2021年广西南宁三中高考数学二模试卷(文科)(附答案详解)

2021年广西南宁三中高考数学二模试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. (2021·甘肃省·模拟题)已知集合A ={x|−2<x ≤1}，B ={−2,−1,0，1}，则A ∩B =
( )
A. {−2,−1,0，1}
B. {−1,0，1}
C. {−1,0}
D. {−2,−1,0}
2. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)设复数z =i−3
1+i ，则z 的共轭复数z −
=( )
A. −1+2i
B. 1+2i
C. −1−2i
D. 1−2i
3. (2021·广东省佛山市·单元测试)设命题p ：∀x >1，x >lnx ；则¬p 为( )
A. ∃x 0>1，x 0>lnx 0
B. ∃x 0≤1，x 0≤lnx 0
C. ∃x 0>1，x 0≤lnx 0
D. ∀x >1，x ≤lnx
4. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,3)，则a
⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=( )
A. 0
B. 1
C. −1
D. 2
5. (2021·江西省·模拟题)某几何体的三视图如图所示，已知图中
圆的半径都为1，则此几何体的体积为( )
A. π
4 B. π
2 C. 3π4 D. π
6. (2021·浙江省·模拟题)设变量x 、y 满足约束条件{y ≤4
2x −3y ≤−22x +y ≥6
，则目标函数z =x +
y 的最小值是( )
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
7. (2021·陕西省西安市·模拟题)函数f(x)=
cosx−x 2
e x
的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.(2021·宁夏回族自治区银川市·模拟题)在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a5+a7=
160，则a1=()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
9.(2020·黑龙江省哈尔滨市·单元测试)已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2,1)，则过P
点最短弦所在的直线方程是()
A. x−y+1=0
B. x+y−3=0
C. x+y+3=0
D. x=2
10.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)执行如图所示的程序框
图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是()
A. n≥6
B. n≥8
C. n>10
D. n≥10
11.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率
为√3
2
，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为(1,1)，则直线l的斜率为()
A. −1
4B. −3
4
C. −1
2
D. 1
12.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知直线l是曲线f(x)=x4−2x3在点(1,f(1))处的切
线，点P(m,n)是直线l上位于第一象限的一点，则m+2n
m⋅n
的最小值为()
A. 4
B. 9
C. 25
D. 16
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.(2021·体验省·单元测试)已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的
值是．
14.(2021·福建省厦门市·模拟题)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，则
)=______ ．
f(π
6
15.(2021·甘肃省金昌市·模拟题)在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，
，则阴影区域的面从该正方形区域内任取一点，若该点落在阴影区域内的概率为4
9
积为______ ．
16.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=6，
AA1=2，M为棱BC的中点，动点P满足∠APD=∠CPM，则点P的轨迹与长方体的侧面DCC1D1的交线长等于______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.(2021·安徽省·单元测试)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(b−
a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC．
(1)求A；
(2)从下列条件中：①a=√3；②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件，求△ABC
周长的取值范围．
18.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否
与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如表．
附表及公式：其中n=a+b+c+d，K2=n(ad−bc)2
．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828
(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结
果判断数学成绩与性别是否有关；
(2)规定成绩在80分以上为优秀，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判
断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．
优秀非优秀合计男生
女生
合计
19.(2021·江西省萍乡市·模拟题)在如图所示的空间几何体
中，两等边三角形△ACD与△ABC互相垂直，AC=BE=
4，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC
上的射影落在∠ABC的平分线上．
(1)求证：DE//平面ABC；
(2)求点B到平面ADE的距离．
20.(2021·河南省平顶山市·单元测试)已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点
分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，离心率e=1
2
，短轴长为2√3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内
切圆的面积．
21.(2021·安徽省·模拟题)已知函数f(x)=kx2+2x−lnx．
(1)当k=1时，求在x=1处的切线方程；
(2)若f(x)在定义域上存在极大值，求实数k的取值范围．
22.(2014·山西省临汾市·模拟题)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是
{x=√3cosα
y=sinα
(α是参数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线C2的极坐标方程是ρsin(θ+π
4
)=4√2
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直
角坐标．
23.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．
(1)当a=2，b=1时，解不等式f(x)≥9；
(2)若f(x)的最小值为2，求1
a+1+1
2b
的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】解：∵A={x|−2<x≤1}，B={−2,−1,0，1}，∴A∩B={−1,0，1}．
故选：B．
进行交集的运算即可．
本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C
【知识点】复数的四则运算
【解析】解：∵z=(i−3)(1−i)
2=−2+4i
2
=−1+2i，
∴z−=−1−2i．
故选：C．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【知识点】全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定
【解析】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．
∴￢p：∃x0>1，x0≤lnx0
故选：C．
根据全称命题的否定是特称命题进行判断．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4.【答案】A
【知识点】向量的数量积
【解析】解：由已知条件可得a⃗2=1+1=2，a⃗⋅b⃗ =1×(−1)−1×3=−4，
因此，a⃗⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2×2−4=0．
利用向量的数量积的运算法则，求解即可． 本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
5.【答案】D
【知识点】空间几何体的三视图
【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为3
4个球体； 故V =3
4×4
3⋅π⋅13=π． 故选：D ．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6.【答案】C
【知识点】简单的线性规划
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立{2x −3y =−22x +y =6
，解得A(2,2)，
化z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2+2=4， 故选：C ．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
【知识点】函数图象的作法 【解析】解：f(−x)=
cos(−x)−(−x)2
e −x
=
cosx−x 2e −x
≠f(x)，即f(x)不为偶函数，其图象不关
于y 轴对称，故排除A ，C ；
当x =0时，f(x)=1
e >0，故排除D ， 故选项B 符合函数f(x)， 故选：B ．
先判断函数的奇偶性，再根据函数的零点和函数值的特点即可判断．
本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值的特点是解题的关键，属于基础题．
8.【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式 【解析】解：在等比数列{a n }中， ∵a 1+a 3=10，a 5+a 7=160， ∴{a 1+a 1q 2=10a 1q 4+a 1q 6=160， 解得q 2=4，a 1=2． 故选：C ．
利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项．
本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解：如图：
圆心坐标D(1,0)，
要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，
=1，
此时DP的斜率k=1−0
2−1
则弦BC的斜率k=−1，
则此时对应的方程为y−1=−1(x−2)，
即x+y−3=0，
故选B．
根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．
本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆的位置关系确定最短弦满足的条件是解决本题的关键．
10.【答案】D
【知识点】程序框图
【解析】解：由程序框图，其执行结果如下：
1、S=0，n=0：n=2，S=2，执行循环体；
2、S=2，n=2：n=4，S=6，执行循环体；
3、S=6，n=4：n=6，S=12，执行循环体；
4、S=12，n=6：n=8，S=20，执行循环体；
5、S=20，n=8：n=10，S=30，跳出循环体，输出S=30；
∴框内条件应为n≥10．
故选：D．
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，根据已知即可得解判断框内
本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．
11.【答案】A
【知识点】椭圆的性质及几何意义
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标为(x1+x2
2,y1+y2
2
)，
由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，
将A，B的坐标的代入椭圆的方程：{x12
a2+y12
b2
=1
x22 a2+y22
b2
=1
，
作差可得x12−x22
a2+y12−y22
b2
=0，
所以y1−y2
x1−x2=−b2
a2
⋅x1+x2
y1+y2
=−b2
a2
，
又因为离心率e=c
a =√3
2
，所以1−b2
a2
=3
4
，
所以−b2
a2=−1
4
，即直线AB的斜率为−1
4
，
故选：A．
设A，B的坐标，代入椭圆的方程，作差可得直线AB的斜率的表达式，再由椭圆的离心率可得a，b的关系，进而求出直线AB的斜率．
本题考查椭圆的性质及点差法求直线的斜率，属于基础题．
12.【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】解：f(x)=x4−2x3的导数为f′(x)=4x3−6x2，
可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为4−6=−2，
切点为(1,−1)，切线的方程为y+1=−2(x−1)，
即为2x+y=1，
则2m+n=1(m,n>0)，
所以m+2n
m⋅n =(2m+n)(1
n
+2
m
)=5+2m
n
+2n
m
≥5+2×2=9，
当且仅当m=n=1
3
时，取得等号．
则m+2n
m⋅n
的最小值为9．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，由乘“1”法和基本不等式，可得所求最小值．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
13.【答案】2
【知识点】平均数、中位数、众数
【解析】
【分析】
本题考查平均数的定义的运用，属于基础题．
运用平均数的定义，解方程可得a的值．
【解答】
解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，
则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，
解得a=2．
故答案为：2．
14.【答案】1
2
【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质
【解析】解：∵f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，∴φ=π
2
，f(x)=cos2x，
则f(π
6)=cosπ
3
=1
2
，
故答案为：1
2
．
由题意利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，可得f(π
6
)的值．本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．
15.【答案】16
【知识点】几何概型
【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：S 6×6=4
9，解得：S =16． 故答案为：16．
由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．
16.【答案】2π
3
【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征 【解析】解：如下图所示：
当P 在面DCC 1D 1内时，AD ⊥面DCC 1D 1，CM ⊥面DCC 1D 1；又∠APD =∠MPC ，在Rt △PDA 与Rt △PCM 中，∵AD =6，则MC =3，∴tan∠APD =AD
PD
=tan∠MPC =MC
PC
，则6PD =3
PC ，即PD =2PC.在平面DCC 1D 1中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则D(−3,0)，C(3,0)，
设P(x,y)，由PD =2PC ，得√(x +3)2+y 2=2√(x −3)2+y 2， 整理得：x 2−10x +y 2+9=0，即(x −5)2+y 2=16． ∴点P 的轨迹是以F(5,0)为圆心，半径为4的圆． 设圆F 与面DCC 1D 1的交点为E 、M ， 作EK 垂直x 轴于点K ，则sin∠EFK =EK EF
=24=1
2；
∴∠EFK =π
6；
故点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线为劣弧ME ⏜，所以劣弧ME ⏜的长为π
6
×4=2π3
．
由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面DCC1D1内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面DCC1D1的交线，进而求得交线长．
本题考查棱柱的结构特征、圆的方程、弧长问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．
17.【答案】解：(1)因为(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC，
由正弦定理得(b−a)(b+a)=(b−c)c，即b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得cosA=b2+c2−a2
2bc =1
2
,A∈(0,π)，
所以A=π
3
．
(2)选择①a=√3.由正弦定理b
sinB =c
sinC
=a
sinA
=2，
即△ABC周长l=2sinB+2sinC+√3=2sinB+2sin(2π
3
−B)+√3
=3sinB+√3cosB+√3=2√3sin(B+π
6
)+√3，
∵B∈(0,2π
3)∴π
6
<B+π
6
<5π
6
,1
2
<sin(B+π
6
)≤1，
即△ABC周长的取值范围(2√3,3√3],
选择②S△ABC=√3.，得S△ABC=1
2bcsinA=√3
4
bc=√3，得bc=4．
由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，
即△ABC周长l=a+b+c=√(b+c)2−12+b+c，
∵b+c≥2√bc=4，当且仅当b=c=2时等号成立．
∴l=a+b+c≥√42−12+4=6，
即△ABC周长的取值范围[6,+∞)．
【知识点】正弦定理及变形、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、三角形面积公式、利用余弦定理解决范围与最值问题、由基本不等式求最值或取值范围、利用正弦定理解决范围与最值问题、利用余弦定理解三角形
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(1)由正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理得cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值．
(2)选择①a =√3.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC 周长l =
2√3sin(B +π
6)+√3，可求B +π
6的范围，根据正弦函数的性质可求△ABC 周长的取值范围；选择②利用三角形的面积公式可得bc =4，由余弦定理得a 2=(b +c)2−12，根据基本不等式可求b +c ≥2√bc =4，即可得解△ABC 周长的取值范围．
18.【答案】(1)男生的平均分x −
1=
45×3+55×9+65×18+75×15+85×6+95×9
60
=71.5，
女生的平均分x −
2=
45×6+55×4+65×5+75×10+85×13+95×2
40
=71.5，
从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关；
(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：
计算可得K 2=
100×(15×25−15×45)2
30×70×60×40
≈1.786<2.706，
所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．
【知识点】独立性检验
【解析】(1)利用平均数的计算公式求解即可；
(2)由题中的信息，补全2×2列联表，由公式计算K 2的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案．
本题考查了特征数的求解以及独立性检验的应用，解题的关键是掌握平均数的计算公式以及独立性检验的方法，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：取AC 中点O ，连接BO ，DO ，由题知，BO 为∠ABC 的平分线，
BO⊥AC，DO⊥AC，
设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，
连接EF，则EF⊥平面ABC．
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，DO⊥AC，
∴DO⊥平面ABC，∴DO//EF，……………………………………………………………(2分)∵BE和平面ABC所成的角为60°，即∠EBF=60°，∴EF=2√3，
又DO=2√3，∴四边形EFOD为平行四边形，∴DE//BO，…………………………………(5分)
BO⊆平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE//平面ABC.……………………………………(6分) (2)解：设点B到平面ADE的距离为d，
由V B−ADE=V A−BDE得：1
3S△ADE⋅d=1
3
S△BDE⋅2……………………………(8分)
1 3⋅1
2
⋅AD⋅DE⋅d=1
3
⋅1
2
⋅ED⋅DO⋅2……………………………(10分)
解得d=√3.………………………………(12分)
【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离
【解析】(1)取AC中点O，连接BO，DO，证明BO⊥AC，DO⊥AC，连接EF，说明EF⊥平面ABC.推出DO⊥AC，
利用BE和平面ABC所成的角为60°，证明DE//BO，推出DE//平面ABC．
(2)设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：1
3S△ADE⋅d=1
3
S△BDE⋅2，求
解距离即可．
本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，等体积法的应用，点、线、面距离的求法，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得{c
a =1
2
2b=2√3
，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，
所以椭圆C的方程为x2
4+y2
3
=1．
(2)由B1(0,√3)，F2(1,0)，知B1F2的斜率为−√3，
因为MN ⊥B 1F 2，故MN 的斜率为√3
3
，
则直线l 的方程为y =√3
3
(x −1)，即x =√3y +1，
联立{x 2
4+
y 2
3=1x =√3y +1，得13y 2+6√3y −9=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−
6√3
13
，y 1y 2=−9
13
，
则△F 1MN 的面积为S =c ⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=24
13， 则△F 1MN 的周长L =4a =8， 即S =1
2LR ，得内切圆R =
2S L
=6
13，
所以△F 1MN 的内切圆面积为πR 2=36
169π.
【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程
【解析】(1)由离心率e =1
2，短轴长为2√3，列方程组，解得a ，b ，进而可得椭圆的方程．
(2)由题可知B 1F 2的斜率为−√3，又MN ⊥B 1F 2，得MN 的斜率为√3
3，写出直线l 的方程，
联立椭圆的额方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，进而可得△F 1MN 的周长L =4a =8，则内切圆R =
2S L
，进而可得△F 1MN 的内切圆面积．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)k =1时，f(x)=x 2+2x −lnx ，f′(x)=2x +2−1
x ，
因为f(1)=3，f′(1)=3，
故f(x)在x =1处的切线方程为y −3=3(x −1)，即y =3x ； (2)f′(x)=2kx +2−1
x =
2kx 2+2x−1
x
，x >0，
设g(x)=2kx 2+2x −1，
①当k =0时，g(x)=0可得x =1
2，
易得，当0<x <1
2时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >1
2时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)有极小值，没有极大值；
②当k >0时，△=4+8k >0，
由g(x)=0得，x =√1+2k−1
2k
，
当0<x <√1+2k−12k
时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x >√
1+2k−12k
，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，
故f(x)有极小值，没有极大值； ③当k <0时，△=4+8k ，
当k ≤−1
2时，△=4+8k ≤0，f′(x)≤0，f(x)单调递减，没有极大值， 当−1
2<k <0时，△=4+8k >0， 由g(x)=0得，x =√1+2k−12k
，或x =
−√1+2k−1
2k
，
当0<x <√1+2k−12k
时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，
当√
1+2k−12k
<x <
−√1+2k−1
2k
，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x >
−√1+2k−1
2k
，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，
故f(x)在x =−√1+2k−12k
取得极大值，
综上−1
2<k <0．
【知识点】导数的几何意义、利用导数研究函数的极值
【解析】(1)把k =1代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； (2)先对函数求导，结合导数与单调性的关系讨论k 的范围，确定函数单调性，进而确定极值的存在情况，可求．
本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．
22.【答案】解：(1)由曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα，可得{√3
=cosα
y =sinα，两式两边平方相加得：(√
3)2+y 2=1，
即曲线C 1的普通方程为：
x 23
+y 2=1．
由曲线C 2：ρsin(θ+π
4)=4√2得：√2
2ρ(sinθ+cosθ)=4√2，
即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x +y −8=0， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x +y −8=0．
(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =
√3cosα+sinα−8|
√2
=
|2sin(α+π3
)−8|
√2
，
∴当sin(α+π
3)=1时，d 的最小值为3√2，此时点P 的坐标为(32,1
2)．
【知识点】简单曲线的极坐标方程
【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求得椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =
√3cosα+sinα−8|
√2
=
|2sin(α+π
3
)−8|
√2
，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P 的坐标．
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．
23.【答案】解：(1)当a =2，b =1时，f(x)=|x −2|+|x +1|≥9，
所以{x ≤−1−2x +1≥9或{−1<x ≤23≥9或{x >22x −1≥9，(3分)
解得：x ≤−4或x ≥5，故解集为(−∞,−4]∪[5,+∞)；(5分)
(2)由a >0，b >0，所以f(x)=|x −a|+|x +b|≥|x +b −x +a|=|a +b|=a +b ， 当且仅当(x −a)(x +b)≤0，即−b ≤x ≤a 时，等号成立． 若f(x)的最小值为2，则a +b =2，所以(a +1)+b =3，(7分)
1a +1+12b =13(1a +1+12b )((a +1)+b)=13(32+b a +1+a +12b )≥13(32+2√1
2
)=13(32+√2)=12+√2
3
当且仅当b
a+1=
a+12b
，即a =5−3√2，b =3√2−3时，等号成立．(9分)
所以1
a+1+12b 的最小值为1
2+√2
3.(10分)
【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式 【解析】(1)去掉绝对值，转化求解不等式的解集即可． (2)由推出a +b =2，利用基本不等式转化求解最值即可．
本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。