高中数学 第四章 函数的应用章末复习方案与全优评估 北师大版必修1

（同步课堂）2013-2014学年高中数学第四章函数的应用章末复习方案与全优评估北师大版必修1
1．函数的零点
(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)确定函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．
(3)一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．
(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
(5)判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0.
2．实际问题的函数建模
解决应用问题的一般程序是：
(1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
[例1] 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋2x －3，x ≤0
－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[解析] 法一：当x ≤0时，由f (x )＝x 2
＋2x －3＝0，得x 1
＝1(舍去)，x 2＝－3；
当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2.
法二：在坐标系中作出函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－4，x ≤0
－2＋ln x ，x ＞0的图
像，由图像知，有两个零点．
[答案] C [借题发挥]
函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题．常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法．
1．在下列区间中，函数f (x )＝e x
＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－1
4，0)
B ．(0，1
4)
C ．(14，1
2
)
D ．(12，34
)
解析：因为f (14)＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f (12)＝e 12＋4×1
2－3＝e 12－1>0，所以f (x )
＝e x
＋4x －3的零点所在的区间为(14，12
)．
答案：C
2．已知x 0是函数f (x )＝2x
＋
1
1－x
的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 解析：函数f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上是增函数．
又∵x 0是f (x )的一个零点，且x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，∴f (x 1)＜0，f (x 2)＞0. 答案：B
3．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x
＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )
A ．f (x )＝4x －1
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
－1
D ．f (x )＝ln (x －1
2
)
解析：∵g (x )＝4x
＋2x －2在R 上连续，且g (14)＝2＋12－2＝2－32＜0，g (12)＝2＋1
－2＝1＞0.
设g (x )＝4x
＋2x －2的零点为x 0，则14＜x 0＜12，
故0＜x 0－14＜14，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－14＜14.
又f (x )＝4x －1的零点为x ＝1
4
；
f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1；
f (x )＝e x
－1的零点为x ＝0； f (x )＝ln (x －12)的零点为x ＝3
2.
答案：A
[例2] 已知二次函数f (x )＝x 2
－(m －1)x ＋2，在[0，1]上有且只有一个零点，求实数
m 的取值范围．
[解] (1)当方程x 2
－(m －1)x ＋2＝0，在[0，1]上有两个相等的实根时，
有⎩
⎪⎨⎪
⎧Δ＝（m －1）2
－8＝0，0≤m －1
2≤1， 解得m ＝1±22，1≤m ≤3， ∴此种情况不存在．
(2)当方程x 2
－(m －1)x ＋2＝0有两个不相等实根时，
有且只有一根在[0，1]上，有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）·f （1）≤0，Δ＞0，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧2（4－m ）≤0，（m －1）2
－8＞0，∴m ≥4. 综上所述，实数m 的取值范围m ≥4. [借题发挥]
(1)解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件．
(2)函数问题与方程问题可以相互转化，结合使用数形结合的方法解决问题．
4．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋1(a ＜b )，且m ，n 是方程f (x )＝0的两个根(m ＜n )，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是________．
解析：由函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋1，我们可以看到a ，b 为g (x )＝(x －a )(x －b )的零点，且f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图，则应有a ＜m ＜n ＜b .
答案：a ＜m ＜n ＜b
5．已知函数f (x )＝x 2
－x ＋m 的两个零点都在区间(0，2)内，求实数m 的取值范围． 解：函数f (x )＝x 2
－x ＋m 的对称轴为直线x
＝12.
若使两个零点都在区间(0，2)内，
需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （12）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，（12）2
－1
2＋m ＜0，2＋m ＞0，
解得0＜m ＜14，故m 的取值范围为(0，14
).
[例3] 某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为x 元(x ≥270元)，月收益为y 元(总收益＝设备租金收入－未租出设备费用)．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)当x 为何值时，月收益最大？最大值是多少？
[解] (1)设每套设备实际月租金为x 元(x ≥270元)时，未租出的设备为x －270
10
套，
则未租出的设备费用为(x －270
10
×20)元；
租出的设备为(40－
x －270
10
)套， 则月租金总额为[(40－x －270
10
)x ]元． 所以y ＝(40－
x －270
10
)x －
x －270
10
×20
＝－0.1x 2
＋65x ＋540；
(2)由(1)得y ＝－0.1x 2
＋65x ＋540＝－0.1(x －325)2
＋11 102.5.则当x ＝325时，y 取最大值为11 102.5，
即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元．
[借题发挥]
解决这类问题需要根据题中量与量之间的关系，选取恰当的变量作为自变量，利用已知的等量关系或隐含的等量关系建立函数模型，然后利用函数知识求解．
6．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表.
天数12345 6
病毒细胞个数12481632
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，lg 2≈0.3010)
解：(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N＋)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N＋)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物；
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.
由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋x lg 2≤8，解得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物．
7．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图②中的拋物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图③中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)，国外市场的日销售量g(t)，每件产品的销售利润q(t)与第一批产品的上市时间t的函数关系式；
(2)第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？
解：(1)f (t )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2t （0≤t ≤30），
－6t ＋240 （30＜t ≤40）.
g (t )＝－3
20
t 2＋6t (0≤t ≤40)． q (t )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧3t （0≤t ≤20），60 （20＜t ≤40），
t ∈N ；
(2)日销售利润h (t )＝q (t )·[f (t )＋g (t )] ＝⎩⎪⎨⎪⎧－9
20t 3
＋24t 2
（0≤t ≤20），－9t 2＋480t （20＜t ≤30），－9t 2
＋14 400 （30＜t ≤40）.
①当0≤t ≤20时，易知h (t )在区间[0，20]上递增． ∴h (t )max ＝h (20)＝6 000.
②当20＜t ≤30时，h (t )＝－9(t －803)2
＋6 400.
∴当t ＝27时，h (t )max ＝h (27)＝6 399. ③当30＜t ≤40时，h (t )＜h (30)＝6 300. 综上h (t )max ＝h (27)＝6 399.
所以第27天这家公司的日销售利润最大， 最大为6 399万元．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在区间(0，1)上有零点的一个函数为( ) A ．f (x )＝x 2
＋1 B ．f (x )＝x 3
－2x ＋3 C ．f (x )＝x 3＋2x －2
D ．f (x )＝x 2
＋2x －3
解析：∵f (0)·f (1)＜0验证知只有C 符合此条件． 答案：C
2．函数f (x )＝2x
＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)
D ．(1，2)
解析：逐个验证知：f (－1)＝12－3＝－5
2
＜0，
f (0)＝20＋0＝1＞0，∴f (－1)·f (0)＜0.
答案：B
3．方程log 12x ＝2x
－1的实数根的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
解析：令y 1＝log 12x ，y 2＝2x
－1，作出图像，由图像可知，两函数的图像只有一个公共
点，所以方程log 12
x ＝2x
－1有一个实数根．
答案：B
4．用二分法求函数f (x )＝x 3
－(12)x －2的零点时，初始区间大致可选为( )
A ．(0，2)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(2，4)
解析：∵f (0)＝－4＜0，f (1)＝－1＜0，f (2)＝7＞0，f (3)＞0，f (4)＞0，则有f (1)·f (2)＜0.
答案：B
5．某水果市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x 千克，小王付款后剩余现金y 元，则y 与x 之间的函数关系为( )
A ．y ＝3 000－2.5x (100≤x ≤1 200)
B ．y ＝3 000－2.5x (100＜x ＜1 200)
C ．y ＝3 000－100x (100＜x ＜1 200)
D ．y ＝3 000－100x (100≤x ≤1 200)
解析：y ＝3000－2.5x ，由⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥100，y ≥0，得100≤x ≤1 200.
答案：A
6．函数y ＝(12)x
与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )
A ．1.3
B ．1.4
C ．1.5
D ．1.6
解析：设f (x )＝lg x －(12)x ，经计算f (1)＝－12＜0，f (2)＝lg 2－1
4＞0，所以方程lg x
－(12
)x
＝0在[1，2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D 符合要求． 答案：D
7．若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1，1)上存在零点，则a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1
5
B ．a ＞15
C ．a ＜－1
D ．a ＜－1或a ＞1
5
解析：由题意知：f (－1)·f (1)＜0，而(1－5a )(a ＋1)＜0
∴⎩⎪⎨⎪⎧1－5a ＜0a ＋1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－5a ＞0a ＋1＜0
得a ＜－1或a ＞15.
答案：D
8．若函数f (x )是偶函数，定义域为{x ∈R |x ≠0}且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )
A ．唯一一个
B ．两个
C ．至少两个
D ．无法判断
解析：由已知条件，得f (－2)＝0，画出函数f (x )的大致图像如下图所示，可知f (x )有两个零点．
答案：B
9．若x 0是方程(12)x
＝x 1
3的解，则x 0属于区间( )
A ．(2
3，1)
B ．(12，23)
C ．(13，1
2
)
D ．(0，1
3
)
解析：令f (x )＝(12)x －x 13，f (1)＝12－1＝－1
2
＜0，
f (12)＝(12)12－(12)13＜0，f (13)＝(12)13－(13)13＞0，f (23)＝(12)23－(23)13＝(14)13－(2
3
)1
3＜0，
∴f (x )在(13，1
2)内有零点．
答案：C
10．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A ．月初售出好
B ．月末售出好
C ．月初或月末售出一样
D ．由成本费的大小确定
解析：设这批货物成本费为x 元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x ＋100)×2.4%； 若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)； 比较100＋(x ＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x －525)．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．函数y ＝x 2
－ax －b 的零点为2和3，则函数f (x )＝bx 2
－ax －1的零点是________． 解析：由2＋3＝a ，2×3＝－b 得a ＝5，b ＝－6， ∴f (x )＝－6x 2－5x －1，
令f (x )＝0，得6x 2
＋5x ＋1＝0，x 1＝－13，x 2＝－12.
答案：－13、－1
2
12．用二分法求方程x 3
＋4＝6x 2
的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析：设f (x )＝x 3
－6x 2＋4，显然f (0)＞0，f (1)＜0， 又f (12)＝(12)3－6x (12
)2
＋4＞0，
∴下一步可断定方程的根所在区间为(1
2，1)．
答案：(1
2
，1)
13．已知关于x 的方程x 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0的两实根一个比3小，一个比3大，则m 的取值范围是________．
解析：设f (x )＝x 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，则所求转化为f (x )与x 轴的交点分别在点(3，
0)的两侧时m 的取值范围．借助f (x )的图像可知，只需f (3)＜0即可，
由f (3)＝9＋6(m ＋3)＋2m ＋14＜0， 解得m 的取值范围是m ＜－418
. 答案：m ＜－41
8
14.某批发商批发某种商品的单价P (单位：元/千克)与数量Q (单位：千克)之间的函数关系如图所示，现此零售商仅有现金2 700元，他最多可购买这种商品________千克．
解析：由题意可得批发这种商品所需费用y (元)与数量Q (千克)
之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧37Q ，0＜Q ≤10，
32Q ，10＜Q ≤50，
30Q ，50＜Q ≤100，27Q ，100＜Q ≤150，25Q ，Q ＞150，
从而易得30×50＜2 700＜30×100，
故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故所购商品的数量最多为2 700
30＝
90千克．
答案：90
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)画出函数f (x )＝x 2
－x －1的图像，并利用二分法说明方程x 2
－x －1＝0在[0，2]内根的情况．
解：图像如图所示． 因为f (0)＝－1＜0，
f (2)＝1＞0，
所以方程x 2
－x －1＝0在(0，2)内有根x 0；取(0，2)的中点1，因
为f (1)＝－1＜0，所以f (1)·f (2)＜0，根x 0在区间(1，2)内；再取(1，2)的中点1.5，f (1.5)＝－0.25＜0，所以f (1.5)·f (2)＜0，根x 0在区间(1.5，2)内；取(1.5，2)的中点1.75，
f (1.75)＝0.3125＞0，所以f (1.5)·f (1.75)＜0，根在区间(1.5，1.75)内，这样继续下去，
可以得到满足一定精确度的方程的近似根．
16．(本小题满分12分)已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2
＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．
解：(1)当m ＋6＝0即m ＝－6时，函数为y ＝－14x －5显然成立．
当m ＋6≠0时，
由Δ＝4(m －1)2
－4(m ＋6)(m ＋1)＝－36m －20≥0，
得m ≤－59
， ∴当m ≤－59
且m ≠－6时，二次函数有零点． 综上所述，m ≤－59
； (2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则有 x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6
∵1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2
＝－4， ∴－2（m －1）m ＋1
＝－4. 解得m ＝－3，且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0，符合题意．
∴m 的值为－3.
17．(本小题满分12分)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2 012x ＋log 2 012x ，试确定f (x )在R 上的零点个数．
解：∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0
∵log 2 01212 0122＝－2，2 01212 0122≈1， log 2 01212 012
＝－1，2 01212 012＞1， ∴f (12 0122)＜0，f (12 012
)＞0 ∴f (x )＝2 012x ＋log 2 012x 在区间(12 0122，12 012
)内存在零点． 易知f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f (x )在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知函数在R 上的零点个数为3.
18．(本小题满分14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成
正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f (x )＝k 1x ，投资股票的收益与投资额的函数关系为g (x )＝k 2x ，
由图像得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝k 2＝12
， f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12
x (x ≥0)； (2)设投资债券类产品x 万元，
则股票类投资为20－x 万元．
y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋12
20－x (0≤x ≤20)． 令t ＝20－x ，
则y ＝20－t 28＋12t ＝－18
(t 2－4t －20) ＝－18
(t －2)2＋3. 所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元．。