江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题(解析版)

2023—2024学年第一学期11月六校联合调研试题
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}{
}22log 2,20
A x x
B x x x =≤=--<，则A B ⋃=（
）
A.
()
0,2 B.
()
1,2- C.
(],4∞- D.
(]
1,4-【答案】D 【解析】
【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.
【详解】因为{}
(]2log 20,4A x x =≤=，{
}
()2
201,2B x x x =--<=-，
所以(]1,4A B =- ，故选：D.
2.若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+
与32a b -+ 垂直，则λ=（
）A.
18
B.
14
C.
78 D.
74
【答案】B 【解析】
【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅ 的值，然后将“a b λ+
与32a b -+ 垂直”等价转换为
(
)()
032a b a b λ-⋅=++
，从而即可求解.
【详解】由题意有2222111,1,cos601122
a a
b b a b a b ︒
====⋅=⋅=⨯⨯= ，
又因为a b λ+
与32a b -+ 垂直，
所以()()
()()221
323232320322
a a
b a a b b b λλλλλ+⋅=-+-⋅+=-+⨯=--++ ，
整理得1202
λ-+=，解得1
4λ=.
故选：B.
3.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积
为，则原圆锥的母线长为（
）
A.2
B.
C.4
D.【答案】D 【解析】
【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.
【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为，
则由圆台侧面积公式可得π(12)3πl l +==，所以l =
，
设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得
12
l l l '='+，
则2l l ''=+，解得l '=，
所以原圆锥的母线长l l '+=+=，
故选：D .
4.已知,x y 取表中的数值，若,x y 具有线性相关关系，线性回归方程为0.95 2.6y x =+$，则a ＝（
）
x
0134y
a
4.3
4.8
6.
7
A.2.2
B.2.4
C.2.5
D.2.6
【答案】A 【解析】
【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解.【详解】由题意可知：013424x +++==， 4.3 4.8 6.715.8
44a a y ++++==，
所以样本中心(),x y 为15.82,4a +⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，代入回归方程有：15.8
0.952 2.64
a +=⨯+，解得 2.2a =.故选：A .
5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,1)t -，若cos 5
α=
，则
πtan()
4
α+＝（）
A.3-
B.1
3 C.
1
3- D.3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据任意角的三角函数求出t，再求出tanα的值，最后根据两角和的正切公式即可求出所需的值.
【详解】由任意角的三角函数公式可知cosα==，解得
1
2
t=，
所以tan2
y
x
α==-，所以
()
π
tan tan
π211
4
tanπ
41213
1tan tan
4
α
α
α
+-+
⎛⎫
+===-
⎪--⨯
⎝⎭-
，
故选：C
6.已知数列{}n a通项公式为
2
322,7
494,7
n
n tn n
a
n n
⎧-+≤
=⎨
+>
⎩
，若对任意*
n∈N，都有1n n
a a
+
>，则实数t的取值范围是（）
A.[3,)
t∈+∞ B.239
[,
142
t∈ C.239
(,)
142
t∈ D.23
[,)
14
t∈+∞
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的单调性，即可根据263
t n
<+对{}
1,2,3,4,5,6
n∈恒成立，以及
87
a a>求解.
【详解】当{}
1,2,3,4,5,6
n∈时，()()
22
1
312123226320
n n
a a n t n n tn n t
+
-+-++--+-
=+=>恒成立，
所以263
t n
<+对{}
1,2,3,4,5,6
n∈恒成立，故
9
29
2
t t
<⇒<，
又当7,N
n n
>∈时，494
n
a n
=+为单调递增的数列，
故要使对任意*
n∈N，都有1n n
a a
+
>，则
87
a a>，即2
489437142
t
⨯+>⨯-+，
解得
23
14
t>，
综上可得
239
(,
142
t∈，
故选:C
7.已知圆()2
2
2
1:0C x y b b +=>与双曲线()22
222:10,0x y C a b a b
-=>>，若在双曲线2C 上存在一点P ，
使得过点P 所作的圆1C 的两条切线，切点为A 、B ，且π
3
APB ∠=，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）
A.51,
2⎛ ⎝⎦
B.
,2⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C.(
D.)
+∞
【答案】B 【解析】
【分析】连接OA 、OB 、OP ，则OA AP ⊥，OB BP ⊥，设点(),P x y ，则22
2
22
b x
y b a
=-，分析可得
2OP b a =≥，可得出b a 的取值范围，由e =可求得e 的取值范围.
【详解】连接OA 、OB 、OP ，则OA AP ⊥，OB BP ⊥，
由切线长定理可知，PA PB =，
又因为OA OB =，OP OP =，所以，AOP BOP ≌，所以，1π
26
APO BPO APB ∠=∠=
∠=，则22OP OA b ==，
设点(),P x y ，则222
22
b x
y b a
=-，且x a ≥，
所以，2OP b a ===，
所以，12b a ≥，故2c e a ===，故选：B.
8.定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()2f x f x -=+；且当[]0,1x ∈时，
()32f x x x x =-+．则方程()420f x x -+=所有的根之和为（
）
A.6
B.12
C.14
D.10
【答案】D 【解析】
【分析】根据题意可得()f x 为奇函数，其图象关于直线1x =对称且一个周期为4，再根据当[]0,1x ∈时，
()32f x x x x =-+，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.
【详解】∵()()0f x f x -+=，∴()f x 为奇函数，又∵()()2f x f x -=+，∴()f x 的图象关于直线1x =对称．
当[]0,1x ∈时，()2
3210f x x x '=-+>，()f x 单调递增．
由()()()2f x f x f x -=+=-，即有()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，即函数()f x 的一个周期为4，
由()()0f x f x -+=可得，()()40f x f x -++=，所以()f x 的图象关于()2,0中心对称．函数()f x 的简图如下：
其中32x =，
由1
()(2)4
f x x =
-，∴所有实根之和为()()1524344210x x x x x ++++=++=.故选：D ．
【点睛】本题求零点之和需要掌握的方法：
（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；
（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
9.已知复数2i z =+，1i z x y =+(,R x y ∈)(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是
（
）
A.z 的虚部为i -
B.z 对应的点在第一象限
C.
1
z z
= D.若11z z -£，则在复平面内1z 对应的点形成的图
形的面积为2π【答案】BC 【解析】
【分析】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可.【详解】对于A ：2i z =-，所以z 的虚部为1-，A 错误；对于B ：z 对应的点为()2,1，位于第一象限，所以B 正确；
对于C ：z =
=，z ==，所以
1z z
=，C 正确；
对于D ：在复平面内11z z -£表示到点()2,1距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以()2,1为圆心1为半径的圆，所以面积为πS =，D 错误，故选：BC
10.已知0,0a b >>，21a b +=，则（
）
A.
21
a b
+的最小值为4 B.ab 的最大值为
18
C.22a b +
的最小值为
1
5
D.24a b +的最小值为
【答案】BCD 【解析】
【分析】根据基本不等式即可求解BD ，由乘“1”法即可求解A,代换后利用二次函数的性质即可求解C.
【详解】对于A ，0,0a b >>，
()212142448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即11
,24
a b ==取等号，故A 错误，1
21
8
a b ab +=≥⇒≤，当且仅当2a b =，即11,24a b ==取等号，故B 正确，
()2
2
22222112541555a b b b b b b ⎛
⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝
⎭，故当25b =时，取到最小值15，此时15a =，满足
题意，故C 正确，
24a b +≥==，当且仅当24a b
=，即11
,24
a b =
=时等号成立，所以D 正确故选：BCD
11.函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ[,]22
-上为单调函数，图象关于直线2π
3x =对称，则（
）
A.3
4
ω=
B.将函数()f x 的图象向右平移2π
3
个单位长度，所得图象关于y 轴对称C.若函数()f x 在区间14π(,
9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π
(,)99
-D.若函数()f x 在区间14π
(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π[,0)3
-【答案】ABD 【解析】
【分析】根据单调性及对称轴求出解析式，即可以判断选项A ，由函数的平移变换可以判断选项B ，根据函数图象的零点和最值即可判断C ，D.
【详解】选项A ：根据题意函数()sin (0)f x x ωω=>在区间ππ
[,]22
-上为单调函数，可以判断为单调递增函数，则ππ22ω-
≤-，ππ22
ω≤，解得01ω<≤又因为图象关于直线2π
3x =，则
2πππ2
3k ω=+，Z k ∈，解得3342
k
ω=
+，Z k ∈
当0k =时，3
4
ω=
符合条件.则A 正确；选项B ：由A 可知3()sin
4f x x =向右平移2π3个单位长度后，解析式变成3
π3()sin cos 4
24g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，
则图象关于y 轴对称.B 正确；
选项C ：函数()f x 在区间14π
(,)9
a 没有最小值，则令34t x =，14π
(,)9x a ∈，则37π(,)46
t a ∈，当π37π246a -≤<，即2π14π
39
a -≤<时，没有最小值.C 错误；
选项D ：函数()f x 在区间14π
(,)9
a 上有且仅有2个零点，因为πt =时，为函数的零点，所以另一个端点只能让函数再有一个零点即可.
所以3π04a -≤
<，即4π03
a -≤<，D 正确.故选：ABD.
12.已知椭圆C ：()22
2104x y b b
+=>的左右焦点分别为1F 、2F
，点)
P
在椭圆内部，点Q 在椭圆
上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）
A.离心率e
的取值范围为0,
2⎛ ⎪⎝⎭
B.
当4
e =
时，1QF QP +
的最大值为4+
C.存在点Q ，使得210
QF QF ⋅=
D.12
11QF QF +的最小值为1【答案】ABD 【解析】
【分析】A 项中需先解出b 的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B 项中根据椭圆定义转化为求24QF QP -+的最大值，从而进而判断；
C 项中先求出点Q 的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；
D 项中根据椭圆定义得1224QF QF a +==，并结合基本不等式判断.
【详解】对于A
项：因为点)
P
在椭圆内部，所以221
14b
+<，得224b <<，
所以得：0,2c e a ⎛== ⎝⎭
，故A 项正确；对于B 项：由椭圆定义知124QF QP QF QP +=-+，
当Q 在x 轴下方时，且P ，Q ，2F 三点共线时，1QF QP +有最大值24PF +，
由42c e ==
，得2c =
，2,02F ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，所以得22PF ==，所以1QF QP +
最大值42
+
，故B 项正确；对于C 项：设(),Q x y ，若210QF QF ⋅=
，即：()(),,0c x y c x y ---⋅--=，
则得222x y c +=，即点Q 在以原点为圆心，半径为c 的圆上，又由A
项知：0,2c e a ⎛⎫=
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
，得(c ea ==∈，又因为224b <<
，得)
2b ∈
，
所以得：c b <，所以该圆与椭圆无交点，故C 项错误；对于D 项：由椭圆定义得1224QF QF a +==，所以
()
121212111114QF QF QF QF QF QF ⎛⎫
+=⋅++ ⎪ ⎪⎝
⎭
21121122144QF QF QF QF ⎛⎛
⎫ =++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
，当且仅当122QF QF ==时取等号，故D 项正确.故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》
《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．【答案】12【解析】
【分析】利用捆绑求得正确答案.
【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为23
23A A 12=种.故答案为：12
14.设665
6510(21)x a x a x a x a -=++++ ，则135a a a ++=__________．（用数字作答）
【答案】364-【解析】
【分析】利用赋值法计算可得
【详解】因为6
6
5
6510(21)x a x a x a x a -=++++ ，令=1x ，则01561a a a a =++++ ①，
令1x =-，则01456729a a a a a --=+++ ②，∴①－②得()1352++=728a a a -，所以135364a a a ++=-，故答案为：364
-15.现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为___________．【答案】28【解析】
【分析】根据题意，可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，进而利用等差数列的通项公式算出结果．
【详解】设没剪之前正方形的边数为1a ，即14a =，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3，即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，
故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：948328a =+⨯=．故答案为：28
16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，2AC =，14AA =，6AB =，点E ，F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是__________，此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为
__________.
【答案】
①.②.44π
【解析】【分析】将立体几何中线段之和最小问题，转化为平面几何中的线段之和最小问题，利用对称性求出最小值，并得到此时各线段的长度和1EF B F ⊥，由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，找到球心问题，求出半径，得到表面积.
【详解】将三棱柱的侧面11ACC A 与侧面11ABB A 沿着1A A 展开到同一平面内，如下：
则11C E EF FB ++长度最小值转化为11C F FB +的最小值，
作点1C 关于直线BC 的对称点H ，连接1HB ，交BC 于点F ，
则1HB 即为11C F FB +的最小值，也即11C E EF FB ++的最小值，
其中1128C C H C ==，11628B C AB AC =+=+=，
所以1B H ==，此时可求出4,2BF AF ==，且145B FB ∠=︒，45AFE ∠=︒，
故12,2AE AF A E ===，
由勾股定理得11EF B F B E =====所以22211EF B F B E +=，由勾股定理逆定理可知，1EF B F ⊥，
由于1A E ⊥11A B ，故11,,,A E F B 四点共圆，
三棱锥11B C EF -外接球即为四棱锥111C A B FE -的外接球，连接1AQ ，
由于四边形11A B FE 的外接圆圆心为1B E 的中点Q ，半径为112
B E =
1
AQ =，故OQ ⊥平面11A B FE ，所以OQ 平行于11C A ，取11A C 的中点W ，
连接1,OW OC ，
则1OW A Q =，且1OC 即为外接球半径，且1OC ===，外接球的表面积为4π44π=.
故答案为：，44π
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的
半径
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，222n n n a a S +=+，数列{}n b 满足3n a
n n b a =⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）1
n a n =+（2）2219344
n n n T ++=
⋅-【解析】
【分析】（1）利用n S 与n a 的关系，求解通项公式;
（2）利用错位相减法求解数列的前n 项和.
【小问1详解】
当1n =时，211122a a S +=+，即21120a a --=，12a =或11a =-（舍）当2n ≥时，2
11122n n n a a S ---+=+，
又因为222n n n a a S +=+，
两式相减得22110n n n n a a a a -----=，整理得()()1110n n n n a a a a --+--= {}n a 为正项数列，
∴11
n n a a --=数列{a n }为等差数列，公差为1.
()1111
n a a n n ∴=+-⨯=+【小问2详解】
()1313n a n n n b a n +=⋅=+，
()()
123423334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ ()(
)
2345323334313n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ 两式相减得()()()
122345223333313n n n T n ++-=⨯+++++⨯-+⨯
2
91322n n +⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭
2219344
n n n T ++=⋅-.18.在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2()b c a c =+.（1）若π4B =，求c a 的值；
（2）若ABC 是锐角三角形，求22cos B C +的取值范围．
【答案】（11
（2）1,3)
+【解析】
【分析】（1）根据余弦定理即可求解，
（2）根据余弦定理得边角关系，即可利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得2B C =，即可由三角函数的性质求解.
【小问1详解】
在ABC 中，π4B =
，据余弦定理可得222222cos b a c ac B a c =+-=+又2()b c a c =+，故
2a ac -=，由于0a >，故)1a c =
+，得1c a
=-.【小问2详解】在ABC 中，据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，
又2()b c a c =+，故22cos a ac B ac -=，
又0a >，故2cos a c B c
-=据正弦定理sin sin a c A C
=，可得sin 2sin cos sin A C B C -=，sin 2i [πs n cos )si (]n B C C B C =--+，
sin cos cos sin 2sin cos sin B C B C C B C +-=，
sin si (n )B C C =-,
因为,,(0,π)A B C ∈，所以)π,π(B C -∈-，
则B C C -=或πB C C -+=，
即2B C =或B π=（舍）
2π
2cos 2cos 212sin(2)16
B C C C C +=++=++,)ππ3(A B C C +==--,
因为ABC 是锐角三角形，所以π0π32π022π02C C C ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，得ππC 64<<，2ππ2πC 263<+<,
故πsin(2),162C ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭
,)π2sin(2)11,36
C ++∈
)
22cos 1,3B C +∈,19.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A 类试题中有7道题能答对，而他答对各道B 类试题的概率均为23
．（1）若该同学只抽取3道A 类试题作答，设X 表示该同学答这3道试题的总得分，求X 的分布和期望；（2）若该同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
【答案】（1）分布列见解析，()21
E X =（2）1990
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.
【小问1详解】
{}
0102030X ∈，，，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 217(10)C 12040
P X ====，
2173310C C 6321(10)C 12040P X ====，37310C 357(30)C 12024
P X ====所以X 的分布为X 0102030P 1
1207402140724
所以17217()010203021120404024
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】记“该同学仅答对1道题”为事件M.
()2127131219(C 103103390
P M =⨯+⨯=∴这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为1990
.20.已知在四棱锥C ABED -中，//DE 平面ABC ，AC
BC
⊥，24,2BC AC AB DE ===，DA DC =，
点F 为线段BC 的中点，平面DAC ⊥平面ABC ．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；
（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角B AD C --的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4
【解析】
【分析】（1）通过证明,EF AB EF AC ⊥⊥来证得EF ⊥平面ABC ；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角B AD C --的余弦值.
【小问1详解】
取AC 的中点O ，连接OF 、OD ，
∵//DE 平面ABC ，DE ⊂平面ABED ，平面ABED ⋂平面ABC AB =，∴//DE AB ，
又∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴1//,2OF AB OF AB =
∵2AB DE =∴//,OF DE OF DE =，
∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ，
∵在DAC △中DA DC =且O 为AC 中点，∴DO AC ⊥.
∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC .∵,AB AC ⊂平面ABC ，∴⊥DO AB ，DO AC ⊥，
∵//EF DO ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥，
∵AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC .
【小问2详解】
∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以,DO AC DO BC ⊥⊥，又因为AB AC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，
∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.
则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.
∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠= .
∴tan 60DO EF BF ===o
(0,0,D .平面ADC 的一个法向量为()0,1,0m = ，
设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，
()2,4,0AB =-
，(1,0,AD =-uuu r ，
则2400x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩
，取1z =
，则x =
y =
∴()
n = ，
∴cos ,4m n m n m n
⋅<>== ，由图可知二面角B AD C --为锐角，
∴二面角B AD C --的余弦值为34
.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>经过点()4,6P ，且离心率为2.（1）求C 的方程；
（2）过点P 作y 轴的垂线，交直线:1l x =于点M ，交y 轴于点N .设点,A B 为双曲线C 上的两个动点，
直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若122k k +=，求MAB NAB
S S .【答案】（1）22
1412
x y -=（2）32
【解析】
【分析】（1）根据题意求出22,a b 即可得解；
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB 方程为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据122k k +=求出,k m 的关系，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.
方法二：可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由22
1412
x y -=可得()()22
44661412
x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，再根据122k k +=求出m ，从而可得直线AB 过定点，进而可得出答案.
【小问1详解】
由题意得2222216361
2a b c a a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩
，解得22412a b ⎧=⎨=⎩，所以C 的方程为22
1412
x y -=；【小问2详解】
由题意，点M 坐标为()1,6，点N 坐标为()0,6，设()()1122,,,A x y B x y ，方法一：
①若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为y kx m =+，
22
1412x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()
22232120k x kmx m ----=，230k -≠且()
22Δ124120m k =-+>，且2121222212,33km m x x x x k k
++==---，()()()()()()
12211212121264646624444kx m x kx m x y y k k x x x x +--++----+=+==----，整理可得()()()121242228160m k x x k x x m -+++--+=，
()()2222124222816033km m m k k m k k ⎛⎫+-+⋅+-⋅--+= ⎪--⎝⎭
，化简得22128122360m m k k km ---++=，
即()()26460m k m k --+-=，
因为直线AB 不过点()4,6P ，所以460m k +-≠，
所以260m k --=，即26m k =+，
所以直线AB 的方程为()26y k x =++，恒过定点()2,6Q -，
②若直线AB 斜率不存在，则1212,0x x y y =+=，
121212121166121224444
y y y y k k x x x x --+--+=+===----，解得122x x ==-，所以直线AB 的方程为2x =-，过定点()2,6Q -，综上，直线AB 恒过定点()2,6Q -，
设点M 到直线AB 的距离为1d ，点N 到直线AB 的距离为2d ，
1122132122
MAB NAB AB d S d MQ S d NQ AB d ⋅⋅====⋅⋅ .方法二：
因为直线AB 不过点()4,6P ，所以可设直线AB 方程为()()461m x n y -+-=，由221412x y -=可得()()22
44661412
x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-=，即()()22(6)3(4)1262440y x y x ---+---=，()()][()()22(6)3(4)126244460y x y x m x n y ⎡⎤---+---⋅-+-=⎣⎦，得()()()()()22
121(6)122446243(4)0n y m n x y m x +-+----+-=，等式左右两边同时除以2(4)x -，
得()()()2
661211224243044y y n m n m x x --⎛⎫++--+= ⎪--⎝⎭，()()2Δ(1224)41212430m n n m =-+++>，
121212661224244121y y m n k k x x n ---+=+=-=--+，解得16
m =-，所以直线AB 方程为()()14616
x n y -⋅-+-=，即()()2660x n y -++-=，恒过定点()2,6Q -，
下同法一.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.
22.已知函数23()e 232x
a x f x x ax =---．（1）当0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．
（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；
（3）若()f x 的最小值为1，求a ．
【答案】（1）2(e 1)210
x y --+=（2）1
2a ≤
（3）12a =【解析】
【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线方程；
（2）参变分离，构造2e ()2
x x g x x -=+，求导，得到其最小值，求出a 的取值范围；（3）注意到(0)1f =，多次求导得到()e 2x l x a '=-，从而分12a =，12a >，0a ≤与102
a <<，结合函数单调性，极值和最值情况，求出答案
【小问1详解】21()e ,(1)e 22x
x f x f =-=-，
()e ,(1)e 1x f x x f ''=-=-，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程1e (e 1)(1)2y x ⎛⎫--
=-- ⎪⎝⎭
，即2(e 1)210x y --+=．
【小问2详解】
因为2()e 20x f x ax x a =---≥'在区间[0,)+∞上恒成立，所以2min
e 2x x a x ⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭，令2e ()2x x g x x -=+，则()()()()222e 12e 2()2x x x x x
g x x ⋅'-+--=+，
令()()()2()e 12e 2x x h x x x x =-+--⋅，则2()e 2x h x x x '=+，
当0x ≥时，()0,()h x h x '≥单调递增，()(0)0h x h ≥=，
所以()0g x '≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，故min 1()(0)2g x g ==
，所以12
a ≤．【小问3详解】
23()e 2,(0)132x
a x f x x ax f =---=，2()e 2,(0)12,
x f x ax x a f a =---=-''令()2
()e 2x k x f x ax x a -'==--，则()e 21x k x ax '=--，令()()e 21x
l x k x ax '==--，则()e 2x l x a '=-，当12a =时，2231()e ,()e 1622
x x x x f x x x f x x =-----'=-，则()e 1x k x x '=--，()e 1x l x '=-，
当0x <时，()0,()l x k x ''<在(,0)-∞上单调递减，
当0x ≥时，()0,()l x k x ''≥在[0,)+∞上单调递增，
()(0)0,()k x k k x ''≥=在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0k =，
所以，当0x <时，()0,()0,()k x f x f x '<<在(,0)-∞上单调递减，
当0x >时，()0,()0,()k x f x f x '>>在(0,)+∞上单调递增，
所以min ()(0)1f x f ==．所以12
a =
适合，当12a >时，当0ln 2x a <<时，()0l x '<，()l x 在(0,ln 2)a 上单调递减，()(0)0l x l <=，
()2()e 2x k x f x ax x a -'==--在(0,ln 2)a 上单调递减，
因为()(0)120f x f a '<='-<，所以()f x 在(0,ln 2)a 上单调递减，
此时()(0)1f x f <=，舍去．
当0a ≤时，当0x <时，()e 210x k x ax '=--<，
()f x '在(,0)-∞上单调递减，()(0)120f x f a >=-'>'，
()f x 在(,0)-∞上单调递增，()(0)1f x f <=，舍去；当102
a <<时，当ln 20a x <<时，()e 20,()x l x a k x ''=->在(ln 2,0)a 上单调递增，()(0)0,()k x k f x ''<='在(ln 2,0)a 上单调递减，
()(0)120,()f x f a f x >=->''在(ln 2,0)a 上单调递增，
此时，()(0)1f x f <=，舍去．综上，12
a =．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：
一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。