(江苏专版)备战2017高考十年高考数学分项版 专题05 平面向量(Word解析版)

一．基础题组
1. 【2008江苏，理5】已知向量a 和b 的夹角为0
120，||1,||3a b ==，则|5|a b
-= .
2. 【2009江苏，理2】已知向量a 和向量b 的夹角为30o
，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b
的数量积a b ⋅= . 【答案】3．
【解析】 233a b ⋅=⋅⋅
=. 3. 【2010江苏，理15】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足()AB tOC OC ⋅－＝0，求t 的值
【答案】，210．(2) －
115
. 【解析】解：(1)由题设知AB ＝(3,5)，AC ＝(－1,1)，则
AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)．
所以|AB ＋AC |＝210，|AB －AC |＝.
故所求的两条对角线长分别为，210.
(2)由题设知OC ＝(－2，－1)，AB －t OC ＝(3＋2t,5＋t )．
由(AB －t OC )·OC ＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－
11
5
. 4. 【2011江苏，理10】已知21,e e 是夹角为
3
2π
的两个单位向量，2121,2e e k e e +=-=
若0=⋅，则实数k 的值为 【答案】
4
5． 【解析】由0=⋅得4
5,02)21(221,0))(2(2121==----
=+-k k k e e k e e . 5. 【2013江苏，理15】已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a －b |，求证：a⊥b ；
(2)设c ＝(0,1)，若a －b ＝c ，求α，β的值． 【答案】(1)详见解析．(2) 5π6α=
，π
6
β=. 【解析】(1)证明：由题意得|a －b |2
＝2，即(a －b )2
＝a 2
－2a·b ＋b 2
＝2. 又因为a 2
＝b 2
＝|a|2
＝|b|2
＝1， 所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0. 故a ⊥b .
(2)解：因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以cos cos 0,
sin sin 1,
αβαβ+=⎧⎨
+=⎩
由此得cos α＝cos(π－β)．由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝
12，而α＞β，所以5π6α=，π6
β=. 6. 【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______.
二．能力题组
1. 【2012江苏，理9】如图，在矩形ABCD 中，AB =BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F
在边CD 上，若2AB AF ⋅=
，则AE BF ⋅的值是__________．
． 【解析】由2AB AF ⋅=得，()
2AB AD DF ⋅+=
即2AB AD AB DF ⋅+⋅=，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=，
∴2AB DF ⋅=
，
故()()
AE BF AB BE BC CF AB BC AB CF BE BC BE CF ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ ＝()
221
002222
AB DF DC BC AB DF AB DC AB +⋅-+
+=⋅-⋅+=-+
22+=2. 【2013江苏，理10】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=
2AD AB ，2
=3
BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．
3. 【2014江苏，理12】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，
3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .
【答案】22
【解析】由题意，1
4
AP AD DP AD AB =+=+
，33
44
BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-，
所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213
216
AD AD AB AB =-⋅-，
即13
22564216
AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．
4. 【2015江苏高考，14】设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,
,12)666k k k k πππ
=+=，
则11
0k =∑(a k a k+1)的值 为
5. 【2016年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，
1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅的值是 ▲ .
【答案】
78
【解析】因为2
2
2
2
11436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2
2
11114123234
FD BC
BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），
因此2
2
513,8
2
FD BC ==
，2
2
2
2
114167
.22448
ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）
三．拔高题组
1. 【2005江苏，理18】在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则O
A (O B+O C )的最小值是 .
【答案】-2．
【解析】如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(
=.222-=⋅-
即)(OC OB OA +⋅的最小值为:-2.
2. 【2006江苏，理6】已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足
||||MN MP MN NP ⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 ( )
（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 【答案】B ．
【解析】设(,)P x y ，0,0x y >>，(2,0),(2,0)M N -，4MN = 则(2,),(2,)MP x y NP x y =+=-
0=⋅+NP MN ，则4(2)0x -=，
化简整理得x y 82
-= 所以选B.。