2018年全国高中联赛湖北省预赛高三数学试题(解析版)

2018年全国高中联赛湖北省预赛高三数学试题
一、填空题
1．若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.
【答案】4
【解析】【详解】
设，则
.
当时，可得.
不等式，即，所以
.
当时，函数单调递减，可得
.
故实数的最小值为4.
2．设数列满足：，则______.
【答案】
【解析】【详解】
由可得
.
设，则有.又，故.
一般地，有，于是
，
所以.
3．设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有
，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】【详解】
由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有. 当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以
.不等式，即，解得.故不等式的解集为
.
4．已知点在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径与外接圆半径之比为______.
【答案】
【解析】【详解】
由，知.设，又，则可得
，
，①
. ②
设，则，即有
. ③
由①②③可得，所以
，
解得.
5．设为的重心，若，则的最大值为______.
【答案】
【解析】【详解】
设的中点为，因为，故是直角三角形，所以.
又因为为的重心，所以.
由三角形的中线长公式可得，所以
.
所以，当且仅当时等号成立.
故的最大值为.
6．一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______.
【答案】
【解析】【详解】
设分别是四次投掷骰子得到的点数，那么共有种不同的情况.
如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则
.
若的值都相等，则有种不同的情况；
若恰好取两个不同的值，则有种不同的情况；
若恰好取3个不同的值，则有种不同的情况；
若恰好取4个不同的值，则有种不同的情况.
因此，满足的情况共有（种）.
故所求的概率为.
7．设正实数满足，则的最小值为______.
【答案】6
【解析】【详解】
由三元均值不等式，可得
①
. ②
当且仅当时，①中等号成立；当且仅当时，②中等号成立.
①+②，得.
又已知，故，整理得.当且仅当
时等号成立.所以，的最小值为6.
8．设数列的通项公式为，将该数列中个位数字为0的项，按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数为______.
【答案】4
【解析】【详解】
因为，于是可知当且仅当的个位数字为1、4、5、6、9、0时，的个位数字为0.所以，数列的连续10项中，个位数字为0的项有六个.
而，余数2所对应的满足条件的项的个位数字为4，因此，
.
所以，被7除所得余数为4.
二、解答题
9．已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线
交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】【详解】
(1).设，易知.
因为平分，所以，所以
①
. ②
由①②可得，代入①得到，化简即得曲线的方程为
.
(2).记，则.
直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得
当直线与抛物线相切于点时，，解得.
当时，，切点在曲线上；
当时，，切点不在曲线上.
若直线与曲线恰好有一个公共点，则有或，故所求的取值范围为.
10．对任意正整数，定义函数如下：
①；
②；
③.
（1）求的解析式；
（2）设是数列的前项和，证明：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】【详解】
(1). 由条件②可得：
……
.
将上述个等式相加得
而，所以
由条件②可得：
……
将上述个等式相加得
而，所以
(2).因为，所以
.
所以
两式相减得
故，所以.
11．已知正数满足，求的最小值.
【答案】
【解析】【详解】
由柯西不等式可得，
，
所以
，①取等号的条件分别为
，②
③
当时，有，结合②③得
又，所以，整理得
，
故
④
记，则
，
所以在上为增函数，故当时，
于是，由④可得，从而
代入②③求得
代入①式，整理得，因此的最小值为.。