新教材2020学年人教A版数学必修第二册教师用书：第10章 10.1.1 有限样本空间与随机事件

10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E 来表示．
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
思考1：如何确定试验的样本空间？
[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }的形式．
思考2：观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
[提示] 不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．
1．下列现象中，是随机现象的有( )
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．
②若a 为整数，则a ＋1为整数．
③发射一颗炮弹，命中目标．
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
C [当a 为整数时，a ＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机
现象．]
2．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝.
{12,13,23}[从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：12, 13, 23，
所以Ω＝{12,13,23}．]
3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中是随机事件；是不可能事件．(填上事件的编号)
①③②[因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]
【例1】
测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是()
A．1B．3C．0D．4
B[①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件．故选B.]
判断一个事件是哪类事件要看两点
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一
定不发生的是不可能事件．
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
[解](1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
[
1．如何确定试验的样本空间？
[提示]确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
2．写试验的样本空间要注意些什么？
[提示]要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现
多余的结果．
【例2】指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．
[思路探究]根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间．
[解](1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)由题意可知：
1－3＝－2,3－1＝2，
1－6＝－5,6－1＝5，
1－10＝－9,10－1＝9，
3－6＝－3,6－3＝3，
3－10＝－7,10－3＝7，
6－10＝－4,10－6＝4.
即试验的样本空间Ω＝{－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4,4}．
1．求本例(2)中试验的样本点的总数．
[解]样本点的总数为12.
2．满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？
[解]满足“两个数的差大于0”的样本点有：2,5,9,3,7,4，共6个．
3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．[解]样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
4．在本例(2)中，从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点
的纵横坐标，指出试验的样本空间．
[解]由题意可知：样本空间Ω＝{(1,3)，(1,6)，(1,10)，(3,1)，(3,6)，(3,10)，(6,1)，(6,3)，(6,10)，(10,1)，(10,3)，(10,6)}．
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别注意题目的关键字，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
1．判断正误
(1)试验的样本点的个数是有限的．()
(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件．()
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．()
[提示](1)错误．试验的样本点的个数也可能是无限的．
(2)正确．
(3)错误．“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．[答案](1)×(2)√(3)×
2．下列事件不是随机事件的是()
A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴
B[B是必然事件，其余都是随机事件．]
3．下列试验：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
其中的随机事件是()
A．①②③B．①③④
C．②③④D．①②④
C[由随机事件的定义知②③④是随机事件．]
4．从a，b，c，d中任取两个字母，写出该试验的样本空间及其包含的样本点数．
[解]该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6.。