孝南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

孝南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列关系式中正确的是（ ）
A ．sin11°＜cos10°＜sin168°
B ．sin168°＜sin11°＜cos10°
C ．sin11°＜sin168°＜cos10°
D ．sin168°＜cos10°＜sin11°
2． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
3． 若复数满足
7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
4． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数
()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ）
A ．2013
B ．
2014 C ．2015 D ．20161111] 5． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=|x|（x ∈R ）
B ．y=（x ≠0）
C ．y=x （x ∈R ）
D ．y=﹣x 3（x ∈R ） 6． 下列函数中，为奇函数的是（ ） A ．y=x+1
B ．y=x 2
C ．y=2x
D ．y=x|x|
7． 已知二次曲线+
=1，则当m ∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．[
，
]
B ．[
，
]
C ．[
，
]
D ．[
，
]
8． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ） A ．e x+1 B ．e x ﹣1 C ．e ﹣x+1 D ．e ﹣x ﹣1
9． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知
11x
yi i
=-+，其中,x y 是实数，是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 A 、12i + B 、12i - C 、2i + D 、2i -
11．直线x ﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取
20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分
层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7
D.10
【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.
二、填空题
13．已知直线l ：ax ﹣by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过点（1，﹣1），则ab 的最大值是 ． 14．函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．
15．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；
②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．
16．把函数y=sin2x 的图象向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．
17．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ． 18．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是 ．
三、解答题
19．如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于E 点，F ，G 分别为AD ，BC 的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使得AC=．
（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ； （2）求二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值．
20．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．
（I ）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：31
3b a
+≥.
21．圆锥底面半径为1cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
22．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4，A（，0），A1（﹣，0），点P为平面内一动点，以PA为直径的圆与圆C相切．
（Ⅰ）求证：|PA1|+|PA|为定值，并求出点P的轨迹方程C1；
（Ⅱ）若直线PA与曲线C1的另一交点为Q，求△POQ面积的最大值．
23．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
24．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会
（Ⅱ）某医疗部门决定从这些抗战老兵中（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3）随机抽取3名进行体检，设随机抽取的这3名抗战老兵中参加三个环节的有ξ名，求ξ的分布列和数学期望．
孝南区第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵sin168°=sin （180°﹣12°）=sin12°，
cos10°=sin （90°﹣10°）=sin80°．
又∵y=sinx 在x ∈[0，]上是增函数，
∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．
故选：C ．
【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．
2． 【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由于
也在此直线上，
所以，当x 1=x 2时，有x 1=x 2=a 为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x 1≠x 2时，直线的斜率存在，且有，
又x 2﹣a 为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y 2﹣y 1=0，
即
；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是； 所以，正确的选项为C ． 故选：C ．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：4
2
7
3
1,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=-，所以复数的
虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 4． 【答案】D 【解析】
1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()1
2201620162=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.
【方法点睛】本题通过 “三次函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()
(
)00,x f x ”这一探索
性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()3115
33212
f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
5． 【答案】D
【解析】解：y=|x|（x ∈R ）是偶函数，不满足条件，
y=（x ≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件， y=x （x ∈R ）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件， y=﹣x 3（x ∈R ）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件， 故选：D
6． 【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A ； 由于y=x 2
为偶函数，故排除B ；
由于y=2x为非奇非偶函数，故排除C；
由于y=x|x|是奇函数，满足条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
7．【答案】C
【解析】解：由当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，
双曲线+=1即为﹣=1，
且a2=4，b2=﹣m，则c2=4﹣m，
即有，
故选C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，
而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．
故选D．
9．【答案】C
【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，
故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，
则易知A
H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，
1
AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．
10．【答案】D
【解析】
1
()1,2,1,12
x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D 11．【答案】A
【解析】直线x ﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），
直线x ﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；
故．
故选A ．
【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a ，b ，c 即可，属于基础题型．
12．【答案】C
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：∵直线l ：ax ﹣by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过点（1，﹣1）， ∴a+b ﹣1=0，即a+b=1，
∴ab ≤
=
当且仅当a=b=时取等号，
故ab 的最大值是
故答案为：
【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．
14．【答案】1
ln 2
【解析】
试题分析：()()111ln 2ln 2
f x k f x ''=
∴== 考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 15．【答案】①②⑤
【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；
对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；
对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，
1，
由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0
还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是
不动点，故③④错误；
对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；
若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0
即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，
假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；
假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；
故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．
16．【答案】y=cosx．
【解析】解：把函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得，即y=cos2x的图象，把y=cos2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx的图象；
故答案为：y=cosx．
17．【答案】5．
【解析】解：P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，
即有42=m，即m=16，
抛物线的方程为y2=16x，
焦点为（4，0），
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
18．【答案】．
【解析】解：如图所示，
分别取AC，A1C1的中点O，O1，连接OO1，取OE=1，连接DE，B1O1，AE．
∴BO⊥AC，
∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱．
由直棱柱的性质可得：BO⊥侧面ACC1A1．
∴四边形BODE是矩形．
∴DE⊥侧面ACC1A1．
∴∠DAE是AD与平面AA1C1C所成的角，为α，
∴DE==OB．
AD==．
在Rt△ADE中，sinα==．
故答案为：．
【点评】本题考查了直棱柱的性质、空间角、空间位置关系、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，
∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=，
∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，
∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，
又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；
（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，
则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，，）G（﹣，1，），
平面CDG的一个法向量=（0，0，1），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）
∴，即，令z=1，得x=3，y=，
故平面FDG的一个法向量=（3，，1），
∴cos==，
∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣．
【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．
21．
【答案】2
cm ． 【解析】
试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面11CDD C ，如图所示．
设正方体棱长为，则1CC x =
，11C D ， 作SO EF ⊥于O
，则SO =1OE =，
∵1ECC EOS ∆∆，∴
11CC EC SO EO =
121
x =，
∴2
x =
cm
，即内接正方体棱长为2．
考点：简单组合体的结构特征． 22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：设点P（x，y），记线段PA的中点为M，则
两圆的圆心距d=|OM|=|PA1|=R﹣|PA|，
所以，|PA
|+|PA|=4＞2，
1
故点P的轨迹是以A，A1为焦点，以4为长轴的椭圆，
所以，点P的轨迹方程C1为：=1．…
（Ⅱ）解：设P（x
，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为：x=my+，…
1
代入=1消去x，整理得：（m2
+4）y2+2my﹣1=0，
则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，…
△POQ面积S=|OA||y
﹣y2|=2…
1
令t=（0，则S=2≤1（当且仅当t=时取等号）所以，△POQ面积的最大值1．…
23．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当，即，时，
（Ⅱ)当时，递增
即，令，且注意到
函数的递增区间为
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，
根据题意可知P（）==，
由对立事件的概率计算公式可得，
故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为．
（Ⅱ）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=4）=（）3=，
ξ
则数学期望．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．。