(江苏专用)高考数学一轮复习 加练半小时 专题9 平面解析几何 第68练 圆与圆的位置关系 文(含解

第68练 圆与圆的位置关系
[基础保分练]
1.若圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________.
2.圆C 1：x 2
＋y 2
＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有___条.
3.(2018·某某模拟)若圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝1(a ∈R ，b ∈R )关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是(x －1)2
＋(y －3)2
＝1，则a ＋b ＝________.
4.已知圆M ：x 2
＋(y ＋1)2
＝4，圆N 的圆心坐标为(2,1)，若圆M 与圆N 交于A ，B 两点，且
AB ＝22，则圆N 的方程为________.
5.圆x 2
＋y 2
－2x ＋F ＝0和圆x 2
＋y 2
＋2x ＋Ey －4＝0的公共弦所在的直线方程是x －y ＋1＝0，则E ＝________，F ＝________.
6.(2019·宿迁模拟)若圆x 2
＋y 2
＝9与圆x 2
＋y 2
－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则l 的方程为______________.
7.(2019·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2
＋(y －6)2
＝25，圆C 2：(x －17)2
＋(y －30)2
＝r 2
.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，满足PA ＝2AB ，则半径r 的取值X 围是________.
8.已知圆C 1：x 2
＋y 2
＝4和圆C 2：(x －2)2
＋(y －2)2
＝4，若点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9
b
的最小值为________.
9.(2018·某某调研)已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2
＝1，圆C 2与圆C 1外切，且与直线x ＝3切于点(3,1)，则圆C 2的方程为__________________.
10.已知圆C 1：(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝1，圆C 2：(x －4)2
＋(y －5)2
＝9，点M ，N 分别是圆C 1，圆
C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN －PM 的最大值是________.
[能力提升练]
1.(2019·某某调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与x 轴、y 轴分别交于A ，
B 两点，点M 在圆x 2＋(y －a )2＝5(a >0)上运动.若∠AMB 恒为锐角，则实数a 的取值X 围是
________.
2.已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5＋2，则满足条件的直线
l 的条数为________.
3.(2018·某某质检)已知圆C 1：x 2
＋y 2
＋4ax ＋4a 2
－4＝0和圆C 2：x 2
＋y 2
－2by ＋b 2
－1＝0相内切，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1
b
2的最小值为________.
4.已知集合A ＝{(x ，y )|x (x －1)＋y (y －1)≤r }，集合B ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
≤r 2
}，若A ⊆B ，则实数r 的取值X 围为________.
5.以圆C 1：x 2
＋y 2
＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
＋2x ＋2y ＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为______________.
6.已知P 点为圆O 1与圆O 2的公共点，圆O 1：(x －a )2
＋(y －b )2
＝b 2
＋1，圆O 2：(x －c )2
＋(y －d )2
＝d 2
＋1，若ac ＝8，a b ＝c d
，则点P 与直线l ：3x －4y －25＝0上任意一点M 之间的距离的最小值为________.
答案精析
基础保分练 1.9 2.2 3.4
4.(x －2)2
＋(y －1)2
＝4或(x －2)2
＋(y －1)2
＝20 5.－4 －8 6.x －y －2＝0 7.[5,55] 8.8
解析 由题意得，圆C 1：x 2
＋y 2
＝4和圆C 2：(x －2)2
＋(y －2)2
＝4两个方程相减即可得到两圆的公共弦，即x ＋y ＝2，
又点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上， 即a ＋b ＝2，则
1
a ＋9
b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋9a b ＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋9a b ≥5＋12×2b a ·9a
b
＝8(当且仅当b ＝3a ，即a ＝12，b ＝3
2时等号成立)，
即1a ＋9
b
的最小值为8.
9.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －752＋(y －1)2
＝6425
解析 设圆C 2：(x －a )2
＋(y －1)2
＝r 2
(r >0)，
由已知得⎩⎨
⎧
a ＋12＋1＝r ＋1，|a －3|＝r ，
解得a ＝75，r ＝8
5
.
所以圆C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －752＋(y －1)2
＝6425.
10.9
解析 圆C 1的圆心为C 1(1，－1)，半径为1，圆C 2的圆心为C 2(4,5)，半径为3，要使PN －
PM 最大，需PN 最大，PM 最小，PN 最大为PC 2＋3，PM 最小为PC 1－1，故PN －PM 的最大值是PC 2＋3－(PC 1－1)＝PC 2－PC 1＋4，C 2关于x 轴的对称点为C 2′(4，－5)，PC 2－PC 1＝PC 2′－PC 1≤C 1C 2′＝
4－1
2
＋－5＋1
2
＝5，故PN －PM 的最大值是5＋4＝9. 能力提升练
1.(5，＋∞)
解析 A (－4,0)，B (0,2)，
以AB 为直径的圆的方程为(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝5， ∵∠AMB 恒为锐角，
∴M 在圆(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝5的外部， 又两圆半径相等，故两圆外离， ∴4＋
1－a
2>25，
又a >0，解得a >5. 2.1
解析 点A (1,2)到直线l 的距离是2，直线l 是以A 为圆心，2为半径的圆的切线，同理点B (3,1)到直线l 的距离是5＋2，直线l 是以B 为圆心，5＋2为半径的圆的切线，∴满足条件的直线l 是以A 为圆心，2为半径的圆和以B 为圆心，5＋2为半径的圆的公切线， ∵AB ＝
1－3
2
＋2－1
2
＝5，
两圆半径分别为2和5＋2，
∴两圆内切，∴两圆公切线有1条，故满足条件的直线l 有1条. 3.9
解析 将圆的方程配方得C 1：(x ＋2a )2
＋y 2
＝4，其圆心为C 1(－2a,0)， 半径r 1＝2，
C 2：x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为C 2(0，b )，半径r 2＝1，
又两圆内切，故C 1C 2＝r 1－r 2， 故有
－2a
2
＋－b
2
＝1，
整理得4a 2
＋b 2＝1，
故1
a 2＋1
b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2
)＝5＋b 2a 2＋4a 2
b
2≥5＋2b 2a 2·4a 2b
2＝9(当且仅当b 2＝2a 2
时取等号)， 所以1a 2＋1
b
2的最小值为9.
4.[1＋2，＋∞)
解析 A ＝⎩
⎨
⎧
x ，y | ⎝
⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝
⎛⎭
⎪⎫y －1
2
2
⎭
⎬⎫
≤r ＋12，
B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}.
可知A ，B 分别表示两个圆及其内部，
要满足A ⊆B ，即两圆内切或内含. 故圆心距O 1O 2＝2
2≤|r 1－r 2|，即 22≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪r － r ＋12，即r 2
－2·r ·r ＋12＋r ＋12≥12
等价于r ⎝
⎛⎭
⎪⎫r －2
r ＋12
＋1≥0⇔r －
2
r ＋12
＋1≥0⇔r ＋1≥2r ＋12
，即r 2－2r －1≥0，得r ≥1＋2或r ≤1－2(舍).
故实数r 的取值X 围为[1＋2，＋∞). 5.(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝1
解析 ∵圆C 1：x 2
＋y 2
＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
＋2x ＋2y ＋1＝0， ∴两圆相减可得公共弦方程为l ：2x －2y ＝0，即x －y ＝0. 又∵圆C 1：x 2
＋y 2＋4x ＋1＝0的圆心坐标为(－2,0)，半径为3； 圆C 2：x 2
＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的圆心坐标为(－1，－1)，半径为1， ∴直线C 1C 2的方程为x ＋y ＋2＝0，
∴联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，
可得以公共弦为直径的圆的圆心坐标为(－1，－1)，
∵(－2,0)到公共弦的距离为2， ∴以公共弦为直径的圆的半径为1，
∴以公共弦为直径的圆的方程为(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝1. 6.2
解析 设P (m ，n )，则(m －a )2＋(n －b )2＝b 2＋1⇒a 2－2ma ＋m 2＋n 2
－1－2bn ＝0，令a b ＝c d ＝1t
，
则a 2
－(2m ＋2tn )a ＋m 2
＋n 2
－1＝0，同理可得c 2
－(2m ＋2tn )c ＋m 2
＋n 2
－1＝0，因此a ，c 为方程x 2
－(2m ＋2tn )x ＋m 2
＋n 2
－1＝0的两根，不妨令a ＝m ＋tn ＋t 2n 2
＋2mnt －n 2
＋1，
c ＝m ＋tn －t 2n 2＋2mnt －n 2＋1，得ac ＝m 2＋n 2－1＝8，m 2＋n 2＝9，设原点O 到直线l 的距离
为d ，从而点P 与直线l ：3x －4y －25＝0上任意一点M 之间的距离的最小值为d －r ＝25
5－3
＝2.。