寿险精算习题课

(2) x / q0 S ( x) S ( x 1)
x o x o
w1
w1
S (0) S (1) S (1) S (2) ... S ( w 1) S ( w) S (0) S ( w) 1 0 1
15.
第3章 生存函数与生命表 2章 确定年金 根据下表计算 p 第 ， p ， q ， q 。
第4章 趸缴纯保费 第2章 确定年金
6.
第4章 趸缴纯保费 第 2章 确定年金 设现有 100 个年龄为 x 岁的人，同时投保了保险金额为 1000 元的终
身寿险，保险金额于被保险人死亡时立即支付。设每人交纳纯保费 N 元作为保险基金，保险给付数额是从该项基金中按年利率 i 10% 计算 缴纳的。一直在年利率 i 10% 的条件下， Ax 0.06， Ax 0.01。试 求趸缴纯保费 P， 使得保险基金足以支付保险死亡给付的概率为 95%。
1
10 ， b2 5 ，
b3 2 ，现值随机变量 Z bK 1 v K 1，计算Var (Z ) 。
lx
100 72 39 0
解： E ( Z ) 10 v q 5v 2 | q 2v3 | q 4.715 90 1 90 2 90
z1 , z2 ,
z100相互独立
6.
第4章 趸缴纯保费 第 2章 确定年金 设现有 100 个年龄为 x 岁的人，同时投保了保险金额为 1000 元的终
身寿险，保险金额于被保险人死亡时立即支付。设每人交纳纯保费 N 元作为保险基金，保险给付数额是从该项基金中按年利率 i 10% 计算 缴纳的。一直在年利率 i 10% 的条件下， Ax 0.06， 2 Ax 0.01。试 求趸缴纯保费 P， 使得保险基金足以支付保险死亡给付的概率为 95%。
100 P 1.645 Var ( Z ) E ( Z ) 7361 P 73.16
16. 设 Ax
第4章 趸缴纯保费 2章 0.25 ， A 第 0.40 ，确定年金 。 A 0.55，计算 A1 x:20
x 20
x:20
1 解： Ax A1 A Ax20 x:20 x:20
t , t 0,100 （2） Fx (t ) 1 S x (t ) 100 x dFx (t ) 1 （3） f x (t ) dt 100 x （4） Pr(10 T (0) 40) S0 (10) S0 (40) 0.3
5.
第3章 生存函数与生命表 第2章 确定年金 q 已知 x 岁与 x+1 岁之间死亡的概率为
100 i 1
2
解：zi 1000vt (t 0, i 1, 2
,100)，Z zi
E ( zi ) 1000 Ax 60，E ( zi2 ) 10002 2 A x 10000
2 Var ( zi ) E ( zi2 ) E ( z i ) 6400
lx lx1 lx1 Ax v v Ax1 lx lx Ax lx v lx lx1 ( Ax1 1)
代入得v 0.8418, i 0.188
18.
第4章 趸缴纯保费 第对 2 章 确定年金 给定生存模型如下， （ 90） 考虑离散保险， 假设 b
X 90 91 92 93
5. 以某一复利利率，1 会在 a 年内增加到 2,2 将在 b 年内增 加到 3,3 将在 c 年内增加到 15， 如果 6 将在 n 年内增加到 10， 将 n 表示为 a、b 和 c 的函数。 解：
(1 i) 2, 2(1 i) 3,3(1 i) 15 (1 i)
下该年金在第一年年初的现值： （1）年有效利率为 12%； （2）年名义 利率为 12%，利息每半年转换一次； （3）年名义利率为 12%，利息每 季度转换一次； （4）年名义利率为 12%，利息每月转换一次。
解： （1） i1 (1 12%) 1
1 4
a40 i1 23.594
PV1 60* a40 i1 1415.6
( p) n
an dan
( p) 1 ( p) sn s n 1 p p
__
1 1 （2） ( p ) ( p ) d ( p ) （3） a n sn
( p) 1 v 解： （1） a n ( p ) d n
( p) a 、 n
1 v n __ 1 v n ( p ) 、 an 、 i
35:5 0 4
第4章 趸缴纯保费 第2章 确定年金 1000 元的 5 年定期 设年龄为 35 岁的人，购买一张保险金额为
（2）题目不准确，纯保费应改为自然保费（以人的每一年龄及一 年期间的死亡率为基础所制定的各年龄的保险费）
P 总 1000 vqx 5.95828
k 35
39
（3）折现因子不同（包括利息，生存率） （以 2000-2003 非养老金男表计算得到的结果）
12% 1 （2） i2 (1 ) 2 1 a40 i2 23.279 2 12% a40 i3 23.115 （3） i3 3% 4 12% 3 （4） i4 (1 ) 1 a40 i4 23.003 12
PV2 =60* a40 i2 =1396.74 PV3 60* a40 i3 =1386.89 PV4 60* a40 i4 =1380.16
1.
第3章 生存函数与生命表 2章 100), 0 x确定年金 100 ,求 已知 S ( x ) 1 ( x /第
0
（ 1） x （ 3） f x ( t ) 解： （1） x
（2） Fx (t ) （4） Pr(0 T (0) 40)
( x) S0 1 , x （0， 100） S0 ( x) 100 x
100 100 E ( Z ) E ( zi ) 6000,Var ( z ) Var ( zi ) 64000 i 1 i 1 趸缴纯保费最少为P, 则P ( Z 100 P ) 0.95 r Z E ( Z ) 100 P E ( Z ) P( ) 0.95 r Var ( Z ) Var ( Z )
1 Ax:20 A1 A x:20 x:20
A1 0.05 x:20
17. 设 Ax
第4章 趸缴纯保费 2章 0.25 ， A 第 0.26 100 ， l 95 ，计算利率 i 。 ， l 确定年金
x 1 x x 1
1 A Ax1 解： Ax A1 x:1 x: 1
l312
2
2
q302 1 q30
1|
l311 l311 l312 p30 q301 0.000561 l31 l311
1. 寿险保单，保险金额于被保险人死亡所处的保险年度末支付。按 照声明标记年利率为 i 0.06 ，试计算： （1）该保单的趸缴纯保费 （2）纯保费；该保单自 35 岁至 39 岁各年龄的自然保费之总额； （3） （1）与（2）的结果何以不同？ 解： （1）1000 A 1 1000 vk 1k|qx =5.2545
x| 20
（1）分别用 S ( x) 与 l x 定义 x| q20 （2）证明 x| q0 1
x o w1
1 (1) lx l0 S0 ( x) x| q20 (lx lx1 ) l0 解： x| p0 x P 0 x 1 P 0 S ( x ) S ( x 1)
20
解：1000e 0
（0.01t 0.1) dt
1000(1 i ) 20 1 i e1/5 ,
A(15) 1000*(1 i )15 1000* e3 20085.54
第2章 确定年金
1. 推导下列公式： （1） ian d
( p)
a i a
( p) n ( p)
10001000525452题目不准确纯保费应改为自然保费以人的每一年龄及一年期间的死亡率为基础所制定的各年龄的保险费393510005958283折现因子不同包括利息生存率以20002003非养老金男表计算得到的结果现年36岁的人购买了一张离散型的终身寿险保单并规定
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第1章 利息的度量及其基本计算
( p) 1 ( p) sn s n 1 p p
i d
( p)
an 、 s
( p) n

i d
( p)
sn
1 d ( P) d ( P) 1 1 ( P) ( i ) d ( P) a (np ) ian i sn sn
第2章 确定年金
1. 推导下列公式： 1 1 （2） ( p ) ( p ) d ( p ) （3） a n sn
n
1 v 1 v an 、 an d i
n
ian d
( p)
a i a
( p) n ( p)
( p) n
an dan
__
第2章 确定年金
1. 推导下列公式： 1 1 （2） ( p ) ( p ) d ( p ) （3） an sn 解： （2） a
( p) n
n
( p) 1 ( p) sn s n 1 p p
解： （3） s
( p) n 1 p
n (1 i ) 1 (1 i ) 1 ( p) 、 sn ( p) i d ( p)
1 p
s
( p) n 1 p
1 n 1 1 1 p ( p ) (1 i) 1 ( p ) p i i
1 p (1 i) 1

n ( p) (1 i ) (1 i ) 1 (1 i ) 1 s d ( p) n i( p) n
1
1 p
1
5.
第2章 确定年金 第2章 确定年金 240 元，求下列条件 某年金分 10 年于每季度末支付，每年支付额为
2 30 1 2 31 2 30 2 1| 30
x
l x
33829 33804
l x1
33814 33788
l x2
33795 33768
l x 3
33772 33744
30 31
解： 2 p301 p31
l303 0.99876 l301 l31 0.99894 l34 l302 0.00151
4. 现年 36 岁的人， 购买了一张离散型的终身寿险保单， 并规定： 若被保险人在 10 年内死亡，则给付数额为 15000 元；若 10 年后 死亡，则给付数额为 20000 元。试求其趸缴纯保费。 解： P 15000 A1 20000 | A 2175.41 10 36 36 :10 本题没有告知贴现率，并且如果不用相应贴现率对应的换算函 数，计算很费时
15.
第2章 确定年金 第2章 确定年金 某期末付年金每次付款额为 100 元，共付 20 次，第 k 年的实
际利率为
1 ，计算V (15) 。 8 k 1 1 1 10 11 t 9 t 9 )(1 )...(1 ) ... 解： a(t ) (1 8 1 82 8t 9 10 t 8 9 a(15) 15 9 9 24 * a(k ) 9 k 9 k 9 1 1 1 1 1 1 V (15) 100* 24*( ... ) 2718.45 10 11 12 27 28 29
Hale Waihona Puke a b cc a b10 (1 i) n 6
n c a b
第1章 利息的度量及其基本计算
15. 资金 X 以利息力 t 0.01t 0.1(0 t 20) 积累，资金 Y 以年实际利率 i 积累。两笔资金均投资 1000，为期 20 年。若 在第 20 年末两笔资金的数值相当， 试计算资金 Y 在 15 年末 的数值。