电动力学-第二章-2.6 电多极矩

如何用于电势
(x)
( x)dV V 4 0r
？
以上泰勒级数展开式用于f (x)=1/r，r x x
r是 x, x的函数,场点 x 固定不变, 而源点 x变化
把 x在原点O附近展开，有 注意负号！
1 1 x (1) y (1) z (1)
r r x0
x r x0
y r x0
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r1 4 r 2 r
4 r
r 1- 1 a 2 2 a cos - 450 3 a 2 cos2 - 450
r2 4 r 2 r
4 r
r
1-
1
a
2
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r3 4 r 2 r
1 6
ij
5
1
2
2a2 2 sin2 cos2 b2 2 sin2 sin2 c2 2 cos2
abc 3 sin d d d
00 0
Dyy
1Q 5
2b2 a2 c2
, Dzz
1Q 5
2c2 a2 b2
可以验证Dxx+Dyy+Dzz=0
1
4 0
Q r
pr
1 r
对于三元函数f (x1,x2,x3),在原点 x1=0, x2=0,x3=0邻域
的泰勒级数是：
f (x1, x2 , x3 )
f
(0,
0,
0)
x1
x1
f (0, 0, 0) x2
x2
f
(0,
0,
0)
x3
x3
f (0, 0, 0)
2
1 2!
x1
x1
x2
x2
x3
x3
f (0, 0, 0) L
x x y z x y z
用R和x’ 分开表示！
又因为 1 1 ， 1 1
r x0 R
r x0
R
所以
1 x (1) y (1) z (1)
r x0
x r x0
y r x0
z r x0
1 x 1
R
R
R x2 y2 z2 r xr0
从而得到
(x) (x)dV
§2.6 电多极矩
方
法： ( x)
( x)dV 真空中给定 电荷分布激
电 势
V
核心问题：
4 r 发的电势 0 考虑边界足够远
的 可否将场点
多 坐标从积分 极 中提出来
场点r远大于区域
展 应用领域,电荷分 布区域相对足够小
开
电荷V的线度,电 势可以展开为l/r 的多项式
一、电势的多极展开
(x) (x)dV
2 xix
j
1 R
1
4 0
1 6
i, j
V
3xixj r2ij
(
x)dV
2 xix
j
1 R
可以重新定义电四极矩张量：
Dij (3xixj r2ij )(x)dV
则满足关系： D11 D22 D33 0
原因来自 2 1 0 R
结果对源点参 量产生限制
因而只有 5 个独立分量。若电荷分布有球对称性，
[解法一]
由点电 荷的电 势叠加 求φ
q
4 0
1 r1
1 r2
1 r3
1 r4
r1
r
2
a 2
2
2r
a cos 1350
2
r
1
1 2
a r
2
2 a cos 450
r
r
1
1
a
2
2
a cos
450
1 2
r1 2 r
r
r
1
1
a
2
2
a
c os
450
4 r
r
1-
1
a
2
-
2 a cos - 450
3
a
2
cos2
-
450
r4
4r 2 r
4 r
rrrr r1 r2 r3 r4
3
2
a r
2
cos
2
450
cos2
450
3
a r
2
sin
cos
cos cos 2 cos cos
2
2
cos cos 2sin sin
四极矩。电四极矩的出现标志着对球对称
的偏移，它反映电荷分布的形状。
这些电多级矩特别适合对 电子能级的电场做出判断
值得注意的是：体系的偶极矩、电四极矩等，一般来说不但 与电荷分布有关，而且与展开点的位置(坐标原点)有关。
电四极矩的例子
z轴上一对正电荷和一对负电荷组
成的体系,设正电荷位于z=±b,负电
荷位于z=±a,可以看作由一对反向
电偶极子+p和-p组成
Dij
V 3xixj ( x)dV
在z轴上 只有D33
这个体系的 偶极矩呢？
D33 3bbQ 3bbQ 3aa Q 3aaQ
6Q b2 a2 6Q b ab a 6 pl
p Qba l b a
一对反向电偶极子 产生的场是四极矩
（3）展开式的第三项是电四极矩Dij产生的电势。
(2)
1
4 0
1
6
i, j
Dij
2 xix j
1 R
（3）
电四极矩张量Dij是对称张量，它有6个分量：
Dij V 3xixj (x)dV
D11,D22,D33,D12= D21,D13= D31,D23= D32
电四极矩也可以用并矢形式写为：
1 4 0
pz 1
r3
4 0
pz r3
1
4 0
p z
1 r
1
4 0
1 p
z r
1
4 0
p
z
1 r
1 r
1
4 0
2 pl
z 2
1 R
1
4 0
1 6
D33
2 z 2
1 R
电子轨道的不对称产生极化
？
D11分量的 最简单的电
荷体系由x
轴上两对正
负具量电有的D荷体2组系2分成由,D312a3abbQQ 3 3baabQQ
ij
2r 5
4
Dij 3xni xnj rn2 ij qn
n1
Dij (3xixj r2ij )(x)dV
4
D11
n1
3xn2 rn2ij
qn
3
a 2
2
2 2a q
3
a 2
2
2a
2
q
3
a 2
2
2 2a q
3
a 2
2
2
2a q 0 D22 D33
1 [Q
4 0 R
p
1 R
1 6
i, j
Dij
2 xix j
1 ] R
矢量p称为体系的电偶极矩,张量Dij称为体系的电四极矩。
二.电多极矩
（1）展开式的第一项是在原点电荷Q 激发的电势，
可以把电荷体系看作集中于原点上。
(0) Q 4 0R
（1）
（2）展开式的第二项是电偶极矩p产生的电势。
j; j;
2 1 0 R
ij
i, j
2 xi x j
1 R
0
ij
i, j
2 xi x j
1 R
0
r 2
有问题吗？
x
i, j
ij
2 xix j
1 dV 0 R
积分与求和
对不同坐标
i, j
r
2
x
ij
dV
2 xix
j
1 R
0
(2)
1
4 0
1
6 i, j
V
3xixj
(
x)dV
1-
3 2
a r
s in
3qa2 sin cos 4 0r 3
[解法三] 由电四极子产生电势的公式求φ
这个电荷系的总电荷量为零，电偶极矩之和也
为零。因此，它在r>>a处产生的电势便等于它
的电四极矩所产生的电势，即
1
4 0
ij
Dij 2 1 1
6 xix j r 4 0
xi x j Dij
V 4 0r
电势表示成一些源点积分量 与场点函数分开的具体形式
1
4 0
V
(x)[ 1
R
x
1 R
1 2! i, j
xixj
2 xix j
1 ]dV R
令： Q V (x)dV
p V (x)xdV
Dij V 3xixj ( x)dV
则电荷体系激发的势在远处的多极展开式：
(x)
2
2
3qa2 sin cos 4 0r 3
[解法二] 由电偶极子的电势叠加求φ
把这四个点电荷
看作是两个电偶
极子
位于
r1
a 2
ey
处的 p1 qaex
位于
r2
a 2
e
y
处的 p2 qaex
1
p1
r
r1
4
0
r
r1
3
qaex
4 0
其中略去了(a/r)2项
r r a
2
a 2
e
y
3
1 2
r2 2 r
r
r
r3
1
1 2
a r
2
1 2
2 a cos
450
r
r
1
1
a
2
2
a
c os
450
1 2
r4 2 r
r
利用 1 x 1 2 1 1 x 1 3 x2 1 3 5 x3
2 24 246
r 1- 1 a 2 -
积分限为:0≤ξ≤1，0≤θ≤π，0≤φ≤2π 参见“矢量分析”
解:直接按照定义进行计算,但由电荷分布的对称性, 很容易得到电偶极矩p=0
电四极矩 Dij 3xi xj ijr2 dV
由于中心对称性,i≠j的分量Dij=0
Dxx
3x2 r2 dV 1 Q 2a2 b2 c2
实现:由于x>>x’,因此可以将x’看作小量作泰勒级数 展开
在一元函数f (x)情况下，在原点x=0邻域的泰勒
级数为： f (x) f (0) xf (0) 1 x2 f (0) 2!
如果在x=a邻域展开，泰勒级数是：
f (x) f (a) (x a) f (a) (x a)2 1 f (a) 2!
D V3xx(x)dV
展开式中的第三项用并矢形式写为：
双点乘I.48
AB: CD B CA D
(2)
1
1
D
:
1
4 0 6
R
(2)
1
4 0
1 6
i, j
Dij
2 xix j
1 R
可以证明：电四极矩只有五个独立分量
[j
1, i 0, i
V 4 0r
在区域 V 内取一点 O 作为
r x x
P
坐标原点，以 R 表示由原点
x
到场点 P 的距离，有：
x
R x2 y2 z2
O
通常
用逐级近似的方法求电场
选择 对称
r x x
总场＝单极场+偶极场+四极场+…
中心
条件：l/r<<1,l为V的线度
(x x)2 ( y y)2 (z z)2
y轴上两对
正负电荷组
a
成,具有D12
分量的电荷
b
体系由xy平
面上两对正
注意都是中心对称偶极矩为0
负电荷组成
长为a的正方形的四个顶点上各有一个 点电荷,它们的电荷量依次为q,-q,q和-q。 对于r>>a的区域,这四个点电荷构成一 个平面电四极子,试求这平面电四极子 在P点(P点与平面电四极子在同一平面 内)产生的电势φ。
(1) 1 p
ql cos
4 0 p
rr
40r 2 40r3
1 R
p R
4 0R3
（2）
p (x)xdV
V
第一章第5题定义
注意与坐标有关
例．求电偶极子
激发的电场
取-q所在处为坐标原
点,y轴沿电矩p的方
向(p=ql),r+,r-和r分 别为+q,-q和电偶极
子中心到观察点P
的矢径
r>>l 时 θ是p与r-间夹角
则 x2(x)dV y2(x)dV
因而
z2(
x)dV
1 3
r2
(
x)dV
D11 D22 D33 0，
而且显然有 D12 D23 D31 0，
因此球对称性分布电荷没有电四极矩。
注意：中心对称时电偶极矩为0,球对称时电四极矩为0 椭球、8字球、等等
若电荷分布偏离球对称性，一般会出现电
z r x0
？
1 2!
x2
2 x2
(1) r
x0
y2
2 y 2
1 () r x0
z2
2 z 2
1 () r x0
2xy 2 (1)
2 yz 2 (1)
2zx 2 (1)
xy r x0
yz r x0
zz r x0
实现场点与源点分离
因为
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z
所以
x eˆx x eˆy y eˆz z
q
4 0 r
q
4 0 r
q
4 0
r r rr
rr r2
ql cos p rr
r r l cos
40r 2 40r3
如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶
？极矩为零。只有对原点不对称的电荷分布才有电
偶极矩。
q x l q x l p 2ql
p ( x) xdV q x l q x l p 0 V
D13 D31 D23 D32 0
D12
D21
4 n1
3xn ynqn
3
a 2
a 2
q
3
a 2
a 2
q
3
a 2
a 2
q
3
a 2
a 2
q
3qa2
1
ij xi x j Dij D12 xy D21 yx
40 2r5
8 0 r 5
3qa2xy 3qa2 sin cos
ey
qa cos 4 0r 2
1
a r
s in
3
2
2
p2
r
r2
4 0 r r2 3
qa cos 4 0r 2
1
a sin 3 2
r
1