Urysohn引理的简单形式与应用

Urysohn引理的简单形式与应用
文永明;陈金喜
【摘要】建立在一般拓扑空间中存在连续函数使得它的支撑在某个开集内、在开集的某个闭子集上恒为常数的充要条件。

同时，在一般拓扑空间中的完美覆盖上建立Urysohn引理，将该定理推广到更加一般的形式，建立子集函数分离的充要条件。

文章利用保序定理证明更一般的Urysohn引理，得到集族是完美覆盖的充要条件。

同时阐述各种形式的Urysohn引理的联系，得到完美覆盖的重要性质。

最后给出 Urysohn 引理的应用，证明推广的Tietze扩张定理。

%We present the sufficient and necessary conditions that there is continuous functions which supports is contained in cer-tain open set and the value is constant in some closed subset of the open set. At the same time, we establish Urysohn lemma in the per-fect Cover of general topological space and obtain a more general form of this theorem and construct the sufficient and necessary condi-tions which the sets are function separared. order preserving theory is utilized to prove a more general Uryshon Lemma and we obtain the sufficient and necessary conditions which a set family is a perfect cover. Then we survey the connection between the various Ury-sohn’s lemmas and obtain an important property of perfect cover. Finally, we give the application of Urysohn lemma and prove the gen-eralized Tietze expansion theorem.
【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【总页数】7页(P52-58)
【关键词】拓扑空间;完美覆盖;Urysohn引理;函数分离;Tietze扩张定理
【作者】文永明;陈金喜
【作者单位】西南交通大学数学学院，四川成都611756;西南交通大学数学学院，四川成都611756
【正文语种】中文
【中图分类】O189.1
给定拓扑空间X和开集V的闭子集K，在空间X上存在连续函数使得它的支撑包
含在V内，在K上恒为常数的充要条件是什么呢？
在拓扑学中，紧集是用覆盖来进行定义的。

本文阐述覆盖和连续函数的关系，阐述两个闭集分离的本质。

正规空间中的Urysohn引理用连续函数成功刻画了2个不相交闭集的分离属性，这个引理是非常深刻的,并且有着广泛的应用。

它常表述为如下形式。

引理1[1]：若A、B是正规拓扑空间X中任意两个不交的非空闭集，则存在连续
函数f:X→[0,1]，使⊂；⊂。

在实分析中,为了在局部紧致的Hausdorff空间中给出Riesz表示定理，需要如下
形式的Urysohn引理。

引理2[2]：设X是局部紧致的Hausdorff空间，V是X中的开集，K是X中的紧集且K⊂V；则存在连续函数f:X→[0,1]，使⊂p.f⊂V。

这里supp.f表示集合在X
中的闭包，称为函数的支集。

在文献[3]中作者给出了一个推广的Urysohn引理，即下面引理3，它蕴含了引理
1和2。

引理3 [3]：设X为拓扑空间，记V 为X中的开集构成的集族，F为闭集族，集族K⊂F。

设对于∀K∈K，∀V∈V使K⊂V者，存在V′，使K⊂V′⊂V′⊂V，且。

则对于∀K∈K,∀V∈V使K⊂V者，存在连续函数f:X→[0,1]，及K′∈k,使f(K)⊂{1}且supp.f⊂K′⊂V。

在文献[4]中，作者将Urysohn引理中的函数推广到了函数值是向量的情况。

本文将Urysohn引理和Tietze扩张定理进一步推广到一般拓扑空间，得到了更一般的定理2.1及定理3.2。

定理2.1蕴含了上述3个引理(Urysohn引理)。

本文同时建立了子集函数分离的充要条件(系2)，给出了Urysohn引理的应用。

本文记V为拓扑空间X中的开集族，F为闭集族，设K⊂V⊂X我们记
定义1.1 若存在，使得
我们称是K上的一个完美覆盖，以下简称完美覆盖。

定义1.2 对L⊂W⊂X，记完美覆盖
并记
我们称V(K)*W(L)是完美覆盖V(K)与W(L)的乘积。

容易知道完美覆盖有如下性质：
1)若V(K)是完美覆盖，则Kc(Vc)也是完美覆盖；
2)若V(K)，W(L)都是完美覆盖，则V(K)*W(L)也是完美覆盖。

定义1.3[5] 设X为拓扑空间，A,B⊂X。

集合A,B称为是函数分离的，如果存在连续函数，使得⊂；⊂。

定义1.4[6] 集合X中的关系“”称为偏序，如果满足下述条件：
1)对任意x∈X，有xx;
2)若xy且yz，则xz;
3)若xy且yx，则x=y。

定义1.5[7] 设集合M，称“”是M上的一个线性序，如果对∀x,y∈M 有
1)xy，或yx；
2)若xy且yx，则x=y。

定义1.6[7] 若“”是M上的一个线性序，称M是一个链。

定义1.7[7] 设(X,)，是两个偏序集合，映射f:X→Y称为保序映射，如果u,v∈X，
且u≤v，则有或。

定义1.8[7] 设A⊂X，称A是序有界的，如果A关于序既有上界也有下界。

集合X 是序完备的，如果每一个有上界的非空子集有上确界。

引理1.1[7] 设链X，Y，Y是序完备的，f是X的子集X0到Y的保序映射，则f能扩张成X到Y的保序映射的充要条件是f把X中的序有界集映成Y中的序有界集。

该引理的证明见文献[7]。

在本文中若没有特殊说明，N表示除0外的自然数，表示有理数,‖·‖表示范数，表示Lebesgue测度。

Kf表示f(K)⊂；fV表示supp.f⊂V。

定理2.1 设X为拓扑空间，则V(K)是一个完美覆盖的充要条件是：存在连续函数f:X→[0,1]，使
1)KfV；
，当x∈K；，当x∈Vc(当K≠∅，V≠X)。

证明若K=V=∅，取f=0即可。

以下假设K≠∅。

充分性
设是连续函数，⊂；令U={x:f(x)≠0}，易知U是开集，且supp.f⊂⊂V。

对∀n∈N，记，则Vn是开集，且Vn⊂V。

当m,n∈N*且mn时，≻，由定理2.4.10[8],有
因此V(K)是一个完美覆盖。

必要性
因为V(K)是一个完美覆盖，故存在Vi，U∈V(K)，i∈N使得
记，“≻”为A上的通常意义的大小序，在B上定义序“≻”：Vi≻Vj当Vi⊂Vj。

定义映射
显然，A，B都是链，下面证明B是序完备的。

设B⊂B，假设Vk，k∈N，是B的上界，则V1,V2,…,Vk都是B的上界。

若k是无界的，设Vm∈B，m∈N，则存在k使k≻m，因此Vm⊃Vk，即
Vm≻Vk.又Vk≻Vm，故Vk=Vm，易知Vm就是B的上确界。

若k有界，记t是k的最大数，易知，Vt是B的上确界。

由引理1.1，α可扩张成A到B的保序映射，即下式成立：
当ri≻rj时，
定义
并定义
显然，每个fi都是下半连续的，每个gj都是上半连续的。

令，则f为下半连续函数族的上确界函数，仍为下半连续的；g为上半连续函数族的下确界函数，仍为上半连续。

显然，0≤f≤1。

当x∈K时，必x∈V1，由式(2)知，故⊂。

当x∉时，由(1)知：对∀，x∉Vi，U，故,如此，；由此知supp.f⊂，且supp.f⊂⊂V。

剩下的只需证明f为连续函数，这只要证明f=g即可。

1)若存在x∈X，使≻，即≻；由此知，存在i,j，使
由式(4)知≻0。

由式(2)知且。

又由式(4)知1，由式(3)知x∉且，因而，ri≻rj；故由式(1)有α(ri)⊂。

这和且x∉矛盾。

2)若存在x∈X，使，则存在有理数ri，rj使
由ri知ri。

由式(2)知x∉，由≻rj知≻rj，由式(3)知；另一方面，由式(1)知⊂α(ri)，这和x∉且矛盾。

综合1)、2)知f=g，这就完成了定理的证明。

注：定理2.1说明，能在拓扑空间X中建立连续函数使得它的支撑包含在开集V
内，在V的闭子集K上恒为常数的充要条件是存在K上的完美覆盖。

系1 完全可根据文献[4]中的方法，将定理2.1中的闭区间换成方体n，函数换成
向量值函数。

系2 定理2.1说明，拓扑空间中的子集A、B是函数分离的，当且仅当是一个完美覆盖或是完美覆盖)。

系3 若X是正规空间。

对于X中任意两个不交的闭集A、B，A⊂Bc，而X是正规空间的充要条件是对任意的闭集F⊂X，和F的任意开领域U，存在F的开领域V，使得⊂U。

由此易知Bc(A)是一个完美覆盖，由定理2.1，存在连续函数
使得⊂p.f⊂Bc，从而⊂。

这样就得到了引理1。

系4 设X为局部紧的Hausdorff空间，则由文献[2]定理2.7知，对于任意紧集K，开集V，且使K⊂V，存在开集V′使K⊂V′⊂⊂V且为紧集[2]，这蕴含V(K)是一个
完美覆盖，现在定理2.1的条件已满足，知存在连续函数f:x→[0,1]，使f(K)⊂{1}
且supp.f⊂V。

这样就得到了引理2。

系5 定理2.1蕴含引理3是显然的。

系6 若X为紧致Hausdorff空间，则引理1和2是等价的。

为证明系6，我们还需要如下引理。

引理2.1[8]：在紧致Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是
紧致子集。

证明首先证明引理1蕴含引理2。

假设A、B为X中互不相交的两个闭集，则由引理2.1，A为紧集。

由X是正规空间的充要条件知，存在开集U使得A⊂U⊂⊂Bc，由Urysohn引理的形式一，存在连续函数f:X→[0,1]，使⊂；⊂.
令A=K，Bc=V，则⊂p.f⊂Bc=V。

再证明引理2蕴含1。

设A、B为X中互不相交的2个闭集，由引理2,A为紧集，且A⊂Bc，则由文献[2]定理2.7知存在开集V使A⊂V⊂⊂Bc。

由引理2，存在连续函数f:X→[0,1]，使
⊂p.f⊂V，因此⊂f(Vc)⊂。

3.1 Tietze扩张定理的推广
引理3.1 设X是拓扑空间，K∈F，V∈V且K⊂V，V(K)是一个完美覆盖,λ是一个正实数，则对于任何一个连续映射
存在着一个连续映射
使得对∀a∈K有
证明设是一个连续映射。

令
以及
则是K中的闭集，从而也是X中的两个无交的闭集。

由定理2.1，存在一个连续映射
使得
下面验证g*是符合要求的函数。

1)当时，，因此
2)当时，，故
3)当时，，故
综上，g*符合要求。

这是完美覆盖的重要性质，是文献[8]中引理6.3.3的推广。

类似文献[8]的方法可将Tietze扩张定理推广如下。

定理3.2 (推广的Tietze扩张定理)设X是拓扑空间，[-1,1]是一个闭区间，K∈F，V∈V且K⊂V，则V(K)是完美覆盖的充要条件是：对任何一个连续映射
有一个连续映射是f的扩张。

这个定理的必要性的证明，和文献[8]中Tietze扩张定理的必要性的证明是类似的。

证明仅就K,Vc≠∅的情况加以证明。

充分性：定义映射
易见f是一个连续映射。

因此存在一个连续映射g：X→[-1,1]是f的扩张。

显然当x∈K时g(x)=-1；当x∈Vc时,g(x)=1。

由定理2.1，V(K)是完美覆盖。

必要性：设V(K)是X中的一个完美覆盖，令A=K。

f:A→[-1,1]是一个连续映射。

我们用归纳的方式对于每一个n≥0，定义一个连续映射
对于每个n≥1定义一个连续映射
令f0=f，对于n≻0，假设fn-1已经定义，由引理3.1，存在连续映射
使得对∀。

定义映射fn使得对于每一个a∈A有
显然映射是连续的。

根据归纳原则，映射序列n≥1均已定义。

定义映射g:X→[-1,1]使得对于每一个。

由于对每一个n≥1，有
故级数收敛，并且收敛于中的点，因此g的定义是确切的。

下面验证g满足定理的要求。

首先验证g是f的扩张。

设a∈A，对于每一个n≥1，由于
故，于是
令n→，得。

下面验证g的连续性。

设x∈X，对∀ε≻0，选取整数N≻0使得
对于每一个n=1,2,…N，由于gn是连续的，故存在x的一个领域；设为Un，使
得当y∈Un时有
于是当y∈U1∩U2∩…∩UN时，有
这就证明了映射g在点x处连续。

由于x是X中的任意一点，所以映射g是X上的连续映射。

3.2 在泛函中的应用
假设K是n中的紧集，C(K)是K上的连续函数空间，设g∈C(K)，Λf=∫Kfgdμ。

1)Λ是连续线性泛函且‖Λ‖；
2)Λ是正线性泛函的充要条件是g≥0。

证明 1)因为‖f‖，
故Λ是有界线性泛函，因而是连续的。

下面证‖Λ‖，我们假设g≠0,U,V不是空集。

首先，‖Λ‖。

另一方面，记。

显然U，V是开集。

对∀ε>0，存在紧集F,G使得F⊂U，G⊂V且。

由引理2，存在连续函数u,v∈C(K)使得，FuU，GvV。

取ρ=u-v，则有：
2)充分性显然。

下面证必要性。

证明 V=∅或U(V)=0即可。

若V≠∅，且μ(V)>0，
矛盾。

陈金喜副教授悉心指导本文的写作并多次审阅全文，对证明中的个别错误给与了指正，对证明的简化和符号的使用提出了有益的建议，谨致谢意。

【相关文献】
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