永定区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

永定区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则=（ ）
A ．（﹣5，﹣10）
B ．（﹣4，﹣8）
C ．（﹣3，﹣6）
D ．（﹣2，﹣4）
2． 设a ，b 为正实数，11a b
+≤23
()4()a b ab -=，则log a b =（ ）
A.0
B.1-
C.1 D .1-或0
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 3． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）
4． 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A ．α内有无穷多条直线与β平行
B ．直线a ∥α，a ∥β
C ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥α
D ．α内的任何直线都与β平行
5． 函数y=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x ∈R ）的部分图象如图所示，则函数表达式（ ）
A ．y=﹣4sin （x ﹣）
B ．y=4sin （x ﹣）
C ．y=﹣4sin （
x+
）
D ．y=4sin （
x+
）
6． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1
()1e
x f x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ）
A ．－1
B ．
1
2
C ．1
D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
7． 已知圆C ：x 2
+y 2
﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ） A ．一定相离 B ．一定相切
C ．相交且一定不过圆心
D ．相交且可能过圆心
8． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
9． 如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
10．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12x π=-
B ．12x π=
C ．6x π=-
D ．6
x π
=
11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ） A ．S 10 B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
12．函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）
A.32
-
B.1-
C.
D.
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.
二、填空题
13．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
14．设,y x 满足约束条件2110y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是____________．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．
16．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=
，则sin （α+
）= ．
17．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111] 18
．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
三、解答题
19．
已知椭圆的离心率
，且点
在椭圆
上．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于
、
两点，且线段
的垂直平分线经过点
．求
（
为坐标原点)
面积的最大值．
20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．
（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；
（2）当PD=AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1AP =，AD =P ABD -的体积V =
，求A 到平面PBC 的距离.
111]
22．（本小题满分12分）
数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .
23．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）设1
(1)
n n a b n =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若不等式n S t <对于任意的*n ∈N 恒成立，求实数t 的
取值范围．
24．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t
（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.
（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
永定区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B ．
2． 【答案】B.
【解析】2
3
2
3
()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故11a b
a b ab
++≤⇒
≤
2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=，
∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B.
3． 【答案】C
【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，
又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30
+0=1＞0，
∴f （﹣1）f （0）＜0，
可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
4． 【答案】D
【解析】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a 与β可能平行，也可能相交，故不选A ．
当直线a ∥α，a ∥β时，a 与β可能平行，也可能相交，故不选 B ．
当直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β 时，直线a 和直线 b 可能平行，也可能是异面直线，故不选 C ．
当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行， 故选 D ．
【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．
5． 【答案】 D
【解析】解：由函数的解析式可得A=4， ==6+2，可得ω=
．
再根据sin[（﹣2）×
+φ]=0，可得（﹣2）×
+φ=k π，k ∈z ，再结合|φ|＜
，∴φ=
，
∴y=4sin
（
x+），
故选：D ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．
6． 【答案】C
【解析】令()()()()1
11e
x g x f x kx k x =--=-+
，则直线l ：1y kx =-与曲线C ：()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1
1
11101e k g k -⎛⎫
=-+< ⎪-⎝⎭
．又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没
有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时,()1
0e
x g x =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解，所以k 的最大值为1，故选C ．
7． 【答案】C
【解析】
【分析】将圆C 方程化为标准方程，找出圆心C 坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d ，与r 比较大小即可得到结果．
【解答】解：圆C 方程化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2
=2， ∴圆心C （1，0），半径r=，
∵≥＞1， ∴圆心到直线l 的距离d=
＜
=r ，且圆心（1，0）不在直线l 上，
∴直线l 与圆相交且一定不过圆心． 故选C
8． 【答案】D
【解析】解：A 选项中命题是真命题，m ⊥α，m ⊥β，可以推出α∥β；
B 选项中命题是真命题，m ∥n ，m ⊥α可得出n ⊥α；
C 选项中命题是真命题，m ⊥α，n ⊥α，利用线面垂直的性质得到n ∥m ；
D 选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D ．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
9． 【答案】B
【解析】
试题分析：三棱锥P ABC -中，则PA 与BC 、PC 与AB 、PB 与AC 都是异面直线，所以共有三对，故选B ．
考点：异面直线的判定． 10．【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z ππ
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 11．【答案】C
【解析】解：∵S 16＜0，S 17＞0， ∴
=8（a 8+a 9）＜0，
=17a 9＞0，
∴a 8＜0，a 9＞0， ∴公差d ＞0． ∴S n 中最小的是S 8． 故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【答案】D
【解析】易知周期112()1212T π5π=-=π，∴22T ωπ==.由52212k ϕπ⨯+=π（k ∈Z ），得526
k ϕπ
=-+π
（k Z ∈），可得56ϕπ=-，所以5()2cos(2)6f x x π=-，则5(0)2cos()6
f π
=-=，故选D.
二、填空题
13．【答案】BC 【解析】
【分析】验证发现，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2
+（y ﹣2）2
=1的切线的集合， A ．M 中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出， B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=
=1，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2
+（y ﹣2）2
=1的切线的集
合，
A ．由于直线系表示圆x 2+（y ﹣2）2
=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A 不正确；
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察知点M （0，2）即符合条件，故B 正确；
C ．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 正确；
D ．如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等， 故本命题不正确． 故答案为：BC ．
14．【答案】73
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点12,
33A ⎛⎫
⎪⎝⎭
处取得最大值为73.
考点：线性规划．
15．【答案】．
【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角
设边长为1，则B
E=B1F=，EF=
1
∴cos∠EB1F=，
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．16．【答案】：．
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cosα﹣sinα=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α==，
∵α为锐角，sin（α+）＞0，
∴sin（α+）
====．
故答案为：．
-
17．【答案】[]1,1
【解析】
考点：函数的定义域.
18．【答案】2．
【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，
∴定义域关于原点对称，
即﹣2a+3a﹣1=0，
∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f（﹣x）==﹣，
即b•2x﹣1=﹣b+2x，
∴b=1．
即a+b=2，
故答案为：2．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）由已知，
点在椭圆上，，解得．
所求椭圆方程为
(Ⅱ)设，，的垂直平分线过点, 的斜率存在．
当直线的斜率时，
当且仅当时，
当直线的斜率时，设．
消去得：
由．①
，
，的中点为
由直线的垂直关系有，化简得②
由①②得
又到直线的距离为，
时，．
由，，解得；
即时，；
综上：；
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
21．【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】
试
题解析：（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂且平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .
（2）136V PA AB AD AB
=
=，由V =，可得32
AB =，作A H P B ⊥交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ，又313
13
PA AB AH PB =
=，所以A 到平面PBC 的距离为13
.1 考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理.
22．【答案】（1）122n n b +=-；（2）22
2(4)n n S n n +=-++．
【解析】
试题分析：（1）已知递推公式122n n b b +=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比
数列的通项公式可得n b ，变形形式为12()n n b x b x ++=+；（2）由（1）可知122(2)n
n n n a a b n --==-≥，
这是数列{}n a 的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由112()()n n n n n a a a
a a ---=-+-+
211()a a a +-+求得．
试题解析：（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵12
22
n n b b ++=+，
又121224b a a +=-+=，
∴23
12(21)
(2222)22222221
n
n n n a n n n +-=+++
+-+=
-+=--.
∴224(12)(22)
2(4)122
n n n n n S n n +-+=
-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前n 项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．
24．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos t
y ＝1＋sin t （t 为参数）得
x 2＋（y －1）2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程， 由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0得
ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C 2的极坐标方程． （2）由题意得A ，B 的极坐标分别为 A （2sin α，α），B （－23cos α，α）． ∴|AB |＝|2sin α＋23cos α| ＝4|sin （α＋π
3）|，α∈[0，π），
由|AB |＝2得|sin （α＋π3）|＝1
2，
∴α＝π2或α＝5π
6
.
当α＝π2时，B 点极坐标（0，π2）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π6，
此时l 的方程为y ＝x ·tan 5π6
（x ＜0），
即3x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－3，0）， ∴C 2到l 的距离d ＝|3×（－3）|（3）2＋32＝3
2
，
∴△ABC 2的面积为S ＝1
2
|AB |·d
＝12×2×32＝32
. 即△ABC 2的面积为3
2
.。