安徽省池州市青阳县第一中学高二5月月考数学(文)试题

青阳一中16-17高二下学期5月月考
数学试卷（文科）
一 选择题
1、若复数z 满足()2
11z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2、命题“0x ∀≥且x R ∈， 22x x >”的否定是（ ） A. 00x ∃≥且0x R ∈， 0
2
02x x > B. 0x ∀≥且x R ∈， 22x x ≤ C. 00x ∃≥且0x R ∈， 0
202
x x ≤ D. 00x ∃<且0x R ∈， 0202x x ≤
3、已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥；命题:q 在ABC ∆中，若3
A π
>，则sin 2
A >
．则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()p q ∧⌝
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ⌝∨ 4、若函数)(x f 满足x x f x x f -⋅-=
23
)1('3
1)(，则)1('f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5、椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两顶点为()(),0,0,A a B b ，且左焦点为F ，FAB ∆是以
B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）
A.
12 B.12 C.14 D.14
6、不等式20x x m -+>在R 上恒成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0m > B ．01m << C ．1
4
m > D ．1m > 7．若双曲线的渐近线l 方程为，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为
（ ） A ．2
B ．
C ．
D ．2
8、已知函数3
3y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = （ ） A. 2-或2 B. 9-或3 C. 1-或1 D. 3-或1
9、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）
A ． 63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元 10、若点A 的坐标为()3,2,F 是抛物线2
2y x =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使
MF MA +取得最小值的M 的坐标为 （ ）
A. ()0,0
B. 1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C. (
D. ()2,2 11、面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若
31241234
a a a a
k ====
，则12342234S
h h h h k
+++=，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为
()1,2,3,4i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =，若
31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于（ ） A. 2V K B. 2V K C. 3V K D. 3V K
12、已知两点)0,5(),0,5(N M -，若直线上存在点P ，使6||||=-PN PM ，则称该直线为“B 型直线”.给出下列直线：①1+=x y ；②2=y ；③x y 3
4
=；④x y 2=.其中为“B 型直线”的是（ ）
A ．①③
B ．③④ C. ①② D ．①④ 二填空题
13、已知函数f （x ）=mx 2+lnx ﹣2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为 ． 14、已知抛物线2
4y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为__________． 15、极坐标系下，直线cos()14
π
ρθ+
=与圆2=ρ的公共点个数是_______．
16、设P 为椭圆22
194
x y +=上的一点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，若12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积为_______
三 解答题
17．（本题满分10分）
设命题p ：不等式|2x ﹣1|＜x +a 的解集是
；命题q ：不等式4x ≥4ax 2+1的
解集是∅，若“p 或q”为真命题，试求实数a 的值取值范围．
18．（本题满分12分） 设f （x ）=x 3﹣
﹣2x +5
（1）求函数f （x ）的极值；
（2）当x ∈[﹣1，2]时，f （x ）＜m 恒成立，求实数m 的取值范围..
19、（本题满分12分）
已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为
2，且4||=AF . （1）求抛物线的方程；
（2）过点)0,8(M 作直线l 交抛物线于C B ,两点，求证：OC OB ⊥.
20 、（本题满分12分）
近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？ （2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K 2
，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：
（参考公式，其中n=a+b+c+d ）
21 、（本题满分12分） 已知曲线C
的参数方程为3{
1
x y αα
=+=（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，以
x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹； （2）若直线的极坐标方程为1
sin cos θθρ
-=，求直线被曲线C 截得的弦长.
22 、（本题满分12分）
椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的离心率为2，其左焦点1F 到点(2,1)P
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线l
：y kx m =+被圆O ： 2
2
3x y +=截得的弦长为3，且l 与椭圆E 交于A ，
B 两点，求△AOB 面积S 的最大值．
数学文科答案
1-5 CCBAB 6-10 ACABD 11-12 CC
13 [1，+∞）14 2 15 2 16 4 17 解：由|2x ﹣1|＜x +a 得，由题意得
．
∴命题p ：a=2．
由4x ≥4ax 2+1的解集是∅，得4ax 2﹣4x +1≤0无解， 即对∀x ∈R ，4ax 2﹣4x +1＞0恒成立，∴，
得a ＞1．∴命题q ：a ＞1．
由“p 或q”为真命题，得p 、q 中至少有一个真命题．∴实数a 的值取值范围是（1，+∞）． 18 （1）f′（x ）=3x 2﹣x ﹣2=0，解得x=1，﹣，
∵函数在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上单调增，在（﹣，1）上单调减
∴函数的极大值为f （﹣）=5 ，极小值f （1）=3
，
（2）∵f （﹣1）=5
，f （﹣）=5
，f （1）=3
，f （2）=7；即f （x ）max =7，
要使当x ∈[﹣1，2]时，f （x ）＜m 恒成立，只需f （x ）max ＜m 即可 故实数m 的取值范围为（7，+∞）
19 （1）由题意知，抛物线的方程为)0(22
>=p px y ，则
点F 的坐标为)0,2
(p
，点A 的一个坐标为)2,2(p ， ∵16=⋅，∴⋅-)2,2
2(p p
16)2,2(=p ，∴1644=+-p p ，
∴4=p ，∴x y 82
=.
（2）设C B ,两点坐标分别为),(),,(2211y x y x ，
法一：因为直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为8+=ky x ，
由方程组⎩⎨⎧+==8
82ky x x y 得06482
=--ky y ，
64,82121-==+y y k y y ，
因为),(),,(2211y x y x ==，所以21212121)8)(8(y y ky ky y y x x +++=+=⋅
064)(8)1(21212=++++=y y ky y y k 所以OC OB ⊥.
法二：①当l 的斜率不存在时，l 的方程为8=x ， 此时)8,8(),8,8(-C B ，即)8,8(),8,8(-==， 有06464=-=⋅，所以OC OB ⊥. ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为)8(-=x k y ，
方程组⎩⎨⎧-==)
8(82x k y x y 得0648,064)816(22222=--=-+-k y ky k x k x k ，
所以64,642121-==y y x x ，
.因为),(),,(2211y x y x ==，所以064642121=-=+=⋅y y x x ， 所以OC OB ⊥，由①②得OC OB ⊥.
20 （1）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为
=，
∴男性应该抽取20
×=4人…．
（2）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A ，B ；男性4人为c ，d ，e ，f ，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A ，B ）、（A ，c ）、（A ，d ）、（A ，e ）、（A ，f ）、（B ，c ）、（B ，d ）、（B ，e ）、（B ，f ）、（c ，d ）、（c ，e ）、（c ，f ）、（d ，e ）、（d ，f ）、（e ，f ）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A ，c ）、（A ，d ）、（A ，e ）、（A ，f ）、（B ，c ）、（B ，d ）、（B ，e ）、（B ，f ），共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为
P=．…．
（3）∵K 2
≈8.333，且P （k 2
≥7.879）=0.005=0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…． 21 （1）∵曲线C
的参数方程为3{
1x y αα
=+=（α为参数）
∴曲线C 的普通方程为()()22
3110x y -+-=，曲线C 表示以()31，
为半径的圆， 将{
x cos y sin ρθρθ
==代入并化简得，6cos 2sin ρθθ=+，
即曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+. （2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=，
∴圆心C
到直线的距离为2
d =
，∴弦长为22（1
）由题意可得2
c e a =
=
= 解得1c =
，a =
1b =，即有椭圆的方程为2
212
x y +=； （2）∵O 到l
的距离2
d =
==，
∴d =
=
，∴223(1)4m k =+．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把y kx m =+代入得2
2
2
(12)4220k x kmx m +++-=，
∴122
412km
x x k -+=+，21222212m x x k -=+，
∴12|||AB x x =
-=
=
=
=，
∵
1||||2S AB d AB =⋅
==4
22
21(3351)24122k k k +++≤⋅=+，
∴当223351k k +=+，即1k =±
时，max S =
．。