上机实验报告(非线性方程的数值解法)

二分法实验(1)
上机题目：二分法的应用
实验目的：熟悉二分法并在计算机上实现
实验要求：
①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；
②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，算法步骤
陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；
③用编好的程序在Ｍatlab 环境中执行。

算法说明：
①找出 计算f(x)在有限根区间[a, b]端点的值，f(a),f(b)
②计算 计算f(x)在区间中点（
2b a +）处的值f(2
b a +) . ③判断 若f(2b a +)=0，则2b a +即是根，计算过程结束，否则检验若(2
b a +)f(a)<0，则以2b a +代替b,否则以2
b a +代替a.反复执行步骤②和步骤③，直到区间[a, b]长度小于允许误差ξ，此时中点2b a +即为所求近似根。

计算例题：求f (x )=x 3- x -1在[1,1.5]的零点. f (1)<0,. f (1.5)>0,delta= d=106-
不动点迭代法实验⑵
上机题目：不动点迭代法的实现
实验目的：熟悉迭代法并在计算机上实现
实验要求：
①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；
②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，算法步骤
陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；
③用编好的程序在Ｍatlab 环境中执行。

算法说明：
①准备 将0)(=x f 改写为等价的形式)(x x ϕ=。

若要求*
x 满足0)(*=x f ，则)(**x x ϕ=；反之亦然。

求)(x f 的零点，等价于求的不动点，选择一个初始近似值0x 代
入)(x x ϕ=右端，得)(01x x ϕ=。

如此反复迭代计算⋯==+,1,0),(1k x x k k ϕ，此为迭
代公式。

②不动点的存在性迭代法的收敛性
定理1 设],[)(b a C x ∈ϕ满足：
(1)对任意],[b a x ∈有b x a ≤≤)(ϕ;
(2)存在正常数L<1，使对任意],[,b a y x ∈都有|||)()(|y x L y x -≤-ϕϕ，则)(x ϕ在],[b a 上存在唯一不动点*x 。

定理2 设],[)(b a C x ∈ϕ满足定理1中的两个条件，则对任意],[0b a x ∈，由迭代公式得到的迭代序列}{k x 收敛到)(x ϕ的不动点*x ，并有误差估计
||1||01*
x x L L x x k
k --≤-。

计算例题: 求f (x )=x 3-x -1在[1,1.5]的零点. 取x 0=1.5, d=106-
牛顿法实验⑶
上机题目:实现Newton 法
实验目的:编制求单变量非线性方程组的程序.
实验要求:
①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；
②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言， 算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等； ③用编好的程序在Ｍatlab 环境中执行简化Newton 法.来解方程。

计算步骤：
①准备 选定初始近似值x 0，计算f 0=f(x 0),f ')(00x f '=。

②迭代 按公式 x 0001f f x '-=迭代一次，得新的近似值x 1, 计算f )(),(1111x f f x f '='=.
③控制 如果 x 1满足1εδ或21εf ，则终止迭代，以x 1作为所求的根；否则
转步骤4，此处21εε，是允许误差，而 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-〈-=c x x x x c x x x 11
01101,,当当δ时。

其中c 是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取c=1.
④修改 如果迭代次数达到预先指定的次数N ，或者f '=0，则方程失败；否则以（x 1，11,f f '）代替（000,,f f x '）转步骤2继续迭代。

例题：用牛顿方法解方程 x 3-x-1=0，取迭代初值 x 0=1.5, d=106-.
程序代码：
①二分法：
function [x,k,error]=erfenfa(f,a,b,delta)
% 二分法求方程的根
% =左边：[给定区间内的一个实根,迭代次数,误差]
% =右边：erfenfa('函数表达式',区间左端点，区间右端点，预定精度)
f=inline(f);
if f(a)*f(b)>0
x=char(' none');
k=0;
error=char(' NONE');
disp(' 在给定区间不存在实根')
else m=a;
n=b;
N=10000;
for k=1:N
x0=(m+n)/2;
M=f(m);
t=f(x0);
if t==0
x=x0;
else t;
end
if t*M<0
n=x0;
else m=x0;
end
x=(m+n)/2;
error=abs(x-x0);
if error<delta
break;
end
end
end
②不动点迭代法：
function [x,k,error]=BDdiedai(f,x0,a,b,delta)
% 不动点迭代法求方程的根
% =左边：[给定区间内的一个实根,迭代次数,误差]
% =右边：BDdiedai('迭代算式',初始近似值，区间左端点，区间右端点，预定精度) f=inline(f);
g=inline(diff(sym(f)));
if max(f(a),f(b))<a||min(f(a),f(b))>b
x=char(' none');
k=0;
error=char(' none');
disp(' 重新确认区间');
else
if min(abs(g(a)),abs(g(b)))>1
disp(' 迭代公式错误');
disp(' 无法求解x');
x=char(' none');
k=0;
error=char(' none');
else N=10000;
for k=1:N
x=f(x0);
x0=x;
error=abs(x-f(x0));
if error<delta
break;
end
end
end
end
③牛顿法：
function [x,k,error]=niudunfa(f,x0,delta)
% 牛顿法求方程的根
% =左边：[给定区间内的一个实根,迭代次数,误差]
% =右边：erfenfa('函数表达式'，迭代初值，预定精度) f=inline(f);
g=inline(diff(sym(f)));
N=10000;
for k=1:N
x=x0-f(x0)/g(x0);
x1=x0;
x0=x;
error=abs(x-x1);
if error<delta;
break;
end
if k==N||g(x0)==0
disp(' 方程失败');
x=char(' none');
k=0;
error=char(' none');
break;
end
end
算例实现及其结果：
①二分法：
>> [x,k,error]=erfenfa('x^3-x-1',1.0,1.5,1e-10)
x =
1.3247
k =
32
error =
5.8208e-011
②不动点迭代法：
>> [x,k,error]=BDdiedai('(x+1)^(1/3)',1.5,1,1.5,1e-6) x =
1.3247
k =
8
error =
2.3346e-007
③牛顿法：
>> [x,k,error]=niudunfa('x^3-x-1',1.5,1e-6)
x =
1.3247
k =
4
error =
2.1675e-007
结果分析：
二分法需要迭代32次，不动点迭代法需要迭代8次，牛顿法需要迭代4次。

牛顿法求解方程的根最快。