河北省保定市2021届高三二模理科数学试题
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(2)首先找到二面角的平面角，然后求得二面角 正弦值.
【详解】
(1)如下图所示：取 边的中点 ， 的中点为 ，连接 ， ， ，由题意可知， 是 的中位线
所以 且 ，即四边形 为平行四边形，
所以
由 平面 可知， 平面 ，又 面 ，
故平面 平面
(2)由 ， 可知， ，同理
又 ， 为 ， 的公共边，
知 过点在 内做 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
所以 为所求二面角的平面角
在等腰三角形 中 ， .
由面积相等可知： ， ；
根据余弦定理
所以二面角 正弦值为
【点睛】
设 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与 互补或相等，故有 .求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
7．（1） （2）
【解析】试题分析：
(1)由题意列出关于 的方程组，求解方程组可得椭圆方程为 .
(2)结合(1)的结论结合题意可知 ，据此可得 .
试题解析：
解：（1）由题意得 解得 ， .
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知， ， ，由题意可得
因为 ， , ， .
所以直线 的方程为
令 ，得 .从而 .
直线 的方程为 .
令 ，得 .从而 .
所以
.
8．（1）函数 有极大值 ，无极小值.（2）
8．已知函数
（1）求函数 的极值；
（2）当 时，过原点分别做曲线 与 的切线 ， ，若两切线的斜率互为倒数，求证： .
参考答案
1．B
【解析】
【详解】
由题意可得6−2m>0，即有m<3，
由c2=m2+8+6−2m=(m−1)2+13，
可得当m=1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程【点睛】
双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝± x，而双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝± x，应注意其区别与联系.
2．C
【解析】由题中的定义有：
据此可知说法①错误，说法②正确；
设③中点的轨迹为 ，则： ，
说法③正确；
设直线 上点的坐标为 ，则：
，
说法④正确，综上可得：
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．
用事件 表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，
则 ．
因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是
（２）依题意， 的取值为 ， ， ， ．
， ,
， ，
因此， 的分布列如下：
0
1
2
3
6．（1）见解析（2）
【分析】
(1)取 边的中点 ， 的中点为 ，连接 ， ， ，可证四边形 为平行四边形，从而可证 平面 ，由面面垂直的判定定理，可证平面 平面 ；
真命题的个数为3.
本题选择C选项.
点睛：新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点.
①若 点在线段 上，则有 .
②若点 ， ， 是三角形的三个顶点，则有 .
③到 ， 两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 .
④若 为坐标原点, 在直线 上，则 的最小值为 .
真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
3．若直线 与 平行，则 的展开式中 的系数为__________．
4．已知定义在 上的函数 的导函数 是连续不断的，若方程 无解，且 ， ，设 ， ， ，则 的大小关系是__________．
3．210
【解析】
由直线平行的充要条件可得： ，则 ，
展开式的通项公式为： ，
当 时，展开式中 的系数为 .
点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
∴f(x)是增函数，
又0<log43<logπ3<1<20.5
∴ .
5．（1） （2）见解析
【解析】
试题分析：
(1)利用题意和对立事件公式可求得至少有1人是“优秀警员”的概率是 ；
(2)题中的分布列属于超几何分布，据此求得分布列和数学期望 即可.
试题解析：
解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人
三、解答题
5．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）.若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号.
（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？
河北省保定市2021年高三二模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．当双曲线 的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 之间的“折线距离”.则下列命题中：
（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用 表示所选女“优秀警员”的人数，试求 的分布列和数学期望.
6．如图， 为边长为2的正三角形， ，且 平面 ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
7．已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， ， ， 的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，设 是椭圆 在第二象限的部分上的一点，且直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求四边形 的面积.
4．
【解析】∵方程f′(x)=0无解，
∴f′(x)>0或f′(x)<0恒成立，
∴f(x)是单调函数，
由题意得∀x∈(0,+∞),f[f(x)−log2015x]=2017，
又f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数，
则f(x)−log2015x是定值，
设t=f(x)−log2015x，
则f(x)=t+log2015x，
【详解】
(1)如下图所示：取 边的中点 ， 的中点为 ，连接 ， ， ，由题意可知， 是 的中位线
所以 且 ，即四边形 为平行四边形，
所以
由 平面 可知， 平面 ，又 面 ，
故平面 平面
(2)由 ， 可知， ，同理
又 ， 为 ， 的公共边，
知 过点在 内做 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
所以 为所求二面角的平面角
在等腰三角形 中 ， .
由面积相等可知： ， ；
根据余弦定理
所以二面角 正弦值为
【点睛】
设 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与 互补或相等，故有 .求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
7．（1） （2）
【解析】试题分析：
(1)由题意列出关于 的方程组，求解方程组可得椭圆方程为 .
(2)结合(1)的结论结合题意可知 ，据此可得 .
试题解析：
解：（1）由题意得 解得 ， .
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知， ， ，由题意可得
因为 ， , ， .
所以直线 的方程为
令 ，得 .从而 .
直线 的方程为 .
令 ，得 .从而 .
所以
.
8．（1）函数 有极大值 ，无极小值.（2）
8．已知函数
（1）求函数 的极值；
（2）当 时，过原点分别做曲线 与 的切线 ， ，若两切线的斜率互为倒数，求证： .
参考答案
1．B
【解析】
【详解】
由题意可得6−2m>0，即有m<3，
由c2=m2+8+6−2m=(m−1)2+13，
可得当m=1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程【点睛】
双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝± x，而双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝± x，应注意其区别与联系.
2．C
【解析】由题中的定义有：
据此可知说法①错误，说法②正确；
设③中点的轨迹为 ，则： ，
说法③正确；
设直线 上点的坐标为 ，则：
，
说法④正确，综上可得：
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．
用事件 表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，
则 ．
因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是
（２）依题意， 的取值为 ， ， ， ．
， ,
， ，
因此， 的分布列如下：
0
1
2
3
6．（1）见解析（2）
【分析】
(1)取 边的中点 ， 的中点为 ，连接 ， ， ，可证四边形 为平行四边形，从而可证 平面 ，由面面垂直的判定定理，可证平面 平面 ；
真命题的个数为3.
本题选择C选项.
点睛：新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点.
①若 点在线段 上，则有 .
②若点 ， ， 是三角形的三个顶点，则有 .
③到 ， 两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 .
④若 为坐标原点, 在直线 上，则 的最小值为 .
真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
3．若直线 与 平行，则 的展开式中 的系数为__________．
4．已知定义在 上的函数 的导函数 是连续不断的，若方程 无解，且 ， ，设 ， ， ，则 的大小关系是__________．
3．210
【解析】
由直线平行的充要条件可得： ，则 ，
展开式的通项公式为： ，
当 时，展开式中 的系数为 .
点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
∴f(x)是增函数，
又0<log43<logπ3<1<20.5
∴ .
5．（1） （2）见解析
【解析】
试题分析：
(1)利用题意和对立事件公式可求得至少有1人是“优秀警员”的概率是 ；
(2)题中的分布列属于超几何分布，据此求得分布列和数学期望 即可.
试题解析：
解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人
三、解答题
5．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）.若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号.
（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？
河北省保定市2021年高三二模理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．当双曲线 的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 之间的“折线距离”.则下列命题中：
（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用 表示所选女“优秀警员”的人数，试求 的分布列和数学期望.
6．如图， 为边长为2的正三角形， ，且 平面 ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
7．已知椭圆 ： 的离心率为 ， ， ， ， 的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，设 是椭圆 在第二象限的部分上的一点，且直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求四边形 的面积.
4．
【解析】∵方程f′(x)=0无解，
∴f′(x)>0或f′(x)<0恒成立，
∴f(x)是单调函数，
由题意得∀x∈(0,+∞),f[f(x)−log2015x]=2017，
又f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数，
则f(x)−log2015x是定值，
设t=f(x)−log2015x，
则f(x)=t+log2015x，