高中数学课时训练(十)抛物线及其标准方程新人教A版选修2-1(2021年整理)

（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（十）抛物线及其标准方程新人教A版选修2-1
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课时跟踪检测（十）抛物线及其标准方程
层级一学业水平达标
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为（）
A．3 B．6
C．错误! D．错误!
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝错误!y，因为2p＝错误!，所以p＝错误!．故到焦点的距离最小值为错误!．
2．已知抛物线y2＝2px（p>0)的准线与圆(x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A． B．1
C．2 D．4
解析:选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－错误!与圆(x－3）2＋y2＝16相切，∴－错误!＝－1，即p＝2．
3．已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F,准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点,若FP＝4FQ，则｜QF|＝( ）
A．错误!B．错误!
C．3 D．2
解析:选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为FP＝4FQ，所以｜PQ|∶|PF｜＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF｜＝|QQ′|＝3．故选C．
4．设圆C与圆x2＋(y－3）2＝1外切,与直线y＝0相切,则C的圆心轨迹为( ）
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点（0,3）的距离比到直线y＝0的距离大1,即圆C 的圆心到点（0，3）的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线．
5．已知双曲线C1：错误!－错误!＝1（a>0,b〉0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py（p〉0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（)
A．x2＝错误!y B．x2＝错误!y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，由于错误!＝错误!＝错误!＝2，所以错误!＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x．抛物线的焦点坐标为错误!，所以错误!＝2,所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y．
6．抛物线x＝错误!y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m，0）．
答案:(m，0）
7．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________．
解析：设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，
由抛物线的定义知x＋1＝10,∴x＝9，
∴点M到y轴的距离为9。

答案：9
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为（2,1）．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．（要求填写适合条件的序号）
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足；设M（1，y0）是y2＝10x上一点,则|MF｜＝1＋错误!＝1＋错误!＝错误!≠6,所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为错误!,过该焦点的直线方程为y＝k错误!，若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案:②④
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示,设抛物线的方程为x2＝－2py(p〉0）,则焦点F 错误!，准线l：y＝错误!,作MN⊥l，垂足为N，则｜MN|＝|MF|＝5，而｜MN｜＝3＋错误!,3＋错误!＝5，即p＝4．
所以抛物线方程为x2＝－8y,准线方程为y＝2．
由m2＝－8×（－3）＝24，得m＝±26．
法二:设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0），则焦点为F错误!．
∵M（m，－3）在抛物线上，且｜MF｜＝5，
故错误!解得错误!
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2错误!，准线方程为y＝2．
10．如图所示,一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．
（1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0．1米）?
解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p〉0），
因为点C（5,－5）在抛物线上,
所以该抛物线的方程为x2＝－5y．
(2)设车辆高为h，则｜DB|＝h＋0．5，
故D（3．5,h－6．5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4．05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．
层级二应试能力达标
1．过点A（3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆B．椭圆
C．直线 D．抛物线
解析：选D 设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,即点P 在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D．2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为（）
A．2 3 B．4
C．6 D．4错误!
解析：选D 如图，∵△FPM是等边三角形．
∴由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，｜QF|＝2，
∠QMF＝30°,∴｜MF|＝4，
∴S△PMF＝错误!×42＝4错误!．故选D．
3．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为( ）
A．3
4
B．错误!C．1 D．2
解析：选D 设AB的中点为M，焦点为F（0,1)．过M作准线l：y＝－1的垂线MN，过A 作AC⊥l于C，过B作BD⊥l于D，则|MN｜＝错误!＝错误!≥错误!＝3，所以AB中点到x轴的最短距离为3－1＝2,此时动弦AB过焦点,故选D．
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF｜＝5．若以MF为直径的圆过点(0,2），则C的方程为（)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析:选C 由已知得抛物线的焦点F错误!,设点A（0，2），抛物线上点M（x0，y0），则AF ＝错误!，AM＝错误!．由已知得,AF·AM＝0,即y错误!－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M错误!．由｜MF|＝5得，错误!＝5，又p＞0,解得p＝2或p＝8，故选C．
5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则｜FA｜＋|FB｜＋|FC｜＝________．
解析：因为FA＋FB＋FC＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B,C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍,即x A＋x B＋x C＝3，所以｜FA|＋|FB|＋|FC|＝x A＋1＋x B＋1＋x C＋1＝6．
答案：6
6．从抛物线y2＝4x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM｜＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的内切圆的面积为________．
解析:如图，∵|PM|＝5，
∴点P的坐标为（4，4），
∴S△PMF＝错误!×5×4＝10．
设△PMF的内切圆圆心为O′，半径为r，
∴S△PMF＝S△O′PM＋S△O′PF＋S△O′MF，
即错误!(5＋5＋2错误!)r＝10，解得r＝错误!，
故△PMF内切圆的面积为πr2＝错误!π．
答案:15－55
2
π
7．已知M是抛物线y2＝2px（p〉0）上任一点（不与原点重合)，F是其焦点．
求证：以MF为直径的圆与y轴相切．
证明：如图，过M作MN⊥l于N，交y轴于点Q，O′是MF的中点，作O′R⊥y轴于R．
∵|MF|＝｜MN|，|OF｜＝|OP｜＝|QN|,
∴｜O′R|＝错误!(|OF｜＋|QM｜)
＝错误!(|QM|＋|QN｜)
＝1
2
｜MN|＝错误!｜MF|,
∴以MF为直径的圆与y轴相切．
8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点,F为抛物线的焦点．
（1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1),求｜PA|＋d的最小值;
（2)若B（3，2）,求|PB|＋｜PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义，知｜PF|＝d，
于是问题转化为求｜PA｜＋｜PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为错误!＝错误!．(2）把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±错误!,
因为错误!>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图）．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝｜P1F|，
则|PB|＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q|＝｜BQ｜＝3＋1＝4．
即｜PB|＋|PF|的最小值为4．。