湖南省长沙市广益实验中学高二数学测试题

湖南省长沙市广益实验中学高二数学测试题
一．选择题（共12题，每题5分）
1．在ΔABC 中，已知a=1，b=3, A=30°，则B 等于 （ ） A 、60° B 、60°或120°
C 、30°或150°
D 、120°
2．等差数列{an}中，已知1a ＝1
3，5
2a a +＝4，an ＝33，则n 为 （ ）
A 、50
B 、49
C 、48
D 、47
3．已知等比数列{an }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 （ ） A 、15 B 、17 C 、19 D 、21
4．三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A 、b c a b -=- B 、ac b =2
C 、c b a ==
D 、0≠==c b a
5．在三角形ABC 中，已知C = 0120，两边b a ,是方程
0232=+-x x 的两根， 则c 等于 （ ） A 、5 B 、7 C 、11 D 、13
6．已知数列
{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为 （ ）
A 、80
B 、40
C 、20
D 、10
7．若实数a 、b 满足a+b=2，则3a+3b 的最小值是 （ ）
A 、18
B 、6
C 、23
D 、24
3
8.若b<0<a, d<c<0,则 （ ）
A 、ac > bd
B 、d b
c a >
C 、a + c > b + d
D 、a －c > b －d
9.数列
{}
n a 满足
1n n a a n
+=+，且
11
a =，则
8a =
（ ）．
A.29 B ．28 C ．27 D ．26
10.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30︒，测得塔基的俯角为45︒，那么塔的高度是（ ）米．
A
．
20(13+
B ．20(1)2+ C
．20(1+ D ．30
11．在ABC ∆中，若2
2
2
2
sin sin b C c B +2cos cos bc B C =，则ABC ∆是 （ ）． A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 12．等差数列
{}
n a 满足
59
75a a =-，且
117
a =-，则使数列前n 项和
n
S 最小的n 等于
（ ）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
二．填空题（共4题，每题4分）
13．已知0<2a<1,若A=1+a2, B=a -11
, 则A 与B 的大小关系是 。

14．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=L ，，，，则此数列的通项公式
．
15．在ABC △中，若
1
tan 3A =
，150C =o ，1BC =，则AB = ．
16．ABC ∆中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，下列条件 ①26,15,23b c C ===︒； ② 84,56,74a b c ===； ③34,56,68A B c =︒=︒=； ④15,10,60a b A ===︒ 能唯一确定ABC ∆的有
（写出所有正确答案的序号）．
三．解答题（共6题，17,18,19,20,21每题12分，22题14分） 17、已知等差数列前三项为,4,3a a ，前n 项的和为
n
s ，
k
s ＝2550.
（1）求a 及k 的值； （2）求1
2111
n s s s +++L
18、设
{}
n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且满足2214a a a =．
求数列{}
n a 的通项公式．
19． 在ABC △中，已知45B =︒，D 是BC 上一点，
5,7,3AD AC DC ===，求AB 的长．
D
C
A
B
20．在ABC △中，
1tan 4A =
，3
tan 5B =．
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △
21．某村计划建造一个室内面积为8002
m 的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。

最大种植面积是多少？
22.已知等比数列{an}满足a1+a6=11，且a3a4=932
. （1）求数列{an}的通项an ； （2）如果至少存在一个自然数m ，恰使132-m a ，2
m a
，am+1+94这三个数依次成等差数列，
问这样的等比数列{an}是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.
答案
一选择题BABDB CBCAA CB
填空题13. A<B 14. 2n-11 15.
2 16. ②③④．
三．解答题17.（1）设该等差数列为
{}n a ，则123,4,3a a a a a ===，由已知有324a a +=⨯，
解得
12
a a ==，公差
212d a a =-=，将
k
s ＝2550代入公式
1(1)
2k k k s ka d -=+
g ，得
50,50k k ==-（舍去） 2,50a k ∴==。

（2）由 1(1)2n n n s n a d -=+g g ，得 (1)n s n n =+，1111(1)1n s n n n n ==-++ 12111n s s s +++L ＝111
1223(1)n n +++⨯⨯+L
＝11111
(1)()()
2231n n -+-++-+L
＝111n -
+
18. 解：设数列{}n a 的公差为d ，则
2141,3a a d a a d
=+=+，
∵
2214
a a a =，即
2111()(3)
a d a a d +=+，
整理，得222111123a a d d a a d
++=+
∴
1()0
d a d -=，
又0d ≠，∴1a d
=，
又
1011109
10551102S a d a ⨯=+
==，
∴12a d ==，
数列
{}
n a 的通项公式为：
1(1)2n a a n d n
=+-=．
19.解：在ADC ∆中，由余弦定理得
2223571
cos 2352ADC +-∠==-
⨯⨯， ∵(0,)ADC π∠∈，∴120ADC ∠=︒， ∴60ADB ∠=︒，
在ABD ∆
中，由正弦定理得
sin 5sin 60sin sin 452AD ADB AB B ∠︒=
==
︒．
20.解：（Ⅰ）∵()C A B π=-+，
13
45tan tan()113145C A B +∴=-+=-
=--⨯．
又∵0πC <<，
3π4C ∴=
．
（Ⅱ）∵
34C =
π，
AB ∴
边最大，即AB =
又
tan tan (0)
A B A B π
<∈2，，，， 所以A ∠最小，BC 边为最小边．
由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧
==⎪
⎨⎪+=⎩，，且
π02A ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，，
得
sin 17A =
．
由sin sin AB BC C A =
得：sin sin AB A
BC C ==．
所以，最小边BC =
21.解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，蔬菜的种植面积S 则 ab=800.
蔬菜的种植面积 ).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--=
所以
).(648248082
m ab S =-≤ 当
).
(648,)(20),(40,22m S m b m a b a ====最大值时即
答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.
22.解：（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=•=+.2,3121,3
32932,11113
121511q a q a q a q a q a a 或
∴an=31)2
1(3321=
-n ×26-n 或an=31
·2n-1. （2）对an=31
·2n-1，若存在题设要求的m ，则 2（31·2m-1）2=32·31·2m-2+31·2m+94.
∴（2m ）2-7·2m+8=0. ∴2m=8，m=3.
对an=31
·26-n ，若存在题设要求的m ，同理有（26-m ）2-11·26-m-8=0.
而Δ=112+16×8不是完全平方数，故此时所需的m 不存在.
综上所述，满足条件的等比数列存在，且有an=31
·2n-1.。