高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比

五与圆有关的比例线段
1．掌握相交弦定理及其应用．
2．掌握割线定理、切割线定理及其应用．
3．掌握切线长定理及其应用．
1
证明线段成比例
由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．该推论又称为垂径定理．
【做一做1】如图，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE 等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2
证明线段成比例
外一点，PC＝4，PD＝2，则PA·
A．2 B．4
C．8 D．不确定
3
证明线段成比例
相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论)统称为圆幂定理．可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线)．两条线段的长的积是常数PA·PB＝|R2－d2|，其中d为定点P到圆心O的距离．若P在圆内，d＜R，则该常数为R2－d2；若P在圆上，d＝R，则该常数为0；若P在圆外，d＞R，则该常数为d2－R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点．
【做一做3】如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，则PA等于( )
A．4 B．6 C．9 D．36
4
证明角相等，线段相等
分别为⊙O的切线，切点分别为C ＝__________.
答案：
1．积PC·PD
【做一做1】B ∵AE·EB＝DE·EC，
∴2EB＝4×1.∴EB＝2.
2．积PC·PD
【做一做2】C ∵PA·PB＝PC·PD，
∴PA·PB＝4×2＝8.
3．比例中项PB·PC
【做一做3】B ∵PA2＝PB·PC＝4×9＝36，
∴PA＝6.
4．相等平分PB∠OPB
【做一做4】50°∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴PA＝PB.
又∠P＝80°，∴∠PAB＝∠PBA＝50°.
∴∠ACB＝∠PAB＝50°.
1．与圆有关的比例线段问题
剖析：与圆有关的比例线段问题，主要是圆与相似形的综合，其解法大致可分以下几种：
(1)直接由相似形得到，即先由已知条件证得两个三角形相似，从而直接得到有关对应线段成比例．这是简单型的比例线段问题．
(2)利用“等线段”代换得到，在证明“等积式”形如a2＝bc时，如果其中有三条线段共线，那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换．
(3)利用“中间积”代换得到，在证明“等积式”形如a2＝bc时，如果其中有三条线段共线，不妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试．
(4)利用“中间比”代换得到，在证明比例线段(不论共线与否)，如果不能直接运用有关定理，不妨就寻找“中间比”进行代换试试．
与圆有关的比例线段证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效．
2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系
剖析：如图，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：
(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；
(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；
(3)若AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；
(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；
»AC＝»BC，»AD＝»DB，PD⊥AB；
(5)
(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BP D．
题型一相交弦定理的应用
【例题1】如图，过⊙O内一点A作直线，交⊙O于B，C两点，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径r＝__________.
反思：相交弦定理的结论是线段成比例，也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段，又可以建立方程来解决问题，如本题中，利用相交弦定理列出关于r的方程．
题型二割线定理的应用
【例题2】如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A点和B点，PA＝6 cm，AB＝8 cm，PO ＝10.9 cm，求⊙O的半径．
分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延长交⊙O于D，构成圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用割线定理解题即可．
反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线，那么常用到割线定理．本题中，利用割线定理列出了关于半径r的方程，进而求出了r的值．
题型三切割线定理的应用
»CD的中点，BE交DC于F，求证：【例题3】如图，AB切⊙O于B，ACD为割线，E为
AF2＝AC·A D．
分析：由切割线定理可知AC·AD＝AB2，故只需证AF＝AB即可．
反思：如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线，那么常用到切割线定理．题型四切线长定理的应用
【例题4】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.
求证：∠EPC ＝∠EBF .
分析：由切线长定理→EA ＝EC ，FC ＝FB →
EC FC ＝EP
PB
→CP ∥FB →结论 反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的切线，那么常用到切线长定理．要注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明．
答案：
【例题1】241 如图所示，作直线OA 交⊙O 于E ，F 两点，
则AE ＝r －10，AF ＝r ＋10.
由相交弦定理，得(r －10)(r ＋10)＝64，
解得r 1＝241，r 2＝－241(不合题意，舍去)． 故r ＝241.
【例题2】解：如图，将PO 延长交⊙O 于D .
根据割线定理，可得PA ·PB ＝PC ·PD . 设⊙O 的半径为r cm ，则
6×(6+8)＝(10.9－r )(10.9+r )，
解得r ＝5.9，即⊙O 的半径为5.9 cm. 【例题3】证明：如图，连接BC ，BD ，
∵E 为»CD
的中点， ∴∠DBE ＝∠CBE .
又AB 是⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝∠CDB .
∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CDB ， ∴∠ABF ＝∠AFB .∴AB ＝AF .
又AB 是⊙O 的切线，ACD 为割线，由切割线定理，可知AC ·AD ＝AB 2
，
∴A F 2
＝AC ·AD .
【例题4】证明：∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB .
∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB . ∴EA ∥FB .∴EA BF ＝
EP
BP
.
∴EC FC ＝EP PB
，∴CP ∥FB .∴∠EPC ＝∠EBF .
1圆内两弦相交，其中一条弦长为8 cm ，且被交点平分，另一条被交点分为1∶4的两部分，则这条弦长为( )
A ．2 cm
B ．8 cm
C ．10 cm
D ．16 cm 2(2011·北京海淀一模)如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，B
E 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点．若∠BAC ＝70°，则∠CBE ＝__________；若BE ＝2，CE ＝4，则CD ＝__________.
3如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于点B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝__________.
4(2011·北京西城一模)如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA ＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为__________．
5如图，已知P 为⊙O 外一点，OP 与⊙O 交于点A ，割线PBC 与⊙O 交于点B ，C ，且PB ＝B C ．如果OA ＝7，PA ＝2，求PC 的长．
答案：
1．C 设所求弦长为5k cm ，则由相交弦定理得42
＝k ×4k ， 则k ＝2(－2舍去)，故所求弦长为5k ＝5×2＝10(cm)． 2．70° 3 由于BE 是⊙O 的切线，
则∠CBE ＝∠BAC ＝70°.由切割线定理，知EB 2
＝ED ·EC . 又BE ＝2，CE ＝4，
则ED ＝EB 2
EC
＝1.
所以CD ＝CE －ED ＝3.
3．80° 如图所示，连接BC ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又∠ACE ＝40°，
∴∠PCB ＝180°－∠ACB －∠ACE ＝50°. 又PB ＝PC ，∴∠PBC ＝50°.
在△PBC 中，∠P ＝180°－50°－50°＝80°. 4．2 如图所示，取BC 的中点D ，连接OD 和OB ，
则OD ⊥BC .已知OD ＝3， 则BC ＝2BD
＝2OB 2－OD 2＝2OB 2
－3. 由于PA 是圆O 的切线，
所以PA 2
＝PB ·PC . 又PA ＝22，PC ＝4，
所以PB ＝PA 2
PC
＝2.
则BC ＝PC －PB ＝2.
所以2OB 2
－3＝2，解得OB ＝2，即圆O 的半径为2. 5．解：如图，延长PO 交⊙O 于E ， 则PA ·PE ＝PB ·PC .
设PC ＝x ，
又∵PB ＝BC ，∴PB ＝1
2
x .
又PE ＝PA ＋AE ＝PA ＋2AO ＝16，
∴2×16＝1
2
x ·x ，解得x ＝±8.
又∵x ＞0，∴x ＝8.∴PC ＝8.。