2018学年高一数学人教A版必修2练习：章末整合2 含解析

章末知识整合
专题一公理的应用
1．证明共面问题．
证明共面问题，一般有两种方法．一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．
2．证明三点共线问题．
证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，
即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．
3．证明三线共点问题．
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
例1 正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1，O，M三点共线．证明：如图，∵AA1∥CC1，
∴AA1，CC1确定一个平面A1C，
显然有A1C⊂平面A1C，
又∵A1C∩平面BC1D＝O，
AC∩BD＝M，
∴点C1，O，M三点在平面A1C内，也在平面BC1D内，从而C1，O，M三点都在这两个平面的交线上，即C1，O，M三点共线．►跟踪训练
1．如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．
证明：FE，HG，DC三线共点．
证明：连接C1B，由题意知，HC1綊EB，∴四边形HC1BE是平行四边形．∴HE∥C1B.
又∵C1G＝GC，CF＝BF，故GF綊1
2C1B.
∴GF∥HE，且GF≠HE.∴HG与EF相交．
设交点为K，则K∈HG，又∵HG⊂平面D1C1CD，
∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF⊂平面ABCD.
∴K∈平面ABCD.
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC.
∴K∈DC.∴FE，HG，DC三线共点．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，画出平面AED1与正方体有关各面的交线．
解析：如图所示，设D 1E 与DC 的延长线交于G ，连接AG ，设AG 与BC 交于F ，连接EF ，则AD 1，D 1E ，EF 和AF 为所求作的交线．(注：画截面与正方体有关的交线，必须作出它与有关棱的交点，根据“同一平面内两直线不平行必相交”和公理1去画直线确定交点)
专题二 空间中的位置关系
1．空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧相交平行异面
2．空间中直线与平面的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交
3．两个平面的位置关系⎩
⎪⎨⎪⎧相交平行 求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．
已知：直线a ∥b ，a ∩平面α＝P ，
求证：直线b 与平面α相交．
证明：∵a ∥b ，∴a 和b 确定平面设为β.
∵a ∩α＝P ，∴平面α和平面β相交于过点P 的直线，设为l. ∵在平面β内l 与两条直线a ，b 中的一条直线a 相交，
∴l 必与b 相交于Q ，即b ∩l ＝Q ，又因为b 不在平面α内(若b
在α内，则a∥b，∴a∥α，与a与α相交矛盾)，故直线b和平面α相交．
►跟踪训练
3．已知直线a与b不平行，且a⊥平面α，b⊥平面β，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．
解析：平面α与平面β相交．
下面用反证法证明：假设α与β不相交，则α∥β.
∵a⊥α，∴a⊥β.又b⊥β，
∴a∥b，这和a与b不平行矛盾．
∴假设不成立，故平面α与平面β一定相交．
4．求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线那么这条直线在此平面内．
已知：l∥α，P∈α，P∈m，m∥l，求证：m⊂α.
证明：设l与P确定平面为β，
且α∩β＝m′，
∵l∥α，∴l∥m′.
又∵l∥m，m，m′都经过点P，
∴m，m′重合，∴m⊂α.
专题三空间中的平行和垂直关系
1．空间中的平行关系有三类：一是线线平行，由平行线的传递性和平面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的
性质定理可以证明线线平行，根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等．二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行．三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行．由面面平行可以得出线面平行和线线平行，平行关系的转化是：
2．空间中的垂直关系有三类：一是线线垂直，空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形，由两直线所成的角是直角或者由线面垂直推出线线垂直．二是线面垂直，利用线面垂直的定义、判定定理、平面与平面垂直的性质定理来判定线面垂直．三是面面垂直，利用直二面角和面面垂直的判定定理判定两平面垂直．
垂直关系的转化：
如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC＝AD＝AB
＝1，BC＝2，凸多面体ABCED的体积为1
2，F为BC的中点．
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：平面BDE⊥平面BCE.
证明：(1)∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴四边形ACED为梯形，且平面ABC⊥平面ACED，∵BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC，
∵平面ABC∩平面ACED＝AC，
∴AB⊥平面ACED，
即AB为四棱锥BACED的高，
∵V BACED＝1
3·S ACED·AB＝1
3×1
2×(1＋CE)×1×1＝
1
2，∴CE＝
2，
取BE的中点G，连接GF，GD，
∴GF为三角形BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，GF＝1
2CE＝DA，
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.
(2)∵AB＝AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，又GF⊥AF，BC∩GF＝F，
∴AF⊥平面BCE，
∵AF∥GD，
∴GD⊥平面BCE，
又GD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE.
►跟踪训练
5．如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F 分别是AB，BC的中点．求证：
(1)EF∥平面A1BC1；
(2)平面D1DBB1⊥平面A1BC1.
证明：(1)连接AC，则AC∥A1C1，而E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，
则EF∥A1C1，又∵EF⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，故EF∥平面A1BC1.
(2)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，
则A1C1⊥平面D1DBB1，
又A1C1⊂平面A1BC1，
所以平面D1DBB1⊥平面A1BC1.
6．某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图．
(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.
(1)解析：该几何体的直观图如图甲所示．
(2)证明：如图乙，①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.
又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，
所以PD∥平面AGC.
②连接PO，由三视图可得到，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.
又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO⊥平面PBD.
因为AO⊂平面AGC，
所以平面PBD⊥平面AGC.
7．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点，将△ABC沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O ＝ 2.
(1)求证：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．
解析：因为在等腰直角三角形ABC中，
∠B＝∠C＝45°，CD＝BE＝2，CO＝BO＝3.
所以在△COD中，
OD＝CO2＋CD2－2CO·CD cos 45°＝5，同理得OE＝ 5.
因为AD＝A′D＝A′E＝AE＝22，A′O＝3，
所以A′O2＋OD2＝A′D2，A′O2＋OE2＝A′E2，所以∠A′OD ＝∠A′OE＝90°.
所以A′O⊥OD，A′O⊥OE.又OD∩OE＝O，
所以A′O⊥平面BCDE.
(2)过点O作OF⊥CD的延长线于点F，连接A′F.
因为A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理，有A′F⊥CD，
所以∠A′FO为二面角A′CDB的平面角．
在Rt△COF中，OF＝CO·cos 45°＝32 2，
在Rt△A′OF中，A′F＝AO2＋OF2＝30 2.
所以cos∠A′FO＝OF
A′F＝
15
5，
所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为15 5.。