高数复习题

1.求下列微分方程的通解
（1）
解：原微分方程为，分离变量，得：，两边积分，得到，即，。

所以方程的通解为，其中。

（4）
解：原方程为，分离变量，得到
，两边积分，
，即，所以原方程的通解为
，其中
（7）
解：方程可化为，这是一个齐次方程，设，则，，
代入原方程，得到，分离变量，得：，等式两边积分，
，得到，即，其中，。

代入得原方程的通解为。

2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解
（1）
解：分离变量，得：，积分得通解为，代入初始条件，
得，，特解为，即。

3.求下列微分方程的通解
（1）
解法一：原方程可以化为一阶非齐次线性方程：，
先解对应的齐次方程：的通解，分离变量，得：，
积分得：，化简，可得齐次方程的通解为，其中
利用常数变易法，设函数为原方程的解，则，代入原方程，得：，化简得：，积分，得：
，代入得原方程的解为
解法二：原方程化为一阶非齐次线性方程：，，
，代入求解公式，得通解为
（3）
解：这是一阶非齐次线性方程，,代入求解公式，得通解为
（7）
解：这是的贝努利方程，两边同时除以，得到
设，。

代入原方程得到一阶非齐次线性方程。

代入求解公式，得通解为
代入得方程的通解为：
4.求下列微分方程满足所给初始条件的特解
(1) ，
解：原方程化为一阶非齐次线性方程，代入求解公式，得通解为：
代入初始条件得： 1
所求特解为：
（3）
解：原方程可化为一阶非齐次线性方程：
代入求解公式，得通解为：
代入初始条件，得
所求特解为：。

7．用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，再求出其通解：（1）
解：设则，代入原方程，得；
分离变量，得：，两边积分，得：，即
两边取正切，得，所以原方程通解为
（3）
解：设则从而，代入原方程，化简得：
，分离变量，得：，积分得，
所以原方程得通解为
1求下列微分方程的通解：
（3）
解：积分得：，
再积分得：，
再积分一次，得通解为：
（4）
解：设，则原方程可化为：，这是一阶非齐次线性方程，由求解公式，得：
再积分，得：
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解
（1），
解：设，则原方程可化为：，即，这是贝努利方程，两边同时除以，得：，设，则，代入前一式，得：，这是一阶非齐次线性方程
，代入，得，从而
=，积分得：，代入，得，所以特解为
2．验证，都是方程解，并写出该方程的通解。

解：由，得，，从而，所以
是方程的解。

再由，得，
，从而，即是方程的解。

又
，线性无关，所以方程的通解为
，其中为两个任意常数。

5．设，都是方程的解,试证:为方程
解。

解：直接代入验证可得结论成立。

1．求下列各微分方程的通解
（1）
解：特征方程为：，微分方程的通解为
（3）
解：特征方程为：，微分方程的通解为
2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
（1）
解：特征方程为：，解得：，微分方程的通解为:
，从而，代入初始条件，得：
，解得，所以特解为：
3．求下列各微分方程的通解
（1）
解：先解对应的齐次微分方程的通解，特征方程为：，解得：
，所以齐次微分方程的通解为：，不是特征方程的
根。

设原方程的特解为，代入原方程，可得，由非齐次方程解的结构定理，
得原方程的通解为：
（3）
解：先解对应的齐次微分方程的通解，特征方程为：，解
得：，所以齐次微分方程的通解为：，不是特征
方程的根。

可设原方程的特解为，代入原方程，可得，。

由非
齐次方程解的结构定理，得原方程的通解为：
(3)
解：函数定义域为
是无界不连通的开集。

7.求下列极限
（2）
（7）
2.求下列函数的偏导数：
（1）
（3）
（6）
7.
14.求下列函数的全微分。

（3）
15.
65页习题
31.
（4）
71页习题
1. 求下列函数的全导数：
（2）；
2. 求下列函数的一阶偏导数：
（2）
（3）
3. 求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶偏导数）：（1）
72页习题
9.求下列函数的二阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）：（1）
（3）
77页习题
4. 求由下列方程确定的函数的导数或偏导数。

（1）
（2）
78页习题
7.
10.
11.
12.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）
93页习题
1. 求下列函数的极值：
2. (5).
3.
3.求下列函数在指定条件下的条件极值：
(2)
5.
第七章重积分作业参考解答
习题7.1
4.（1）
解答：在积分区域内，
，，
故>
5.（1）本报
解答：，
，圆环积分区域的面积为
故
5.（3）
解答：，
，积分区域的面积为
故
即
习题7.2
计算下例二次积分
1.（2）dy
解答：原始===
1、计算下例二重积分（2）
解答：积分区域如图1，
原始=
=
=
=
=
（6）解答：积分区域如图3：
交点为（2，4），积分区域看做Y型：
原始=
====
3.画出下例积分区域，
（1）解答：积分区域如图4，
原始=
（5）解答：积分区域如图6
原始
=
8.（2）解答：积分区域
关于轴对称，而是的奇函数，的偶函数，故
10.（1）解答：积分区域如图7
10.（3）解答：积分区域如图8，
11.（2）解答：积分区域如图9，
12.（3）解答：积分区域如图11，
= ==
13.（2）解答：积分区域如图12
= ==
14.（1）解答：积分区域如图14，原始= ==
14.（3）解答：积分区域如图15，原始= ===
图15
15.（2）解答：积分区域如图16
原始=
==
==
习题7.3
1.（2）解答：由题意知积分闭区域在坐标面上的投影区域为故
1.（4）解答：空间闭区域在坐标面上的投影区域为，
故
2.（1）解答：==
==
===
==
（3）解答：=
= =
==
4.（1）解答：由题意知积分闭区域在坐标面上的投影区域为
故
==
=
==
=
=
（3）解答：利用球面坐标，其各变量范围为，，故
=
=
=
=0
（5）解答：由题意知积分闭区域在坐标面上的投影区域为
故
=
==
=
=
6.（1）解答：积分闭区域如图所示，利用柱面坐标，其各变量范围为，
，故
7.（1）解答：积分闭区域如图所示，利用球面坐标，其各变量范围为，
，故
=
7.（2）解答：积分闭区域如图所示，利用球面坐标，其各变量范围为，
，故
=
=
8.（1）解答：利用柱面坐标，其各变量范围为，，故
==
高数2复习题第九章
第九章答案
习题9.1
1．写出下列级数的通项
（1）
解：
（3）
解：
2．判断下列级数的敛散性
（1）
解：，，所以级数发散。

（3）
解：
（5）
解：
级数收敛，所以收敛。

3.判断下列级数的敛散性
（2）
解：，发散，所以，发散（6）
解：，
收敛，所以，收敛
（7）
解：的通项为，，
，所以收敛。

4. 判断下列级数的绝对收敛性和条件收敛性
（1）
解：，所以，当时，绝对收敛；当时，
收敛，发散，所以条件收敛性；当时，发散。

（3）
解：，
，发散，所以，发散
收敛，级数条件收敛性。

5. 用积分判别法和拉贝判别法判断下列级数的敛散性
（1）（）
解：时，在为非负减函数，
，即当时，
收敛，时，发散；时，，
在为非负减函数，，
级数发散。

于是得到级数时收敛，时发散。

（3）
解：的通项为，
则当时，级数收敛；当时，级数发散；时，
，级数发散。

于是，当时，级数收敛；当时，级数发散。

习题9.2
1.判断下列级数的一致收敛性
（1）
解：，
当时，，所以，级数不一致收敛。

（3）
解：，为的级数，收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，级数一致收敛。

（5）
解：，收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，级数一致收敛。

3. 求下列级数的和函数
（1）
解：的通项为，
，当，即时，级数一致收敛，设其和函数为，
当时，，级数发散；时，，级数发散。

所以有
（3）
解：=
通项，
，所以，在上，级数一致收敛，设其和函数为，
解此微分方程，得到
当时，。

于是
习题9.3
1.求下列幂级数的收敛区间
（2）
解：的通项，，
，当，即时，级数一致收敛。

当
时，，级数收敛；时，，级数收敛。

所以的收敛区间为
（4）
解：令，。

的通项，，
，当，即时，级数一致收敛。

当时，
，级数发散；时，，级数收敛。

所以
的收敛区间为。

于是得到的收敛区间为，即
2.展开下列函数并确定收敛区间
（1）
解：。

所以
的通项，，
，所以，级数
的收敛区域为
（3）
解：，令
令，。

的通项，
，，当，即时，
级数一致收敛。

当时，，级数发散；时，
，级数发散。

所以的收敛区间为。

于是得到
的收敛区间为
3.求下列幂级数的和函数
（2）
解：通项，
，当，即时，级数一致收敛，设其和函数为，
4.计算下列级数的值
（1）
解：考虑级数，当时，该级数一致收敛，设其和函数为，，
当时，收敛，且收敛于
习题9.4
4.下列周期函数以为周期，将展开成傅里叶级数
（2）
解：
所以，，于是，
所以，，于是
所以，
函数在点处不连续，所以有
6.将函数, , 展开成傅里叶级数。

解：
所以，
7.将函数 ()分别展开成正弦级数和余弦级数。

解：求正弦级数，对做奇延拓，得到
，则有，
于是
当时，，
当时，，所以，
求余弦级数，对做偶奇延拓，得到。

则有
；
于是，
当时，，
当时，
所以，
复习题九
1．填空题
（1）是级数收敛的必要条件而不是充分条件（2）部分和数列有界是正项级数收敛的充要条件。