2021届全国大联考新高考原创预测试卷(二十七)理科数学

2021届全国大联考新高考原创预测试卷（二十七）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题
1.已知集合12x
X x e ⎧⎫=>
⎨⎬⎩
⎭
，2
}6{|0Y x x x =+-≤，则()R C X Y ⋂=（ ） A. [)3,2ln --
B. []2,2ln --
C. []3,2ln --
D.
[]2,2ln -
【答案】C 【解析】 【分析】
先解指数型不等式，得到集合{}
2,X x x ln =>-进而求其补集，然后与集合Y 取交集即可. 【详解】解:集合{}
2,X x x ln =>-，{}
2,{|32}R C X x x ln Y x x =≤-=-≤≤
所以(){}
32R C X Y x x ln ⋂=-≤≤- 故选：C
【点睛】本题考查交集与补集运算，考查不等式的解法，考查计算能力，属于常考题型. 2.复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 22i z = B. 2z z ⋅=
C. ||2z =
D. 0z z +=
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ，
∴z ()()()
2121111i i i
i i i i -+-=
==---+， ∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2
||2z z z ⋅==
，z =，2z z +=．
故选B ．
【
点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44
ππα⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，且3sin 45πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则0x 的值为( )
C. D. -
【答案】C 【解析】 【分析】
利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，
,42π
παπ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭
， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛
⎫∴+=- ⎪⎝
⎭，
则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫==+
-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
43525210
=-⨯+⨯=-
， 故选C ．
【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．
4.设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数
212,n n n a a -+<0”的
A. 充要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 试
题
分
析
：
由
题
意
得
，
22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故必要不充
分条件，故选C. 【考点】充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：
①定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．
②等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
5.函数()1ln f x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象是( ) A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决．
【详解】因为x ﹣1
x
＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0， 所以函数f （x ）=ln （x ﹣1
x
）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．
所以选项A 、D 不正确．
当x ∈（﹣1，0）时，g （x ）=x ﹣1
x
是增函数， 因为y=lnx 是增函数，所以函数f （x ）=ln （x-1
x
）是增函数．
故选B ．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6.要得到函数23y x =的图象，只需将函数sin 3cos3y x x =+的图象（ ）
A. 向右平移
34
π
个单位长度 B. 向右平移
2
π
个单位长度 C. 向左平移个4
π
单位长度 D. 向左平移个
2
π
单位长度 【答案】C 【解析】
根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论. 【详解】因为sin3cos32sin 34y x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，
所以将其图象向左平移
4
π
个单位长度， 可得()2sin 32sin 32sin344y x x x πππ⎡⎤
⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原则，属于简单题目.
7.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2
578220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且77b a =，
则212b b 等于（ ） A.
4
9
B.
32
C.
94
D.
23
【答案】C 【解析】
由题意可得：()()2
2
2
5787777722222320a a a a d a a d a a -+=--++=-=，
7730,2a a ≠∴=
，则：22
2127794
b b b a ===. 本题选择C 选项.
8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）
A.
2
2
35 2
【答案】B 【解析】
根据三视图还原出三棱锥的直观图，求出三棱锥的各个侧面面积即可求出侧面面积的最大值．【详解】由三棱锥的三视图可知，三棱锥的直观图（如下图）P ABC
-，可在边长为1的正方体中截取，
由图可知，112
CP=+=112
AP=+=112
AC=+=
所以侧面
12
22
ABP
S AB AP
∆
=⋅⋅=，
侧面
12
2
BCP
S BC CP
∆
=⋅⋅=
侧面
13
sin
2
ACP
S AC CP ACP
∆
=⋅⋅∠=
故侧面的面积最大值为
3
2
故选B
【点睛】本题考查三视图还原直观图，考查学生的空间想象能力，属于中档题．
9.已知变量,x y满足约束条件
6,
{32,
1,
x y
x y
x
+≤
-≤-
≥
若目标函数(0,0)
z ax by a b
=+>>的最小值为2，则
13
a b
+的最小值为
A. 36 C. 15 D. 3
【答案】A
【详解】由约束条件可得到可行域如图所示， 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>
，即a z y x b b
=-
+ 当过点(1,1)A 时目标函数取得最小值2，即2a b +=，
所以
131131313()()(4)(24)23222b a b a
a b a b a b a b a b
+=⨯++=⨯++≥⨯⋅+=+， 当且仅当
3b a
a b =时，即3b a =时等号成立， 所以3b a a b
+的最小值为23+，故选A.
10.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，12n n a S +=，则数列1
{
}n
a 的前20项和为（ ） A.
1931223-⨯ B.
19
71443-⨯ C.
18
31223-⨯ D.
18
71443-⨯ 【答案】D 【解析】
12n n a S +=，∴12n n a S -= 相减得()132n n a a n +=≥ 由11a =得出2212,3a a a =≠
()2
1,123,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩
，1n a =2
1,111,223n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩0118
12201111111......1......2333a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
191911113131111222313⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=+⋅-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣
⎦ = 1871443-⨯ 故选D
点睛：已知数列的n a 与n S 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的. 11.已知函数2
()ln x
f x e x x =++与函数2()2x
g x e x ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的
点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞-
B. (,1]-∞-
C. 1
(,]2
-∞-
D.
1(,]e
-∞-
【答案】B 【解析】 【分析】
通过两函数图象关于y 轴对称，可知()()f x g x =-在()0,x ∈+∞上有解；将问题转化为
y x a =+与ln x y x =
在()0,∞+上有交点，找到y x a =+与ln x
y x
=相切时a 的取值，通过图象可得到a 的取值范围. 【详解】由()22x
g x e
x ax -=+-得：()22x g x e x ax -=++
由题意可知()()f x g x =-在()0,x ∈+∞上有解
即：ln x
x a x
+=
在()0,x ∈+∞上有解 即y x a =+与ln x
y x
=在()0,∞+上有交点
ln x
y x = 2
1ln x y x -'⇒=
()0,x e ∴∈时，0y '>，则ln x y x =单调递增；(),x e ∈+∞，0y '<，则ln x
y x =单调递减
∴当x e =时，取极大值为：1
e
函数y x a =+与ln x
y x
=的图象如下图所示：
当y x a =+与ln x
y x =
相切时，即
2
1ln 1x x -=时，1x = 切点为()1,0，则011a =-=- 若y x a =+与ln x
y x
=在()0,∞+上有交点，只需1a ≤- 即：(],1a ∈-∞- 本题正确选项：B
【点睛】本题考查利用导数解决方程根存在的问题，关键是能够利用对称性将问题转化为直线与曲线有交点的问题，再利用相切确定临界值，从而求得取值范围. 12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且对任意的
121
[0]2x x ∈，，12()x x ≠，都有
1212
()()f x f x x x π->-．又()sin g x x π=，则关于x 的不等式()()f x g x ≥在区间33
[]22
-，上的解集为（ ）
A. 3[][0]244ππ--，，
B. 3[]24π--，
C. 3[1][01]2--，，
D. 3[0]2
-， 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可知，函数()y f x x π=-在10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是增函数，故()0f x x π-≥恒成立，设
()sin y g x x x x πππ=-=-，可判断函数是单调递减函数，所以当 10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
时，
()0g x x π-≤，可推出()()f x g x ≥，又根据函数()y f x =的性质画出函数()y f x =和()y g x =的函数图象，根据图象解不等式.
【详解】
()f x 是奇函数，()00f ∴=
设12102
x x ≤<≤
，
由
1212
()()
f x f x x x π->-，可知()()()1212f x f x x x π-<- ，
整理为：()()1122f x x f x x ππ-<-，
()y f x x π∴=-是增函数，
当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()()000f x x f ππ-≥-⨯=，
即()0f x x π-≥
设()sin y g x x x x πππ=-=-，
cos 0y x πππ'=-≤ ，
()y g x x π∴=-是单调递减函数，
当10,2
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，
()()00sin000g x x g ππ-≤-⨯=-= ，
即()0g x x π-≤，
∴当10,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()()f x x g x x ππ-≥-恒成立，即()()f x g x ≥，
又
()()1f x f x +=- ，
()f x ∴关于1
2
x =
对称， 又有()()f x f x -=-，
()()1f x f x ∴+=- ，
()()()21f x f x f x ∴+=-+= ， ()f x ∴是周期为2T =的函数，
综上可画出()y g x =和()y f x =的函数图象，
由图象可知不等式的解集是[]3,10,12⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
.
故选：C
【点睛】本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力 ，以及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为
()()1122f x x f x x ππ-<-，确定函数()y f x x π=-是增函数，另一个是判断()y g x x π=-的单调性，这样当10,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()f x g x ≥转化为
()()f x x g x x ππ-≥-的解集.
二、填空题
13.已知平面向量a 、b 满足()cos ,sin a αα=，2b =，且()
2a a b ⋅+=，则向量a 与b 夹角的余弦值为______. 【答案】
12
【解析】 【分析】
设平面向量a 与b 的夹角为θ，计算出1a =，然后利用平面向量数量积的定义和运算律可得出cos θ的值.
【详解】设平面向量a 与b 的夹角为θ，由题意可得22cos sin 1a αα=
+=，
()
2
2cos 12cos 2a a b a a b a a b θθ∴⋅+=+⋅=+⋅=+=，解得1cos 2
θ=
.
因此，向量a 与b 夹角的余弦值为12
. 故答案为：
12
. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，涉及平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于基础题.
14.设1111
()123421
f n n =-+-++
-，则(1)()f k f k +=+ _____．（不用化简）
【答案】11
212k k
-+ 【解析】
()1111
1...23421f n n =-+-++-，
()11111111...23421221f k k k k ∴+=-+-++-+-+()1111
1 (23421)
f k k ∴=-+-++-，
()()11
1212f k f k k k ∴+-=-+，故答案为11212k k
-+.
15.已知函数()x x
f x e ae -=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率为83
，则该切点
的横坐标等于______． 【答案】3ln 【解析】 【分析】
函数()x x
f x e ae -=+为偶函数，利用()()f x f x -=， 可得：1,()x x
a f x e e -==+，利用
导数的几何意义即可得出． 【详解】
函数()x
x
f x e ae -=+为偶函数，
()()f x f x ∴-=，即x x x x e ae e ae --+=+，
可得：1a =．
()x x f x e e -∴=+， ()'x x f x e e -∴=-，
设该切点的横坐标等于0x ，则00
8
3
x
x e e --=
， 令00x e t =>，可得18
3
t t -=
，化为：23830t t --=，解得3t =．
03x e ∴=，解得03x ln =．
则该切点的横坐标等于3ln ． 故答案为3ln ．
【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.已知ABC ∆为锐角三角形，满足(
)
222
sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-，ABC ∆外接圆的圆心为O ，半径为1，则()
A A
B A
C O +⋅的取值范围是______.
【答案】722⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
利用正弦定理，将(
)
222
sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-转化为边，得到6
A π
=，将
所求的()
A A
B A
C O +⋅转化成cos2cos22C B +-，结合6
A π
=，全部转化为B 的函数，再
求出B 的范围，从而得到答案. 【详解】根据正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==， 将(
)
2
2
2
sin sin sin sin sin tan B C B C A A =+-转化为222sin 1
2cos 2
b c a A bc A +-⋅=
即1sin 2A =
，又因A 为锐角，所以6
A π
=. 所以()()
2AB A OA OA OB OC A C O ⋅=+⋅+-
2
2OA OB OA OC OA =⋅+⋅-
cos cos 2AOB AOC =∠+∠- cos2cos22C B =+-
5cos 2cos 222B B π⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
3cos 2222B B =
-
226B π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
因为ABC ∆是锐角三角形，
所以2
2B B A ππ⎧
<⎪⎪⎨⎪+>
⎪⎩
，所以32B ππ<<，得572666B πππ<+<，
722262B π⎛
⎫
⎡
⎫+
-∈-- ⎪⎪⎢⎝
⎭⎣⎭
故()
A A
B AC
O +⋅的
取值范围是722⎡
⎫---
⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题. 三、解答题
17.已知函数2
()|23|f x x a x a =-+-+，2
()4,
g x x ax a R =++∈．
（1）当1a =时，解关于x 的不等式()4f x ≤；
（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式()()12f x g x >成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）()2,2,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪
⎝
⎭.
【解析】
（1）当1a =时，()11f x x x =-++，则()2,1,
2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪
=-≤<⎨⎪≥⎩
当1x <-时，由()4f x ≤得，24x -≤，解得21x -≤<-； 当11x -≤<时，()4f x ≤恒成立；
当1x ≥时，由()4f x ≤得，24x ≤，解得12x ≤≤． 所以()4f x ≤的解集为{}
22x x -≤≤．
（2）因为对任意1R x ∈，都存在2R x ∈，使得不等式()()12f x g x >成立， 所以()()min min f x g x >．
因为()2
223120a a a -+=-+>，所以223a a >-， 且(
)()2
2
2
223232323x a x a x a
x a a
a a a -+-+≥---+=-+=-+，①
当223a x a -≤≤时，①式等号成立，即()2
min 23f x a a =-+．
又因为2
222
444244a a a x ax x ⎛⎫++=++-≥- ⎪⎝⎭，②
当2a x =-时，②式等号成立，即()2
min 44
a g x =-．
所以2
2
2344
a a a -+>-，整理得25840a a -->， 解得25a <-或2a >，
故a 的取值范围为()2,2,5⎛
⎫
-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
． 18.已知函数2
()sin 4f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
.
（1）若126f α⎛⎫=
⎪⎝⎭，tan β=，,22ππα⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，求tan(2)αβ+的值；
（2）若动直线[](0,)x t t π=∈与函数()f x 和函数()cos 44g x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的图象分别交于P ，Q 两点，求线段PQ 长度的最大值，并求出此时t 的值.
【答案】（1）19
-；（2）最大值为32，7
12
t
【解析】 【分析】
（1）先对()f x 进行化简，求出sin α，再根据同角三角函数求出tan α，再根据()tan 2αβ+特点，求出tan2α，利用和角公式求值即可 （2）先表示出()()1sin 223PQ f t g t t π⎛
⎫=-=
-+ ⎪⎝
⎭，再根据绝对值特点和三角函数最
值特点，求出对应的t 值即可 【详解】（1）()1111cos 2sin22222f x x x π⎡⎤⎛
⎫=
--=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，11
1sin 222
6f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
则2sin
3α=
，又,22ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故cos 3
α=，tan α=.
22tan tan21tan α
αα
=
=-
()tan2tan tan 21tan2tan 12019
αβαβαβ++=
==-
--.
（2）()g x x =
由题意可知()()1sin 223PQ f t g t t π⎛
⎫=-=
-+ ⎪⎝
⎭ 当sin 213t π⎛
⎫
+
=- ⎪⎝
⎭时，PQ 取到最大值3
2
. 当PQ 取到最大值时，()3223
2t k k Z π
ππ+
=
+∈，又[]0,t π∈，所以712
t π
=. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，三角函数正切值的和角公式，复合三角函数最值的求法，难度相对简单
19.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n a S S -=++(2*)n n N ≥∈，，
12a =.
(1)证明数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； (2)设32n n b S =
，数列{}n b 的前n 项和记为n T ,证明：11
6
n T <. 【答案】（1）证明见解析，1n a n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）当3n ≥时，2
1122n n n a S S ---=++，两式相减变形为()113n n a a n --=≥，
验证21a a -后，判断数列{}n a 是等差数列；（2）根据（1）的结果求n S 和
()3311233
n n b S n n n n =
==-++，利用裂项相消法求数列的前n 项和，并证明不等式. 【详解】（1）由已知：212(2,)n n n a S S n n N *-=++≥∈①, 得21122(3,)n n n a S S n n N *---=++≥∈② ①－②可得2211(3,)n n n n a a a a n n N *---=+≥∈. 因为0n a >，所以11(3)n n a a n --=≥
检验：由已知22121()2a a a a =+++，12a =，所以23a =， 那么211a a -=，也满足式子11n n a a --=.所以11(2)n n a a n --=≥. 所以{}n a 为等差数列，首项为2，公差为1.于是1n a n =+.
（2）由1n a n =+，所以(21)(3)
22
n n n n n S ++⋅+==.
所以33112(3)3
n n b S n n n n ===-++. 则123n n T b b b b =+++
+
1111111111111
(1)()()()()()()425364721123n n n n n n =-+-+-+-+
+-+-+--+-++1111111111
(1)()234
456
123
n n n n =+
++++-++++
+++++ 11111
(1)()23123n n n =+
+-+++++ 1111111()61236
n n n =-++<+++. 【点睛】本题考查已知n S 求通项公式和裂项相消法求和，意在考查转化与化归和计算能力，从形式看此题不难，但有两个地方需注意，第一问，如果忽略3n ≥的条件，就会忘记验证
21a a -，第二问11
3
n b n n =
-+，采用裂项相消法求和，消项时注意不要丢掉某些项. 20.ABC ∆中，5AB =，4AC =，D 为线段BC 上一点，且满足2BD DC =. (1)求
sin sin BAD
DAC
∠∠的值；
(2)若2BAD DAC ∠=∠，求AD . 【答案】（1）85
；（2）135AD =
【解析】
【分析】
（1）由已知可得2ABD ADC S S ∆∆=，利用面积公式求sin sin BAD
DAC
∠∠的值；
（2）根据（1）可知
sin 8
sin 5BAD DAC ∠=∠，又因为2BAD DAC ∠=∠，变形可求4cos 5
DAC ∠=，
7
cos 25
BAD ∠=
，设AD x =，ABD ∆和ADC ∆分别利用余弦定理求AD 的长度. 【详解】（1）由题：2BD DC =，所以2ABD ACD S S ∆∆=, 即
11
sin 2sin 22AB AD BAD AC AD DAC ⋅⋅∠=⋅⋅⋅∠. 所以
sin 28
sin 5
BAD AC DAC AB ∠==∠.
（2）由2BAD DAC ∠=∠，所以sin =sin22sin cos BAD DAC DAC DAC ∠∠=∠∠， 所以4cos 5
DAC ∠=
，所以，2
7cos cos22cos 125BAD DAC DAC ∠=∠=∠-=.
设AD x =，在ABD ∆中，由2222
14
=2cos 255
BD AB AD AB AD BAD x x +-⋅∠=+-
. ACD ∆中，222232=2cos 165
CD AC AD AC AD CAD x x +-⋅∠=+-
. 又因为2BD DC =,所以22=4BD CD ，即2
21432
254(16)55
x x x x +-
=+-. 化简可得2151141950x x -+=，即(315)(513)0x x --=，则5x =或13
5
x =
. 又因为D 为线段BC 上一点，所以5AD AB <=且4AD AC <=，所以135
AD =
. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形的综合运用，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，有多个三角形的解三角形时，一是可以先分析条件比较多的三角形，再求解其他三角形，二是任何一个三角形都不能求解时，可以先设共有变量，利用等量关系解三角形.
21.如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，
AB BD =.
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D AE C --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）7
7
【解析】 【分析】
(1) 取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，可证DOB ∠为二面角D AC B --的平面角,再根据计算可得90DOB ∠=︒,即二面角D AC B --为直二面角,根据平面与平面垂直的定义可证平面ACD ⊥平面ABC ;
(2) 以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长度，以OB 的方向为y 轴正方向，以OD 的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，然后求出平面
DAE 的一个法向量和平面AEC 的一个法向量,利用两个法向量的夹角即可求得答案.
【详解】（1）证明：由题设可得ABD CBD ∆≅∆，从而AD CD =． 又ACD ∆是直角三角形，所以90ADC ∠=︒.
取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO AC ⊥，DO AO =. 又因为ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥， 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角．
在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=，又AB BD =，所以
222222BO DO BO AO AB BD +=+==，
故90DOB ∠=︒,即二面角D AC B --为直二面角, 所以平面ACD ⊥平面ABC ．
（2）由题设及（1）知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长度，以OB的方向为y轴正方向，以OD的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz
-，
则()
1,0,0
A，()3,0
B，()
1,0,0
C-，()
0,0,1
D.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的
1
2
，从而E到平面ABC 的距离为D到平面ABC的距离的
1
2
，即E为DB的中点，得
31
0,
22
E
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
故()
1,0,1
AD=-，()
2,0,0
AC=-，
31
2
AE
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
.
设()
,,
n x y z
=是平面DAE的法向量，
则
n AD
n AE
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，即
31
22
x z
x y z
-+=
⎧
⎪
⎨
-++=
⎪
⎩
，可取
3
1,,1
3
n
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
.
设m是平面AEC的法向量，则
m AC
m AE
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，同理可取(0,3
m=-，
则
3
10(1)137
3
cos,
1
11013
3
n m
n m
n m
⨯+⨯-+
⋅
<>===
⋅
++⋅++
.
所以二面角D AE C
--的余弦值为
7
7
.
【点睛】本题考查了平面与平面所成的角,考查了平面与平面垂直的定义,考查了利用法向量求二面角的平面角,建立空间直角坐标系,利用向量解决角的问题是常用方法,属于中档题. 22.已知函数2
()()x
f x ax x a e
-=++()a R ∈.
（1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为
5
e
，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+，在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）2a =；（2）1b ≥ 【解析】
试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数a
的
值；（2）先求0a ≤，()f x 最大值，再变量分离得
ln(1)x xe b x -≥+ ，最后根据导数研究函数ln(1)
x xe y x -=+最大值，即得实数b 的取值范围.
试题解析：（1）由题意，
.
①当时，，
令
，得
；
，得
， 所以()f x 在(),1-∞单调递增()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()15
1f e e
=
≠，不合题意. ②当时，，
令，得；
，得
或
，
所以()f x 在11,1a ⎛⎫-
⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()215
1a f e e
+=
=，得2a =. 综上所述2a =. （2）令
，
当时，，
故()(]
-0g a ∞于，
上递增， ()()()0,0x
g a g xe x -∴≤=≥ ∴原问题()[)ln 10,x xe b x x -⇔≤+∈+∞于上恒成立
①当时，
，
，
，
此时，不合题意.
②当
时，令，
，
则，其中，，
令，则()p x 在区间[
)0,+∞上单调递增
（ⅰ）时，
，
所以对，，从而
在上单调递增，
所以对任意，
，
即不等式在
上恒成立. （ⅱ）
时，由
，及在区间
上单调递增，
所以存在唯一的使得
，且时，
.
从而时，，所以
在区间
上单调递减， 则时，，即
，不符合题意.
综上所述，
.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。