江苏省高中数学竞赛 第48讲 截面、面积与体积题目教案

第8讲 截面、面积与体积
本节内容主要有截面，会作截面及侧面展开图，欧拉公式，正多面体、柱、锥、台的面
积与体积的求法以及用体积法求长度．
A 类例题
求证：平面截正方体所得的截面三角形不可能为直角三角形． 解：△PQR 中PQ 2
＋PR 2
＝2PB 2
＋BR 2
＋BQ 2
＝2PB 2
＋QR 2
＞QR 2，
故∠QPR 为锐角，同理∠PQR ，∠QRP 也是锐角， 故△PQR 不可能是直角三角形．
一间平房的屋顶有如图的三种盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法的屋顶面积分别为P 1 、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则（ ）
A ．P 1＜P 2＜P 3
B ．P 1＝P 2＜P 3
C ．P 1＜P 2＝P 3
D ．P 1＝P 2＝P 3
（2001年高考）
解：由于侧面投影的面积是侧面积的1cos ，而三个图中的底面积相同，故侧面积相同．
答案：D
情景再现
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A ．
1＋2π
2π
B ．
1＋4π
4π
C ．
1＋2π
π
D ．
1＋4π
2π
（2000年高考·天津卷）
已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A ．120°
B ．150°
C ．180°
D ．240°
正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A ．πa 2
3
B ．πa 2
2
C ．2πa 2
D ．3πa 2
（1995年高考·全国）
1
1
1
B 类例题
有三个12㎝⨯12㎝的正方形，连接相邻两边的中点把正方形分割成A 、B 两块，再把它们粘在一个正六边形上，叠成一个多面体．这个多面体的体积是多少？ 解一：所得多面体可提成是由一个正三棱锥再截去三个角得出．
据已知得，正六边形底面的边长AB=62，
大正三棱锥的底面边长XY=182．边心距OS=36．
斜高=ST=3
4⨯122=92．
高PH=(92)2
－(36)2
=63． 体积=13⨯ 3 4
(182)2
⨯63=972．
截去的三个小三棱锥的底面是正三角形，边长XA=XF=AF=62． 侧棱KF=KA=6，
PX=PH 2+HX 2=(63)2+(66)2=18，KX=18－12=6．于是小三棱锥也是正
三棱锥．其体积=972⨯(13
)3
．
3个小正三棱锥体积和=972⨯(13
)3
⨯3=108．
∴ 所求体积=972－108=864㎝3
．
解二：反过来看，PX 、PY 、PZ 两两垂直，知∆PXY 为等腰直角三角形．于是由AB=62，得XY=182．从而PX=18．其体积V PXYZ =16
⨯183
=972．
又KA 、KF 、KX 也两两垂直．从而V KAFX =(13)3
⨯V PXYZ =36．于是可得所求体积=972－36⨯3=864．
如图所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB ＝BC ＝2，E 是AC 中点，异面直线
AD 与BE 所成的角的大小为
arccos
10
10
，求四面体ABCD 的体积．
（2000年上海高考）
H
K M N X
Z
Y
A
B
C
D
E F
P
O
S
T
A
B
A
B
A
B
A
B
解：建立空间直角坐标系，令A （0，2，0）、C （2，0，0）、E （1，1，0）．设D 点的坐标为（0，0，z ）（z ＞0）
则BE →＝｛1，1，0｝，AD →＝｛0，－2，z ｝， 设BE →与AD →
所成角为θ．
则AD →·BE →＝2·4＋22
cos θ＝－2，且AD 与BE 所成的角的大小为arccos
1010
． ∴cos 2
θ＝
24＋z 2
＝110
，∴z ＝4，故|BD |的长度为4． 又V A —BCD ＝16|AB |×|BC |×|BD |＝83，因此四面体ABCD 的体积为8
3
．
说明：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算．以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便．
如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）
A ．S 为定值，l 不为定值
B ．S 不为定值，l 为定值
C ．S 与l 均为定值
D ．S 与l 均不为定值
（2005全国高中数学联赛）
解：设截面在底面内的射影为EFBGHD ，设AB ＝1，AE ＝x （0≤x ≤1
2），则l ＝3［2x ＋2（1－x ）］＝32为定
值；
而S ＝［1－12x 2－12（1－x ）2］sec θ＝（12－x －x 2
）
sec θ（θ为平面α与底面的所成角）不为定值．
答案：B
情景再现
A'
B'
C'
D'
D
C
B
A
E F G H
A'
B'
C'
D'
D C
B A
若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器皿中，量得水面的高度为6 cm ．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
A ．63cm
B ．6cm
C ．23
18 cm
D ．33
12 cm
（1999年高考·全国）
如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF //AB ，EF ＝3
2 ，EF 与 面AC 的距离为2，则
该
多面体的体积为________．
A ．92
B ．5
C ．6
D ．152
（1999年高考·全国）
如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝______．
A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
（1999年高考·全国）
C 类例题
一个圆台的上底半径为5，下底半径为10，母线AA 1=20．一只蚂蚁从AA 1中点M 绕圆台侧面一周到达A ．
⑴ 求蚂蚁爬行的最短距离．
⑵ 求蚂蚁在沿最短线爬行的过程中，它与上底圆周上点的最短距离． 解：把圆台展开，得到一个扇环． 扇环圆心角=
r 1－r 2l ⨯2π=π
2
． 由比例计算可得PA=40．⇒PM=30，MA '=50．
由于点P 到MA '的最短距离=30⨯40
50=24．而24>40－20=20．
∴ 蚂蚁爬行的最短距离为50㎝，
在爬行过程中它与上底圆周上点的最短距离为4㎝． 已知：四面体各面都是边长为13、14、15的全等三角形． （1）求三棱锥的体积；
E
F
C B
A
D
P
A'1
A'
A 1
B 1
B
A
M O 1O
（2
解：（1⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝x 2＋z 2＝y 2＋z 2＝
∴V 长方体＝xyz ＝12655．而V C －ABE ＝2155， ∴V D －ABC ＝V 长方体－4V C －ABE ＝4255． （2）设D 到底面的距离为h ，则：
cos B ＝AB 2
＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝132＋142－1522×13×14＝513，∴sin B ＝1213．
V ＝13
·12
S △ABC h ，∴h ＝
3
2
55 在棱长为a 的正方体OABC —O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ．如图
（1）求证：A ′F ⊥C ′E ．
（2）当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小（结果用反三角函数表示）
（2001年高考上海） 解：建立坐标系，
（1）证明：设AE ＝BF ＝x ，则A ′（a ，0，a ），F （a －x ，a ，0），
C ′（0，a ，a ），E （a ，x ，0）
∴A ′F →＝｛－x ，a ，－a ｝，C ′E →
＝｛a ，x －a ，－a ｝． ∵A ′F →·C ′E →＝－xa ＋a （x －a ）＋a 2
＝0 ∴A ′F ⊥C ′E
（2）解：设BF ＝x ，则EB ＝a －x ，三棱锥B ′—BEF 的体积 V ＝16
x （a －x ）·a ≤a 6（a 2
）2＝124
a 3当且仅当x ＝a 2
时，等号成立． 因此，三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时BE ＝BF ＝a
2，
过B 作BD ⊥EF 于D ，连B ′D ，可知B ′D ⊥EF ．
∴∠B ′DB 是二面角B ′—EF —B 的平面角在直角三角形BEF 中，直角边BE ＝BF ＝a
2，BD
是斜边上的高．∴BD ＝
24a ．∴tan B ′DB ＝B ′B BD
＝22． 故二面角B ′—EF —B 的大小为arctan22．
说明：本题用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度．
设ABC －A 1B 1C 1为底面边长为a 的正三棱柱，P 、Q 在A 1C 上，R 、S 在BC 1上，且四面体P －QRS 是正四面体．求P －QRS 的棱长．
解：设AA 1=h ．正四面体相对棱互相垂直，故PQ ⊥RS ，即A 1C ⊥BC 1． 取AC 中点D ，则BD ⊥面AA 1C 1C ，于是C 1D 为BC 1在面AA 1C 1C 上的射影． 若A 1C ⊥BC 1，则A 1C ⊥C 1D ．
在面AA 1C 1C 中，a ∶h=h ∶1
2a ， h=a ．设C 1D 与A 1C 交于点M ．
则CM=66a ，C 1M=33a ，BD=C 1D=3
2
a ．
过M 作MN ⊥BC 1，交BC 1于N ．则MN ⊥A 1C(A 1C ⊥面BC 1D)及MN ⊥BC 1，知MN 为A 1C 及BC 1的公垂线．
MN=C 1M ·
22=6
6
a ． 由于正四面体对棱中点连线为对棱的公垂线．故MN 即PQ 与RS 中点的连线． 在正四面体中对棱的公垂线(对棱中点连线)等于边长的22倍，即PQ=RS=33
a ． 于是PM=MQ=RN=NS=
3
6
a ． M
N P
Q
R S B 1
C 1A 1
A
D C
B
h a
又可由异面直线上两点距离公式求得P－QRS各棱长均为
3
3
a．
情景再现
是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明：面AED⊥面A1FD1；
（4）设AA1=2，求三棱锥E—AA1F的体积V E－AA1F
（97年全国高考）
在边长为
切，切点为M
是（）
A. 30°
正方体ABCD—A1 B1 C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是（）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形（2005年高考·吉林、黑龙江、广西）
已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为60°，则圆台的体积与球体积之比_______
（1995年高考·全国·文）
将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为（ ）
A ．a 3
6
B ．a 3
12
C ．
312
a 3
D ．
212
a 3 （1996年高考·全国·理）
母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角 等于（ ）
A ．
22
3
π B ．
23
3
π C ．2π D ．
26
3
π （1996全国·理）
如果棱台的两底面积分别是S ，S ＇，中截面的面积是S 0，那么（ ）
A ．2S 0＝S ＋S ′
B ．S 0＝SS ′
C ．2S 0＝S ＋S ′
D ．S 02＝2SS ′
（1998年高考）
四棱锥P —ABCD 0｝，AP →＝｛－1，2，－1｝．（1）求证：PA ⊥底面（2）求四棱锥P —ABCD （3）对于向量a ＝{x 1，y 1，z 1}，b ＝{x 2，y 2，z 2}，c ＝{x 3，y 3，z 3}，定义一种运算： （a ×b ）·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，
试计算（AB →×AD →）·AP →
的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB →×AD →）·AP →的绝对值的几何意义．
（2000年上海春季高考）
在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．(1983年全国高中数学联赛)
第8讲 截面、面积与体积答案
1. 答案：A
2. 答案：C
3. 答案：B
4. 答案：B
5. 答案：D
6. 分析：根据轴截面求出各线段的关系． 解：5R ＝r x ，∴x ＝R 5r ，Rr
5－r
2＋r ＝R ＋5
10r ．
∴
12·2πR ·Rr 5－12·2πR ＋52·R ＋510
r ＝2r
（12·2πR ＋52·R ＋510r －12·2π×5·r ） 解得R 2
－30R ＋125＝0，R ＝5（舍）或R ＝25． 答案：D
7. 解：如左图，4个面两两相交，可以得到一个四面体ABCD ，此时已经用去4个顶点、
4个面、6条棱；
作截面EFG 分别与BA 、BC 、BD 相交
于点E 、F 、G ，作截面HMN 分别与DA 、DC 、
DB 相交于H 、M 、N ．增加了2个面、6条
棱、6个顶点但去掉了2个顶点．此凸多
面体共有8个顶点、12条棱及6个面．
如右图，取二面角，在其一个面上画五边形ABCDE ，其中AB 在二面角的棱上，
再作CF ∥DG ∥EH ，过AB 作平面与此三条平行线相交于F 、G 、H ．则此图形围出的多面体满足要求．两法结果基本相同．
8. 解：（1）（2）（3）略． （4）取AB 的中点G ，
则FG ⊥面ABB 1A 1且FG 平行且等于AD ，
∵V E －AA 1F ＝V F －AA 1E ，又FG ⊥面ABB 1A 1，三棱锥F —AA 1E 的高FG =AA 1=2， 面积S △AA 1E ＝12S ABB 1A 1＝2，∴V E ＝AA 1F ＝13×S △AA 1E ×FG ＝43
．
9. 解：设扇形半径为l ，即AE ＝AF ＝AK ＝l ，圆O 的半径为R ，即OM ＝ON ＝OK ＝R ，则
OC ＝2R ，由题知A ，K ，O ，C 共线，于是AK ＋KO ＋OC ＝2（5＋2）＝52＋2．即l ＋（2＋1）R ＝52＋2．为使扇形和⊙O 能围成一个圆锥，则圆周长等于扇形弧长，
即2πR ＝π2l ，即l ＝4R ．故R ＝2．圆锥的高h ＝l 2－R 2
＝30，∴圆锥体积V ＝
13πR 2
h ＝2303
π．
习题八
10. 答案：C 11. 答案：D
D
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 12. 答案：73
32
13. 答案：D 14. 答案：D
15.
答案：A
16. 解：设BC ＝a ，则AF ＝13AB ＝233a ．在展开图中可求出AM ＝MN ＝13AC ＝13
3a ，
BN ＝43a ．在三棱柱中，截面三角形AMN 为等腰三角形，∴S △AMN ＝2a 2
3，S △AFH ＝3
3
a 2．设平面
AMN 与棱柱底面所成角为α，则cos α＝S △AFH S △AMN ＝3
2
，∴α＝30°．
17. 解：作出该圆锥的轴截面，如图所示，设球C 2的半径为r ，∵圆锥的高为h ，
∴r R ＝h －2R －r h －R ，∴r ＝Rh －2R 2h ＝－2h ⎝ ⎛⎭⎪⎫R －h 42
＋h 8
故当R ＝h 4时，r 取最大值h
8，此时球C 2取最大表面积πh 2
16
．
18. 解：如图，这是圆锥及内接圆柱的轴截面，设圆柱的底面半径为r ，则
R －r R ＝x
h
． ∴r ＝Rh －Rx h ，∴V 圆柱＝πxR 2（h －x ）2·1h 2≤12h 2πR 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋h －x ＋h －x 33
＝427
πR 2
h ． 当且仅当h －x ＝2x ，即x ＝h
3
时取等号．
∴当x ＝h 3时，圆柱的体积最大，为427
πR 2
h ．
19. 解：（1）证明：∵AP →·AB →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ．又∵AP →·AD →＝－4＋4＋0
＝0，∴AP ⊥AD ．∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD ． （2）解：设AB →与AD →
的夹角为θ，则 cos θ＝8－2
4＋1＋1616＋4＝3105
．
V ＝13
|AB →|·|AD →
|·sin θ·|AP →
|＝
2
3
105·1－9
105
·1＋4＋1＝16． （3）解：|（AB →×AD →）·AP →
|＝|－4－32－4－8|＝48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍．猜测：|（AB →×AD →）·AP →|在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、
AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）．
20. 解：边长为2的三角形，其余两边可能是： ⑴ 3，3；⑵ 3，4；⑶ 4，5；⑷ 5，5．
情况2
情况3
情况1
A
B
5
3
5
43
2A
B
D 5
3
5
43
22
3
4
5
35
D
B A
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
按这几条棱的组合情况，以2为公共棱的两个侧面可能是： ① ⑴，⑷；② ⑴，⑶；③ ⑵，⑷．
先考虑较特殊的情况①：由于32
+42
=52
，即图中AD ⊥平面BCD ， ∴ V 1=13·12·232－12
·4=83
2；
情况②：由于此情况的底面与情况②相同，但AC 不与底垂直，故高<4，于是得 V 2<V 1． 情况③：高<2，底面积=12
·5
32
－(52)2=54
11．
∴ V 3<13·5411·2=5611<8
32．
∴ 最大体积为8
32．。