通过变式探究打造高效课堂——“抛物线中一类定点问题”的教学设计

通过变式探究㊀打造高效课堂
∗
抛物线中一类定点问题 的教学设计
Ә刘玉青㊀杨樟松㊀㊀(衢州第二中学ꎬ浙江衢州㊀３２４０００)
㊀㊀摘㊀要: 变式探究 是学生思维能力㊁学科素养增长的一种重要教学形式ꎬ切实有效的 变式探究 可以启迪学生的
思维㊁发现问题的一般规律.
关键词:变式探究ꎻ高效课堂ꎻ有效教学
中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１９)０５￣００２１￣０４
１㊀设计背景
解析几何是在坐标系的基础上㊁用代数的方法研究几何问题的一门学科.抛物线作为一类重要的圆锥曲线ꎬ在新课程标准中摆在重要的位置.在近些年的高考中ꎬ有关抛物线的定点问题频频出现ꎬ该类问题知识综合性强ꎬ方法灵活ꎬ对运算能力和推理能力要求较高.大部分学生往往在具体问题的求解过程中因为条件多㊁变化活㊁运算繁而不知从何下手ꎬ或虽有思路却因运算不过关而 全盘皆输 .因此在复习解析几何时ꎬ要注重培养学生的数学思维能力和计算能力.２㊀教学流程
本节课对课本中的一道习题(人教版«数学(选修２￣１)»第７３页习题２.４第６题)进行改编ꎬ然后进行一系列的变式教学ꎬ对抛物线中一类定点问题进行了一系列的深入研究.此类问题都是在围绕探求 变中的不变量 进行的.３㊀课堂实录
例１㊀已知点ＡꎬＢ在抛物线ｙ２＝４ｘ上运动ꎬＯ为坐标原点ꎬ且ｋＯＡｋＯＢ＝－１ꎬ求证:直线ＡＢ恒过一定点(４ꎬ０)
.
图１师(ＰＰＴ展示):同学们ꎬ例１是我们昨天的作业ꎬ想必大家都已经认真研究过了ꎬ现在老师先展示大家作业中的３种主要解法(略).
变式１㊀如果将条件ｋＯＡｋＯＢ＝－１改为ｋＯＡｋＯＢ＝ｍ(其中ｍ为常数ꎬ且ｍʂ０)ꎬ直线ＡＢ
是否仍然恒过一定点?
设计意图㊀让学生在直观感受的基础上ꎬ由特殊到一般ꎬ将条件ｋＯＡｋＯＢ＝－１弱化成ｋＯＡｋＯＢ＝ｍ(其中ｍ为常数ꎬ且ｍʂ０)ꎬ产生猜想ꎬ进而在教师的引导下学生小组合作验证猜想㊁论证结论ꎬ最后探究得出一般规律.
师:下面我们一起来思考变式１ꎬ如果我们将条件ｋＯＡｋＯＢ＝－１弱化成ｋＯＡｋＯＢ＝ｍ(其中ｍ为常数ꎬ且ｍʂ０)ꎬ直线ＡＢ是否仍然恒过一定点呢?大家分组讨论ꎬ看看哪个小组的方法多?哪个小组的方法好?
(学生分组合作㊁交流探究ꎬ教师巡视ꎬ并根据各小组探究产生的困难和疑问进行适当的引导.选３名学生上台ꎬ对具有代表性的解法进行板演.)
解法１㊀设直线ＯＡ的方程为ｙ＝ｋｘꎬ则直线
ＯＢ的方程为ｙ＝ｍｋｘꎬ联立ｙ＝ｋｘꎬｙ２＝４ｘꎬ{
得Ａ４ｋ２ꎬ４ｋæèçö
ø
÷ꎬ
同理可得Ｂ４ｋ２ｍ２ꎬ４ｋｍæ
èçöø
÷ꎬ从而
ｋＡＢ＝ｋｍｍ＋ｋ２
ꎬ
于是直线ＡＢ的方程为
ｙ－
４ｋ＝ｋｍｍ＋ｋ２
ｘ－４ｋ２æèçöø
÷ꎬ即ｙ＝ｋｍｍ＋ｋ２
ｘ＋４ｍæèçöø÷ꎬ因此直线ＡＢ恒过定点－４ｍꎬ０æ
èçöø
÷.生１:老师ꎬ方法１中直线ＡＢ的方程为
∗收文日期:２０１９￣０１￣３０ꎻ修订日期:２０１９￣０２￣２８
作者简介:刘玉青(１９８２ )ꎬ男ꎬ江西宜春人ꎬ中学一级教师.研究方向:数学教育.
ｙ＝
ｋｍｍ＋ｋ２
ｘ＋４ｍæè
çöø÷ꎬ当ｍ<０时ꎬｋ＝ʃ－ｍꎬ此时分母为０ꎬ没意义.
师:是的ꎬ有道理.是不是解法１错了呢?生１:解法１没错ꎬ当ｍ<０时ꎬｋ＝ʃ－ｍꎬ此时直线ＡＢ的斜率不存在ꎬ直线ＡＢ的方程为
ｘ＝－４ｍꎬ仍然恒过定点－４ｍꎬ０æèçöø
÷.师:生１考虑问题很全面ꎬ赞一个.
解法２㊀设Ａｙ２１
４ꎬｙ１æèçöø÷ꎬＢｙ２２４ꎬｙ２æèçöø
÷ꎬ因为ｋＯＡｋＯＢ＝
ｍꎬ所以
４ｙ１ ４ｙ２＝１６ｙ１ｙ２
＝ｍꎬ从而ｙ１ｙ２＝１６
ｍ
ꎬ
于是直线ＡＢ的方程为
ｙ－ｙ２＝
４ｙ１＋ｙ２ｘ－ｙ２２４æèçöø
÷ꎬ即ｙ＝
４ｙ１＋ｙ２ｘ＋４ｍæè
çöø÷ꎬ因此直线ＡＢ恒过定点－４ｍꎬ０æèçöø
÷.解法３㊀设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ设
Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ联立ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ
ｙ２＝４ｘꎬ
{
得
ｋ２ｘ２＋(２ｋｂ－４)ｘ＋ｂ２＝０ꎬ
从而ｘ１＋ｘ２＝４－２ｋｂｋ２ꎬ㊀ｘ１ｘ２＝ｂ２
ｋ
２.
因为ｋＯＡｋＯＢ＝ｍꎬ所以
ｙ１ｘ１ ｙ２ｘ２＝ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝１６ｙ１ｙ２
＝１６ｋ２ｘ１ｘ２＋ｋｂ(ｘ１＋ｘ２)＋ｂ
２＝４ｂ
ｋ＝ｍꎬ得ｂ＝ｋｍ
４
ꎬ从而
ｙ＝ｋｘ＋４ｍæ
è
çöø÷ꎬ于是直线ＡＢ恒过定点－４ｍꎬ０æèçöø
÷.师:解法３有漏洞吗?
生２:用点斜式和斜截式设直线方程时ꎬ会漏掉斜率不存在的直线.
师:非常好!这时要单独考虑斜率不存在的直
线ꎬ此时直线ＡＢ的方程为ｘ＝－４
ｍ
ꎬ也恒过定点
－４ｍꎬ０æèçöø
÷.大家请注意:当抛物线的对称轴是ｘ轴时ꎬ可以对直线方程的设法进行改进ꎬ设直线ＡＢ的方程为ｘ＝ｔｙ＋ｂ.现在请各小组开始操作ꎬ看看哪个小组最快.
(教师巡视ꎬ并请生３在黑板上板演.)
生３:设直线ＡＢ的方程为ｘ＝ｔｙ＋ｂꎬＡ(ｘ１ꎬ
ｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ联立ｘ＝ｔｙ＋ｂꎬ
ｙ２＝４ｘꎬ{
从而
ｙ２－４ｔｙ－４ｂ＝０ꎬ
于是ｙ１＋ｙ２＝４ｔꎬ㊀ｙ１ｙ２＝－４ｂ.因为ｋＯＡｋＯＢ＝ｍꎬ所以
ｙ１ｘ１ ｙ２ｘ２＝ｙ１ｙ２ｘ１ｘ２＝１６ｙ１ｙ２＝－４ｂ
＝ｍꎬ得ｂ＝－４
ｍ
ꎬ
则直线ＡＢ的方程为
ｘ＝ｔｙ－４
ｍꎬ
因此直线ＡＢ恒过定点－４ｍꎬ０æ
èçöø
÷.师:３种解法对比起来ꎬ哪种解法运算量小一点呢?
生(异口同声):解法３呀!
变式２㊀如果将条件ｋＯＡｋＯＢ＝ｍ改为ｋＭＡｋＭＢ＝ｍ(其中ｍ为常数ꎬ且ｍʂ０)ꎬＭ(１ꎬ２)ꎬ直线ＡＢ是否仍然恒过一定点?
设计意图㊀进一步由特殊到一般ꎬ将原点拖动到抛物线上其他一点ꎬ产生猜想ꎬ让学生独立验证猜想㊁论证结论ꎬ从而探究得出更一般的规律ꎬ清楚地认识问题的本质.
师:如果将原点拖动到抛物线上其他一点ꎬ如Ｍ(１ꎬ２)ꎬ其他条件不变ꎬ直线ＡＢ是否仍然恒过一定点?
生４(板演ꎬ将生３的板书稍做修改):设直线ＡＢ的方程为ｘ＝ｔｙ＋ｂꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ联立ｘ＝ｔｙ＋ｂꎬ
ｙ２＝４ｘꎬ
{
从而
ｙ２－４ｔｙ－４ｂ＝０ꎬ
于是ｙ１＋ｙ２＝４ｔꎬ㊀ｙ１ｙ２＝－４ｂ.因为ｋＭＡｋＭＢ＝ｍꎬ所以
ｙ１－２ｘ１－１ ｙ２－２ｘ２－１＝ｙ１ｙ２－２(ｙ１＋ｙ２)＋４
ｘ１ｘ２－(ｘ１＋ｘ２)＋１
＝ｍꎬ得－４ｂ－８ｔ＋４
ｂ２
－４ｔ２－２ｂ＋１
＝ｍ.(做到这一步ꎬ生４不知如何是好ꎬ很着急的样子.)
师:生４还是不错的ꎬ能算到
－４ｂ－８ｔ＋４
ｂ２
－４ｔ２－２ｂ＋１
＝
ｍꎬ其实离成功已经很近了ꎬ大家仔细观察分子㊁分母的特点.
生５:由－４ｂ－８ｔ＋４ｂ２－４ｔ２
－２ｂ＋１＝－４(ｂ＋２ｔ－１)
(ｂ－１)２－４ｔ２
＝－４(ｂ＋２ｔ－１)(ｂ－１＋２ｔ)(ｂ－１－２ｔ)＝ｍꎬ得ｂ＝２ｔ＋１－４
ｍ或ｂ＝
－２ｔ＋１(舍去).
师:非常好!大家给生５一点掌声ꎬ其实我们
也可以从主元的思想出发ꎬ把－４ｂ－８ｔ＋４
ｂ２－４ｔ２－２ｂ＋１
＝ｍ
整理成关于ｔ或ｂ的一元二次方程ꎬ再求出ｔ或ｂ
的线性关系即可.由－４ｂ－８ｔ＋４
ｂ２－４ｔ２－２ｂ＋１＝ｍ可知
ｂ２－２－４ｍæè
çöø÷ｂ＋１－４ｔ２
＋８ｍｔ－４ｍ＝０ꎬ
得ｂ＝２ｔ＋１－４
ｍ
或ｂ＝－２ｔ＋１(舍去)ꎬ
从而直线ＡＢ的方程为
ｘ＝ｔ(ｙ＋２)＋１－４
ｍꎬ
于是直线ＡＢ恒过定点１－４ｍꎬ－２æ
èçöø
÷.(全体学生响起了热烈的掌声.)
变式３㊀如果将点Ｍ(１ꎬ２)改为Ｍ(１ꎬ０)ꎬ是否存在实数ｍꎬ当ｋＭＡｋＭＢ＝ｍ(其中ｍʂ０)时ꎬ直线ＡＢ是否仍然恒过一定点?
设计意图㊀在教师的引导下进行更大胆地猜想ꎬ将抛物线上的点改为不在抛物线上的点(避免运算量过大ꎬ我们选取ｘ轴上的点)ꎬ引发学生的思考ꎬ激发他们的广泛兴趣.
(教师用几何画板展示ꎬ引导学生课后去探究验证.)
变式４㊀如果将条件ｋＯＡｋＯＢ＝－１改为ｋＯＡ＋ｋＯＢ＝－１ꎬ直线ＡＢ是否仍然恒过一定点?
设计意图㊀促使学生在前一规律的基础上引发猜想ꎬ通过类比的思想将条件ｋＯＡｋＯＢ＝－１改为ｋＯＡ＋ｋＯＢ＝１ꎬ旨在培养学生的创新意识ꎬ提高认识问题和解决问题的能力.
师:我们前面都在研究两条直线斜率的乘积为定值的形式ꎬ大家想想还有其他的形式吗?
生６:可以考虑除㊁加以及减的形式.
师:非常好!老师已经研究过了ꎬ加的形式有同样类似的结论ꎬ除和减没有这么漂亮的结论ꎬ课后大家可以去探究.现在我们一起来试一个加的形
式ꎬ请看变式４.
生７(板演ꎬ将生４的板书稍做修改):设直线ＡＢ的方程为ｘ＝ｔｙ＋ｂꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ联立ｘ＝ｔｙ＋ｂꎬ
ｙ２＝４ｘꎬ
{
得
ｙ２－４ｔｙ－４ｂ＝０ꎬ
从而ｙ１＋ｙ２＝４ｔꎬ㊀ｙ１ｙ２＝－４ｂ.因为ｋＯＡ＋ｋＯＢ＝－１ꎬ所以
ｙ１ｘ１＋ｙ２ｘ２＝４ｙ１＋４ｙ２＝４(ｙ１＋ｙ２)ｙ１ｙ２
＝－１ꎬ得ｂ＝４ｔꎬ从而直线ＡＢ的方程为
ｘ＝ｔ(ｙ＋４)ꎬ
于是直线ＡＢ恒过定点(０ꎬ－４).
师:非常好!我们把刚刚研究的ｋＯＡｋＯＢ为定值的思路改为ｋＯＡ＋ｋＯＢ为定值的形式ꎬ请大家课后去探究上述研究成果是否仍然成立?
(教师引导学生课后去完成变式５~７.)
变式５㊀如果将条件ｋＯＡ＋ｋＯＢ＝－１改为ｋＯＡ＋ｋＯＢ＝ｍ(其中ｍʂ０)ꎬ直线ＡＢ是否仍然恒过一定点?
变式６㊀如果将条件ｋＯＡ＋ｋＯＢ＝ｍ(其中ｍʂ０)改为ｋＭＡ＋ｋＭＢ＝ｍ(其中ｍʂ０)ꎬＭ(１ꎬ２)ꎬ直线ＡＢ是否仍然恒过一定点?
变式７㊀如果将条件Ｍ(１ꎬ２)改为Ｍ(１ꎬ０)ꎬ是否存在实数ｍꎬ当ｋＭＡ＋ｋＭＢ＝ｍ时ꎬ直线ＡＢ仍然恒过一定点?
变式５~７的设计意图㊀水到渠成ꎬ猜想并论证结论ꎬ让学生进一步深刻体会特殊到一般的思想方法.
课堂小结㊀教师让学生谈谈这节课的收获ꎬ根据学生的反映从三维目标进行小结:我们主要学了哪些知识?体会到了哪些思想方法?最大的收获是什么?
拓展１㊀已知点ＡꎬＢ在抛物线ｙ２＝２ｐｘ(其中
ｐ>０)上运动ꎬ抛物线上一点Ｍａ２２ｐꎬａæèçöø
÷ꎬ若ｋＭＡｋＭＢ＝ｍ(其中ｍ为常数ꎬ且ｍʂ０)ꎬ则直线ＡＢ恒过一定
点ꎬ且这个定点为ａ２２ｐ－２ｐｍꎬ－ａæèçöø
÷.拓展２㊀已知点ＡꎬＢ在抛物线ｙ２＝２ｐｘ(其中
ｐ>０)上运动ꎬ抛物线上一点Ｍａ２２ｐꎬａæèçöø
÷ꎬ若ｋＭＡ＋ｋＭＢ＝ｍ(其中ｍ为常数ꎬ且ｍʂ０)ꎬ则直线ＡＢ恒过
一定点ꎬ且这个定点为ａ２２ｐ－２ａｍꎬ２ｐｍ－ａæèçöø
÷.布置作业
１)上交作业:完成变式５~７及拓展１~２.
２)长期作业(小组合作ꎬ形成小论文):①如果把抛物线上的点改为平面内任意一定点ꎬ探究直线ＡＢ是否仍然恒过一定点ꎻ②如果把刚刚研究的问题类比在椭圆和双曲线中ꎬ请探究是否仍然有上述类似的结论.
４　教学设计思路与教后效果分析
４.１㊀教学思路
古人云: 知之者不如好之者ꎬ好之者不如乐之者. 兴趣是最好的老师ꎬ在专题复习课上ꎬ通过变式教学ꎬ增加一些探究元素ꎬ既节约了学生审题的时间ꎬ也有利于让学生迅速产生兴趣进而积极主动地求索.变式教学活动改善了 老师讲㊁学生听 的被动局面ꎬ变教师的 独唱 为学生的 合唱 ꎬ充分吸引学生的主动参与ꎬ真正发挥学生的主体作用ꎬ一题多变ꎬ逐步探究ꎬ可以启迪学生的思维ꎬ发现问题的一般规律.本节课遵循新课改理念ꎬ即以学生为主体㊁以教师为主导ꎬ避免了就题论题ꎬ在时间有限的课堂上既突破了重点又攻克了难点ꎬ教师在变式教学过程中通过设问㊁猜想㊁加强和弱化条件等手段展开探究ꎬ充分发挥了例题的辐射作用ꎬ有效地提高了教学效率.
课堂上教师首先引导学生考虑将条件ｋＯＡｋＯＢ＝－１弱化成ｋＯＡｋＯＢ＝ｍ(其中ｍ为常数ꎬ且ｍʂ０)ꎬ让学生探究直线ＡＢ是否仍然恒过一定点.其次考虑将原点拖动到点Ｍ(１ꎬ２)ꎬ保持ｋＭＡｋＭＢ＝ｍ(其中ｍ为常数ꎬ且ｍʂ０)条件不变ꎬ教师和学生一起探究直线ＡＢ是否仍然恒过一定点.研究之后ꎬ又引导学生课后去验证对抛物线上任何一点是否同样有类似的结论?然后乘胜追击提出问题ꎬ如果将抛物线上的点改为不在抛物线上ꎬ引发学生的讨论和思考.由于考虑到运算量太大ꎬ教师先找了ｘ轴上的一点Ｍ(１ꎬ０)ꎬ提出问题:是否存在实数ｍꎬ当ｋＭＡｋＭＢ＝ｍ(其中ｍʂ０)时ꎬ直线ＡＢ仍然恒过一定点?
按照这一系列的研究思路ꎬ教师再一次提出问题 前面都是在研究两条直线的斜率乘积为定值的条件下进行的ꎬ可否将乘积形式改为其他形式呢 ꎬ再一次引发学生的思考与共鸣.有学生提出相除㊁相加等形式ꎬ教师顺势将条件ｋＯＡｋＯＢ＝－１改为ｋＯＡ＋ｋＯＢ＝－１ꎬ让学生上台进行演板展示.然后再迁移到将条件ｋＯＡ＋ｋＯＢ＝ｍ(其中ｍʂ０)ꎬ甚至将ｋＭＡｋＭＢ＝ｍ(其中ｍʂ０)改为ｋＭＡ＋ｋＭＢ＝ｍ(其中ｍʂ０)ꎬ让学生课后去探究直线ＡＢ是否仍然恒过一定点.整个教学过程设置了一系列的变式ꎬ引导学生以自主探究㊁合作交流的方式学习ꎬ一方面帮助学生学会全面的看待问题ꎬ另一方面也帮助学生培养思维的广阔性.
４.２㊀教后效果分析
孔子曰:吾日三省吾身.下面来说一下本次教学的得与失.
４.２.１㊀成功之处
１)探索 探索性自主学习的源泉.本节课设计的一大特点是学生自主探索学习ꎬ它有两个显著的特征:其一是教学内容的问题化ꎬ即以问题为中心组织教学内容ꎻ其二是教学过程的探索化ꎬ即教师创设学习环境ꎬ由学生独立地探索㊁发现知识和解决问题.教师留给学生充分的时间和空间进行质疑㊁探索㊁讨论与思考ꎬ在实践操作中感知㊁体验数学知识ꎬ经历数学知识的全过程ꎬ增加学生学习数学的自信心和成就感ꎬ努力构建有利于学生发展的有效的数学课堂.
２)变式 探索性有效教学的捷径.本节课最大的亮点是在设计过程中较好地运用了 变式训练 ꎬ提高了课堂效率.同时问题的变式难度呈阶梯化递进ꎬ使各个层次的学生都有动手的空间.这些变式本着 由简到繁㊁由静到动 的顺序ꎬ一步步加大题目的开放性ꎬ增加题目挖掘的深度和广度ꎬ实现学生认识的螺旋上升.
３)思想 探索性有效学习的灵魂.本节课的另一大特点是在教学过程中渗透数学思想和方法ꎬ抓住数学的本质ꎬ这是数学的灵魂.布鲁纳曾指出:领会基本数学思想和方法是通往迁移大道的 光明之路 .在基本数学思想和方法的指导下驾驭数学知识ꎬ就能培养学生的概括能力和思维能力ꎬ使数学学习变得容易.因此数学教学不能满足于单纯的知识灌输ꎬ而是要使学生掌握最本质的东西ꎬ用数学思想和方法统率具体知识的掌握和具体问题的解法ꎬ循此培养和发展学生的数学能力.４.２.２㊀不足之处
１)预设与生成很难一致ꎻ
２)采用变式教学对学生的思维要求较高ꎬ部分学生很难达到ꎻ
３)学生自主探究多了ꎬ时间的分配自然成了问题.
最后笔者想说:在许多人心目中ꎬ数学就是一堆数字㊁符号和图形ꎬ它很抽象㊁深奥甚至神秘.其实数学经历了几千年的文化积淀ꎬ才汇聚成今天人类知识海洋的重要组成部分.让我们为孩子提供自主探索㊁合作交流的舞台ꎬ为每一个孩子积淀爱心㊁信心ꎬ把枯燥乏味的数字㊁符号㊁图形变成跳动的音符ꎬ与孩子共同享受艺术般的快乐吧!。