高一数学空间直线与直线、直线与平面的位置关系北师大版知识精讲

高一数学空间直线与直线、直线与平面的位置关系北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
空间直线与直线、直线与平面的位置关系
二. 学习目标：
1、了解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
2、掌握空间位置关系的判定定理及其简单应用，了解定理的证明；
3、掌握空间位置关系的性质定理及其简单应用，掌握定理的证明；
4、通过一些典型题，掌握空间位置关系证明的常用方法；
5、会求异面直线所成角及直线与平面所成角
三. 知识要点：
1、空间直线与直线的位置关系
（1）直线与直线平行（无公共点），记作a∥b；
（2）直线与直线相交（有且仅有一个公共点），记作a∩b＝A；
（3）直线与直线异面（不同在任何一个平面内）
说明：若进行两次分类，则可分为共面（包括平行、相交）与异面。

2、直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点），记作aα
⊂；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点），记作a A
α=；
（3）直线和平面平行（没有公共点），记作//
aα
说明：若进行两次分类，则可分为直线在平面内和直线在平面外（包括相交、平行）．它们的图形分别可表示为如下：
a
α
a
A
α
a
α
3、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，即,,////
a b a b a
ααα
⊄⊂⇒。

4、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行即：//,,//
a a
b a b
αβαβ
⊂=⇒．
5、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那
么这条直线垂直于这个平面。

即：,,,,m a m b a b P a b m αα⊥⊥=⊂⇒⊥。

6、直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

即：,//m n m n αα⊥⊥⇒。

7、三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

8、异面直线所成角 设a ，b 为异面直线，过空间任意一点作a ，b 的平行线，则平行线所成角即为异面直线所成角；
直线与平面所成角 平面的斜线与它在平面上的射影所成的角称为该斜线与平面所成角；若直线与平面平行，则所成角为0；若直线与平面垂直，则所成角为90°。

四. 考点解析与典型例题： 考点一 判定直线与直线平行
常用方法有： ①定义法；
②平行平面的性质：两平行平面与第三个平面的交线互相平行； ③线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ④如果一条直线与两个相交平面都平行，则该直线与相交平面的交线平行（此结论需证明）；
⑤三个平面两两相交有三条交线，如果有两条交线平行，则它们一定互相平行（此结论需要证明）；
⑥平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 例1 求证：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

已知：a ⊥α，b ⊥α。

求证：a ∥b 。

证明：（同一法）过b 上任一点M ，作直线m ∥a ， 因为a ⊥α，由线面垂直的判定可知：m ⊥α。

从而过平面α外一点M 有两条直线m ，b 均和α垂直，由线面垂直的性质“过一点作平面的垂线有且仅有一条”可知，m ，b 重合。

因为m ∥a ，故b ∥a.
说明：严格地说，应用同一法进行命题证明的前提是先判断命题符合同一法则（即原命题和逆命题等价），但一般情况下判断命题是否符合同一法则比较困难，在几何中，同一法的一般做法是：要证A 具有性质M ，先作B 具有性质M ，然后说明A 、B 是同一个图形，从而A 也具有性质M 。

考点二判定直线与直线异面
常用方法有：
①定义法：一般采取反证法的思想，排除共面情形（即平行与相交）；
②利用异面直线的判定定理；
例2 已知空间四边形ABCD，求证：对角线AC与BD是异面直线。

证明：（反证法）假设AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，从而四边形ABCD 为平面四边形，与题设矛盾，从而AC与BD是异面直线。

考点三判定线共面
常用方法有：
①证明有两条直线共面，判定其它直线在前两条直线所确定的平面上；
②反证法。

例3 设夹在两平行平面间的四条线段的中点分别为A，B，C，D，连接ABCD构成四边形，求证：ABCD为平面四边形。

证明：如右图所示，过M作MF∥PQ交平面β于F，设MF中点为E，连接各点：在△MNF中，AE为中位线，故AE∥NF；
在平行四边形MPQF中，BE∥FQ，故由平面平行的判定定理可知：平面ABE∥平面β；从而，AB∥β。

同理，可证BC、CD、DA均平行于β。

若记AB、BC所在平面为γ，则γ∥β；因为CD、DA与β平行，故CD、DA与γ平行；又CD、DA均过γ内一点，故CD、DA在平面γ内。

从而命题得证。

考点四证明直线与平面平行
常用方法有：
①定义法；
②反证法；
③判定定理：平面外与平面内一直线平行的直线平行于该平面；
④利用面面平行的性质：两平面平行，则一个平面内任一直线均平行于另一平面；
⑤结论：与平面的垂线垂直的直线平行于该平面（需要证明）；
例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E为PC中点，证明：PA∥面EDB。

P
C
D
A
B
O
E
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO 。

因为ABCD 为正方形，所以O 为AC 中点，又E 为PC 中点，故OE 为△PAC 中位线，EO ∥PA ，且EO 在平面EBD 上，PA 在平面EBD 外，故PA ∥面EDB 。

考点五 证明直线和平面垂直
常用方法有： ①定义法； ②判定定理； ③反证法； ④同一法；
⑤结论：平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面； ⑥结论：平行平面中的一个垂直于一条直线，则另一个也垂直于该直线； ⑦结论：两相交平面都和第三个平面垂直，它们的交线和第三个平面也垂直
例5 已知PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 作AE ⊥PC 于E ，求证：AE ⊥平面PBC 。

A
B
C
E
P
证明：连接AC ，则BC ⊥AC 。

因为PA ⊥⊙O 所在平面， 故PA ⊥BC ，从而BC ⊥平面PAC ，得：BC ⊥AE ； 又因为AE ⊥PC ，所以AE ⊥平面PBC 。

考点六 三垂线定理及其逆定理的应用
应用的关键：①寻找或构造辅助平面；②寻找或构造平面的斜线及其在此平面上的射影；③寻找或求证直线与斜线或其射影的垂直关系。

例6 题见例5。

证明：连接AC ，则BC ⊥AC 。

因为PA ⊥⊙O 所在平面，故PC 的射影是AC 。

由三垂线定理可知：BC ⊥PC ，从而BC ⊥平面PAC ，得：BC ⊥AE ；又因为AE ⊥PC ，所以AE ⊥
平面PBC 。

说明：实际上，因为E 点的射影在AC 上，故AE 的射影也是AC ，由三垂线定理可以更快地得到BC ⊥AE 这个结论。

三垂线定理及其逆定理的作用就是可以不通过线面垂直去证明线线垂直。

考点七 求异面直线所成角或直线与平面所成角 主要根据定义进行求解 例7 求正四面体的侧棱与底面所成角的正切值。

A
B
C
D
E
解：连接BD 中点E 与A 、C ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD ， 故BD ⊥平面AEC ，从而AC 在平面BCD 上的射影为CE ， 求出∠ACE 即可。

在△ACE 中，设AC ＝2，则AE ＝CE ＝3，故可求得tan ∠ACE ＝2。

五. 本讲数学思想方法：
本讲对线线与线面的位置关系的主要题型与方法进行了整理，主要涉及逆向思维在解题中的应用实践：一是反证法，通过证明原命题的逆否命题成立达到间接证明原命题成立的目的，利用了互为逆否的两个命题真值相同的性质；二是同一法，利用在符合同一法则的前提下，原命题与逆命题等价这个性质，通过构造图形符合待证性质并说明所构造图形与待证图形为同一图形来达到间接证明原命题的目的，这两种方法在立体几何的证明中是十分常见的方法，同学们要通过练习熟练掌握；另外，数形结合的思想方法在本讲中的地位也十分重要。

同时，同学们还要学会阶段性总结，掌握以题型为中心的总结和以方法为中心的总结这两种总结方法。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1、当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，要使一根长为2m 的细杆的影子最长，则细杆与水平地面所成的角为
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
2、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为
ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于
A.
13
B.
3
C. D. 23
3、已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD
，所成的角的余弦值为
A.
13 B. 23 C. 33 D. 2
3
4、设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与α、l 都成30°角的直线有且只有
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条 5、如图，A 、B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与βα、所成的角分别是θ和ϕ，AB 在βα、内的射影分别是m 和n ，若a b >，则
A. m n θϕ>>，
B. m n θϕ><，
C. m n θϕ<<，
D. m n θϕ<>，
*6、若a ，b 是异面直线，P 是a ，b 外的一点，有以下四个命题： ①过P 点可作直线k 与a ，b 都相交； ②过P 点可作平面与a ，b 都平行； ③过P 点可作直线与a ，b 都垂直；
④过P 点可作直线k 与a ，b 所成角都等于50o . 这四个命题中正确命题的序号是 A. ①、②、③B. ②、③、④
C. ②
D. ③、④ *7、与空间四边形的各顶点等距离的截面共有 A. 7个 B. 4个 C. 3个 D. 1个
二、填空题
8、等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为
3
3
，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于． 9、如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为．
三、解答题 10、四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。

已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC ＝2
，SA ＝SB ＝。

（Ⅰ）证明：SA ⊥BC ；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值
11、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点。

求证：EF ∥平面SAD 。

12、如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==。

（1）求证：1,,,E B F D 四点共面；
（2）若点G 在BC 上，
2
3
BG =，点M 在1BB 上，GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；
（3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角的大小，求tan θ。

13、若直线L 与平面α内三条两两相交的直线a ，b ，c 所成的角相等。

求证：L ⊥α。

【试题答案】
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案
B
C
C
B
D
D
A
二、填空题
8、61
； 9、105
三、解答题： 10、（Ⅰ）证明：作，垂足为，连结
，由侧面底面，得底面
．因为
，所以
，又
，故为等腰直角
三角形，，由三垂线定理，得
．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，依题设
，故，由
，
，
，得
，．的面积．连结
，得
的面积
设到平面的距离为，由于
，得21S SO 3
1S h 3
1
⋅=⋅，
解得．设与平面所成角为，则．
11、证明：连接SD 中点P 与A 、F ，则PF 与AE 平行且相等，故四边形PAEF 为平行四边形，从而EF ∥PA ，故EF ∥平面SAD 。

12、（1）证明：在DD 1上取一点N 使得DN ＝1，连接，EN ，显然四边形CFD 1N 是平行四边形，所以D 1F ∥，同理，四边形DNEA 是平行四边形，所以EN ∥AD ，且EN ＝AD ，又BC ∥AD ，且AD ＝BC ，所以EN ∥BC ，EN ＝BC ，所以四边形EB 是平行四边形，所以
∥BE ，所以D 1F ∥BE ，所以1,,,E B F D 四点共面。

（2）因为GM BF ⊥所以BCF ∆∽∆MBG ，所以MB BG BC CF =
，即2
3
32
MB =，所以MB ＝1，因为AE ＝1，所以四边形ABME 是矩形，所以EM ⊥BB 1又平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1，且EM 在平面ABB 1A 1内，所以EM ⊥面11BCC B
（3）EM ⊥面11BCC B ，所以EM ⊥BF ，EM ⊥MH ，GM BF ⊥，所以∠MHE 就是截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角的平面角，∠EMH ＝90︒，所以tan ME
MH
θ=
，ME ＝AB ＝3，BCF ∆∽∆MHB ，所以3：MH ＝BF ：1，BF
=，所以MH
，所以tan ME
MH θ=
13、证明：∵直线L 与平面α内的三条两两相交的直线a ，b ，c 所成的角相等，∴L ⊄α，L 与α相交不妨设直线a ，b ，c 都过L 与平面α的交点O 。

在a ，b ，c 上分别确定点A ，B ，
C ，使得OA ＝OB ＝OC 。

在L 上取一点P ，则∠POA ＝∠POB ＝∠POC ，∴△POA ≌△POB ≌△POC ，则PA ＝PB ＝PC 。

取AB ，BC 的中点分别为E ，F ，则PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，且OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，又∵PE ∩OE ＝E ，PF ∩OF ＝F ，∴AB ⊥平面POE ，BC ⊥平面POF.则L ⊥AB ，L ⊥BC 而AB ∩BC ＝B ，∴L ⊥α．。