-≤在R 上恒成立，即e x
x
a ≥在R 上恒成立，令1()=
,()=e e
x x x x
g x g x -'，当1x <时，()0g x '>，()g x 递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减，故max 1()=g(1)=e
g x ，故1e a ≥，即函数a 的最小值为1
e ，
16．已知函数()()e ln x
f x m x m =+∈，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，
则实数m 的取值范围是______．
【解析】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122
f x x f x x ->-令()()
g x f x x =-，∴()()12g x g x >，∴()g x 在()0,∞+单调递增，
又∵()()e ln x g x f x x m x x =-=+-，∴()e 10x
m
g x x
'=+
-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥-令()()1e
x
h x x =-，则()()e 110
x
h x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()
01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．
17．已知函数()3
33sin x x x f x =+-，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()ln 20f x f ax -+≤恒成立，则实数
a 的取值范围为___________.
【解析】因为()()()()()
()3
3
33sin 33sin f x x x x x x x f x -=-+---=-+-=-，
所以()f x 为奇函数，因为()(
)22
333cos 331cos 0x x x x f x '=+-=+-≥，所以()f x 为R 上的增函数，由(ln 2)()0f x f ax -+≤得(ln 2)()()f x f ax f ax -≤-=-，则ln 2x ax -≤-，因为,()0x ∈+∞，所以ln 2
x a x
--≥．令ln 2()(0)x g x x x
-=
>，则()2
3ln x
g x x -'=，令()0g x '=，得3e x =，当30e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当3e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，
故()()3
3max 1
e e g x g =
=，所以31e a -≥，即3
1e a ≤-，
所以实数a 的取值范围为31,e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦.
18．已知(0,2)x ∈，若关于x 的不等式
2
1
e 2x k x x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围是________．【解析】依题意，知220+->k x x ，即22>-k x x 对任意(0,2)x ∈恒成立，从而0k ≥，因此由原不等式，得
2e 2<+-x k x x x 恒成立．令2
e ()2=+-x
f x x x x ，
则2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭
x f x x x ．令()0f x '=，得1x =．当(1,2)x ∈时，()0f x '>．函数()f x 在(1,2)上单调递增；当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，所以
min ()(1)e 1<==-k f x f ，故实数k 的取值范围是[0,e 1)-．
四、解答题
19．已知函数2
1()ln 2
f x x x =-.
（1）求函数()f x 在区间1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值(参考数据：ln 20.7≈)；
（2）若不等式2()(2)f x a x >-有解，求实数a 的取值范围.
【解析】（1）求导得：2
11()x f x x x x
-'=-=，令()0f x '>可得112x <<，令()0f x '>可得
12x <<，于是函数()f x 在1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递增，在(1,2)单调递减，
于是当1x =时，()f x 取最大值为1
2
-，
又111ln 0.825228f ⎛⎫
=-≈- ⎪⎝⎭，(2)ln 22 1.3f =-≈-，于是当2x =时，()f x 取最小值为ln 22
-综上：当1x =时，()f x 取最大值为1
2
-，当2x =时，()f x 取最小值为ln 22
-（2）原不等式即为：221ln (2)2x x a x -
>-，可化简为2ln 122
x a x -<-
记2ln 1
()2
x g x x =
-，则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值
求导得：3
12ln ()x
g x x '
-=
，于是函数()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减
于是：()max 11
g
22g x e ==-，于是11222a e -<-，解得：5122a e
>-.20．已知函数()
2
()ln f x x ax x =+，a R ∈.
（1）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值；（2）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞.
又()(2)ln f x x a x x a '=+++，则(1)1f a '=+.又因为(1)0f =，所以切点为(1,0).所以
02
110
a +=+-，解得1a =.（2）当21x e <<时，0ln 2x <<.
当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，即不等式ln x
a x x
<
-，()
2x e ∈1,恒成立.设()ln x g x x x
=-，()
2x e ∈1,，则22
2ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x g x x x '
--+=-=-.因为2
2
13(ln )ln 1ln 024x x x ⎛
⎫-+=-+> ⎪⎝
⎭，所以()0g x '<.
所以()g x 在()2
1,e 上单调递减，从而()2
2
()2
e
g x g e >=-.
要使原不等式恒成立，即()a g x <恒成立，故22e
a ≤-.即a 的取值范围为2,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦.
21．已知函数()()2
12ln f x x ax x a R =-+∈，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 的斜率为4.
(1)求切线l 的方程；
(2)若关于x 的不等式()2f x x bx +
恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(1)函数()f x 的定义域为{}|0x x >，12
()2f x x a x
'=-+，由题意知，(1)144f a '=-=，所以10a =，
故2()1012ln f x x x x =-+，所以(1)9f =-，切点坐标为(1,9)-故切线l 的方程为413y x =-．
(2)由（1）知，2()1012ln (0)f x x x x x =-+>，
所以2()f x x bx ≤+，可化为：12ln 10x x bx -≤，即12ln 10x
b x
≥-在(0,)+∞上恒成立，令12ln ()10x g x x =
-，则2
12(1ln )
()x g x x -'=，当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,e)上单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(e,)+∞上单调递减，所以当e x =时，函数()g x 取得最大值12
(e)10e
g =-，故当1210e b ≥
-时，12ln 10x b x
≥-在(0,)+∞上恒成立，所以实数b 的取值范围是1210,e ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.
22．已知函数()ln 1f x x mx =--．
(1)若0x ∀>，不等式()0f x <恒成立，求m 的取值范围；(2)若曲线()y f x =存在过点(1,0)的切线，求证：1m ≥-．
【解析】(1)由已知有()0f x <恒成立，即代表ln 10x mx --<恒成立，因为0x >，故ln 1x m x
->
恒成立，令ln 1()x g x x -=()0x >，故22ln ()x
g x x -'=，令()0g x '>，解得：20x e <<，故()g x 在()2
0,e 上单调递增，在()
2,e +∞上单调递减，
故()g x 在()0,+∞的最大值为2
2
1()g e e =
，故21m e >
，所以m 的取值范围是2
1e ⎫
+∞⎪⎝⎭
；(2)：设切点为000(,ln 1)x x mx --，又因为1
()f x m x
'=-，所以函数在0x x =处的切线斜率0
1
k m x =
-，所以函数在0x x =处的切线方程为：0000(ln 1)()1m x y x mx x x ⎛⎫
---=- ⎪⎝-⎭，
又切线经过点(1,0).故可得：00000(ln 1)(1)1m x x mx x ⎛⎫
---=- ⎪⎝⎭
-，
化简整理可得：0001
ln 2(0)m x x x =+->，令1()ln 2(0)h x x x x
=+->，21
()x h x x
-'=
，令()0h x '>，解得1x >，故()h x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞单调递增，故()h x 在(0,)+∞的最小值为(1)1h =-，故：1m ≥-，得证．
23．已知函数()()()x x f x e sinx ax a R g x e cosx
=-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；
(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a =时，()e sin x f x x =，
()e (sin cos )x f x x x '=+
sin()4x x π
+，当224k x k ππππ<+<+，即32244
k x k ππππ-<<+时，()0f x '>，当2224k x k πππππ+<+<+，即372244
k x k ππππ+<<+时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，减区间是372,2,44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭
Z ．(2)()e sin e cos e (sin cos )x x x F x x ax x x x ax =--=--，
()e (sin cos cos sin )2e sin x x F x x x x x a x a '=-++-=-，
由题意2e sin 0x x a -=在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有两个不等实根，即2e sin x a x =有两个实根，
设()2e sin x h x x =，则()2e (sin cos )sin()4
x x h x x x x π
'=+=+，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以324x ππ<<时，()0h x '>，()h x 单调递增，34
x ππ<<时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以34max 3()2e 4h x h ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中22e 2h π
π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0h π=，
所以当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，2e sin x a x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个实根，
即当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，函数()F x 在,π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点.24．已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行（e 是自然对数的底数）.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.
【解析】(1)由题意得()2ln (0)f x x x x a x ++>'=，所以(1)1f a '=+，
又()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行，所以11e a +=-，
解得a e =-，所以2()ln e f x x x x =-.
(2)2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，即22ln e 0x x kx x -+>在(0,)+∞上恒成立，
因为0x >，所以22ln e e ln x x x k x x x
+<=+.令e ()ln g x x x =+，则221e e ()x g x x x x
-=-='.当(0,e)x ∈时，()0g x '<；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以函数e ()ln g x x x
=+在(0,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，所以()(e)2g x g ≥=，故2k <，即实数k 的取值范围是(,2)-∞.
25．已知函数()()21e x
ax x f x a R -+=∈.(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间；
(2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围.
【解析】（1）2a =-时，()221e x x x f x --+=，()()()212e x
x x f x +-'=，令()1102
f x x '=⇒=-，22x =.∴()f x
的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
.（2）法一：常规求导讨论
()()()()221212e e
x x ax a x ax x x F -++----'==.①当0a ≤时，令()02
f x x '=⇒=且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .
注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意.②当12a =时，()()21220e
x x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上 ，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当1
02a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =，
且当()f x 在[)0,2上 ，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上 ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上 ，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当1
02a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a
=，且当()f x 在[)0,2上 ，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上 ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上 ，此时只需1111111e 1e a a
a a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立.④当12a >时，令()110f x x a
'=⇒=，22x =，且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上 ，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上 ，()2,+∞上 .此时只需()22411e 121e 24
a f a -+=≤⇒<≤.综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝
⎦.法二：参变分离
①0x =时，不等式显然成立.
②当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2
e 1x x g x x +-=，()()()33
e 12e 2e 2x x x x x g x x x ----+'==.令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，
∴()()2min e 124g x g +==，∴2e 14
a +≤.26．已知函数()ln a f x x x x
=++，a ∈R .（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（2）若()f x 在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；
（3）若函数()()g x f x x '=-有一个零点，求a 的取值范围.
【解析】（1）因为()ln a f x x x x =++，则222
1()1a x x a f x x x x +-'=-+=，由于()'10f =，则221101a +-=，∴2a =，
当2a =时，()()2222
21212()1x x x x f x x x x x +-+-'=-+==因为()f x 的定义域为()0,∞+，则()0f x '=时，1x =，
当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，所以2a =符合题意，故2a =.
（2）()22'x x a f x x
+-=，∴20x x a +-≥在()1,2x ∈恒成立，即2a x x ≤+在()1,2x ∈恒成立，∴a 的取值范围为(],2-∞.
（3）22
0x x a a x +--=在()0,x ∈+∞有1个根即方程32a x x x -=--在()0,x ∈+∞有1个根，
令32()h x x x x =--，0x >，则()()
2()321131h x x x x x '=--=-+当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，且(0)0h =，(1)1h =-，x →+∞时，()h x →+∞，
当0a -≥即0a ≤时，1个根；当1a -=-即1a =时，1个根，
综上：a 的取值范围为(]{},01-∞U .
27．已知函数()ln x f x x
=.（I ）求函数()f x 的单调区间和极值；
（II ）若不等式()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.
【解析】（I ）因为()()2
1ln 0x f x x x -'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，
所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；
且()()1e e
f x f ==极大，无极小值；（II ）因为()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，所以2ln x k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，设()()2ln 0x
g x x x =>，则()max k g x ≥，
因为()()43
2ln 12ln 0x x x x g x x x x --'==>，
当(x ∈时，()0g x '>，()g x
单调递增，当)x ∈
+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以(
)
max 1e 2e g x g ===，所以1
2e k ≥.28．已知函数()()e e 0x f x x x
=>．(1)求函数()f x 的最小值；
(2)若不等式()ln 1f x x a x ≥++对于()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．
【解析】(1)求导：1
e e 1e e ()x x
f x x x ++'=-，即e 1e ()(e)x f x x x
+'=-当()0,f x '<解得0e;x <<当()0,f x '>解得e
x >()f x 的单调递减区间为()0,e ；单调递增区间为()
e,+∞∴函数()f x 的最小值为(e)1
f =(2)由（1）得()(e)1f x f ≥=，所以要使得()ln 1f x x a x ≥++恒成立，必须满足：(e)e ln e 1e
f a a ≥++⇒≤-，下面证明：当e a -≤时()ln 1f x x a x ≥++恒成立e a ≤ e e
ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x ∴---≥-+-，∴只需证明e e eln 10x
x x x -+-≥，设e ()n 1e el x x x x x ϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭
由（1）得e e 10x x
-≥且只在e x =取等号，∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．
解法二：（变量分离）整理得：e
1l e n x
x x a x
--≤只需m e in 1()l e n x
x x a x --≤，先证明：e 1x x ≥+，构造()e 1x g x x =--，()e 1x g x '=-，
当0x >时，()0g x '≥，()g x 单调递增()(0)0g x g ≥=，从而证明得e 1
x x ≥+e ln e 11l e e e e n 11ln x
x x x x x x x x x
---=--≥-+--=- ，当仅且当n 0el x x -=即e x =处取得等号.e 1ln ln e e e ln x
x x x x x ---∴≥=-，∴e a -≤.，
解法三：（不分离）
l e e n ()ln 1ln 10(ln )10e e x x x f x x a x x a x x a x x
-≥++⇒---≥⇒-+-≥eln (ln )1e e e ln 1(ln )10x x x x x x x a x --+-≥-+-+-≥得e
a -≤下面证明当e a -≤时，e ln 10e x
x a x x
---≥e a ≤ e e ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x
∴---≥-+-∴只需证明e e eln 10x x x x
-+-≥设e ()n 1e el x x x x x
ϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭
由（1）得e e 10x x
-≥且只在e x =取等号∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减
∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增
e ()()0x ϕϕ∴≥=.
综上e a -≤．
29．已知函数2213()ln ,()224f x x ax x g x x ax ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
.(1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
(2)若当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.
【解析】(1)因为1()(1)ln 12f x x x x =-'+-，所以1(1)2
'=-f ，又(1)0f =，所以切线方程为1(1)2
y x =--，即210x y +-=(2)由()()f x g x ≥知2213ln 2024x ax x x ax ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭
，因为1≥x 所以13ln (ln 2)24
x x x a x -≥-，当2e x =时，R a ∈，当2e x >时，13ln 24ln 2x x x a x -≤-，当21e x ≤<时，13ln 24ln 2
x x x a x -≥-构造函数13ln 24()ln 2x x x h x x -=-，2(2ln 5)(ln 1)()4(ln 2)x x h x x --'=-
当1e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2e <e x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，故21e x ≤<时，max e ()(e)4h x h ==，因此e 4a ≥当522e e ,()0x h x '<<<，()h x 单调递减，当52e x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，
故2e x >时，5522min ()e e h x h ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，因此52e a ≤，综上：52e ,e 4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
30．已知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.
(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；
(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；
(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.
【解析】(1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x
'=，所以()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22
y x =-(2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立，
所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x
++≥在()0,∞+恒成立，等价于ln 12max
x a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令(ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=，令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.
(3)先证明必要性：
由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0x x a x
--=，令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()22
1ln x x m x x --'=，设()21ln t x x x =--，则()12t x x x
'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，
()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，
所以()()11max m x m a ==--.
故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，
所以实数a 的取值范围是(),1-∞-；
再证明充分性：
当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，
条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x
=-，当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以22
1ln x x y x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11
y =--，最小值趋近于负无穷，所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.
下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <
<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭
，因为()()120m x m x ==，所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ⎪⎝⎭222222222222
1
ln ln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x x ϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭
，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >.。