甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次考试数学文科试题参考答案

文科参考答案
1．B 2．B 3．C 4．B 对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意；
对于B ，
22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；
对于C ，由
11x y >得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y >，所以“11
x y
>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；
对于D ，由22
x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既
不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B. 5．A
p 为假命题，∴():1,3p x ⌝∀∈-，220x a -->为真命题，
故22a x <-恒成立，22y x =-在()1,3x ∈-的最小值为2-， ∴2a <-.
6．B 7．D
8．D 设该女子第()N n n *∈尺布，前()
N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ， 由题意可得30130293015015293902
S a d d ⨯=+=+⨯=，解得16
29d =. 故选：D. 9．D
10．C 因为()()()πcos ln sin ln 2x x x x
f x x e e x e e --⎛
⎫=-+=+ ⎪⎝
⎭
， 所以()()(
)()()sin ln sin ln x
x x x f x x x e
e x e e
f x ---=-+=-+=-，
即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，
又因为22x x x x y e e e e --=+≥⋅=，当且仅当0x =时取等号， 所以(
)ln ln2ln10x x
e e -+≥>=，
当[)0,πx ∈时，sin 0x ≥，当[)π,2πx ∈时，sin 0x ≤，
所以，当[)0,πx ∈时，()0f x >，当[)π,2πx ∈时，()0f x ≤，故排除A 、B ， 故选：C ． 11．A 不妨设E 在x 轴上方，F ′为双曲线的右焦点，连接OE ，PF ′，如图所示: 因为PF 是圆O 的切线，所以OE ⊥PE ， 又E ，O 分别为PF ，FF ′的中点， 所以|OE |＝
1
2
|PF ′|，又|OE |＝a ，所以|PF ′|＝2a ， 根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝2a ， 所以|PF |＝4a ，所以|EF |＝2a ，
在Rt △OEF 中，|OE |2＋|EF |2＝|OF |2，即a 2＋4a 2＝c 2，所以e ＝5， 12．B 函数定义域为()0,∞+，由()ln 0f x x ax =-=得ln x a x =
设()()2
ln 1ln ,x x
g x g x x x -'== 令()0g x '=得x e =，() 0,x e ∈
时，()()0,g x g x '>单调递增；() ,x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； x e =时，()g x 取极大值()1
g e e
=. ()()0,0x x lim g x lim g x →→+∞
→-∞→，
∴要使函数()ln 0f x x ax =-=有两个零点即方程ln x
a x
=右有两个不同的根，
即函数()g x 与y a =有两个不同交点. 即10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
13．3- 由(2,4)a =，(1,1)b =，
所以()()()2,41,12,4a m b m m m +⋅=+=++，又因为()
b a m b ⊥+⋅，
所以()
()()1214620b a m b m m m ⋅+⋅=⨯++⨯+=+=，解得3m =-， 故答案为：3- 14．3 由2
14
y x =
可得24x y =，所以该抛物线的焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-， 设(,)M M M x y ，由抛物线的定义可得14M MF y =+=，所以3M y =． 15．
3
如图，取BC 的中点G ，连接FG ，EG ，AG ，则//BD FG ， 通过异面直线所成角的性质可知(EFG ∠或其补角)就是异面直线EF 与BD 所成的角． 设2AD =，则22215AF =+=，22215AG =+=
22
6EF EA AF =
+=，同理可得6EG
又1
22
FG BD =
= 所以在EFG 中，由余弦定理得2223
2EF FG EG cos EFG EF FG +-∠==
⋅ 故异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为
3 故答案为：3 16．3,12⎡⎫
⎪⎢
⎪⎣⎭
设()()()1112,,,0,,0,0P x y F c F c c ->，则1121,PF a ex PF a ex =+=-， 在12PF F △中，由余弦定理得：2
2
2
1212
12
cos1202PF PF F F PF PF +-︒=
()()()()
22
211114122
a ex a ex c a ex a ex ++--=
=-+-，
解得222
1
243c a x e -=，因为22
10,x a ⎡⎤∈⎣⎦，所以22
22
430c a a e
-≤≤，即22430c a -≥，且21e <，
所以3c e a =≥，故椭圆的离心率的取值范围是3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 故答案为：3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
. 17．（1）1m =；（2）1
2
42n n n T -+=-
. 解：（1）由11n n n n a S m a S m +-=+⇒=+ 当2n ≥时，两式相减，得112n n n n n a a a a a ++-=⇒=. ∵{}n a 是等比数列，∴2122a a == 又2121a a m m =+=⇒=
（2）11
12n n n a a q --==，012
11232222n n n T -=
++++
， 得123
1123
22222n
n
n
T =++++
两式相减，得0
1231111111112
212122222
222212
n n n n n n n n n T --
+=
+++++-=⋅-=--.
1
2
42
n n n T -+⇒=-
18．（1）62；（2）36183+. （1）4
BED AEB π
π∠=-∠=
，在三角形BDE 中，
sin sin DE BD
DBE BED
=∠∠，
即
6
sin
sin
6
4BD
π
π=
， 所以61222
=
，62BD =； （2）因为BED
ABD ∆∆，所以C A ∠=∠=6
DBE π
∠=
，
在三角形BDC 中，2
2
2
2cos
6
BD DC BC DC BC π
=+-，所以22723DC BC DC BC =+-，
所以7223DC BC DC BC ≥-，所以()
722+3DC BC ≤， 所以()()
11
sin 722+3182+3264
BCD S DC BC π∆=
≤⨯=，所以三角形BCD 面积的最大值为36183+. 19．（1）见解析；（2）
641
解：（1）如图：取BC 的中点M ，连接OM 、ME . 在ABC 中，O 是AB 的中点，M 是BC 的中点，
,OM AC AC ∴⊄∥平面 EMO MO ⊂,平面 EMO ,故 AC ∥平面 EMO
在直角梯形BCDE 中， DE
CB ，且DE CM =，
∴四边形MCDE 是平行四边形， EM CD ∴∥，同理 CD ∥平面 EMO 又 CD ⋂AC=C ,故平面 EMO ∥平面ACD ， 又EO ⊂平面, EMO EO ∴∥平面ACD .
（2）
AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的一点，AC BC ∴⊥
又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC = AC ∴⊥平面BCDE ，
可得AC 是三棱锥A BDE -的高线. 在直角梯形BCDE 中，11
23322
BDE S DE CD =
⨯=⨯⨯=△. 设E 到平面ABD 的距离为h ，则E ABD A EBD V V --=，即11
33
ABD EBD S h S AC ⋅=⋅△△
由已知得5,5,AB BD AD === 由余弦定理易知：16cos 25ABD ∠=
，则1sin 22
ABD S AB BD ABD =⋅∠=△
解得41
h =
，即点E 到平面ABD
20．（1）24x ＋y 2＝1；（2
. （1）由题意知，离心率e
|PF 2|＝212b a =，得a ＝2，b ＝1，
所以椭圆C 的标准方程为2
4
x ＋y 2＝1；
（2）由条件可知F 1(
0)，直线l ：y ＝x
联立直线l 和椭圆C 的方程，
得22
1,4
y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 得5x 2＋
＋8＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2
x 1·
x 2＝85， 所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|
5， 所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|
. 21．（1）2222
e y x e e
-=-（2）0a ≥
（1）当2a =-时，()2
2f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，
2222()2x f x x x x -'=-=
，所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线的斜率为222()e f e e -'=，又2
()2f e e =-， 所以函数()f x 在点(e ，f (e ))处的切线方程为22
22(2)()e y e x e e ---=-，即2222
e y x e e
-=-.
（2）因为()()2g x f x x =+
22
ln x a x x
=++在[1,+)∞上是单调增函数，
所以322
222()2a x ax g x x x x x
+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立，即2
22a x x ≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =
-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，22
2y x x =-取得最大值0，所以0a ≥. 22．（1）
52；（2）21+20⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
，
. （ 1）由已知得直线l 的普通方程为tan 3tan 4y x αα=-+，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，1tan 3tan 4αα-=-+，得5tan 2α=
，所以直线l 的斜率k ＝5
2
. （ 2）由圆C 的参数方程12cos ,
12sin x y θθ
=+⎧⎨
=-+⎩ (θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，
半径为2，由直线l 的参数方程3cos ,
4sin x t y t αα=+⎧⎨
=+⎩
(t 为参数，α为倾斜角)， 得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.
当直线l 与圆C
2<，
解得2120k >. 所以直线l 的斜率的取值范围为21,20⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
.。