数学丨福建省永安一中2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案

永安一中2020—2021学年高三上学期期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟 总分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的. 1．已知集合{
}
{
}
2
|4,|
3A x R x B x N x =∈≤=∈≤，则A B =
A ．(]0,2
B ．[]0,2
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2
2．已知双曲线的渐近线方程为x y 3
3
±
=，一个焦点()0,2F ，则该双曲线的虚轴长为 A ．1B ．3 C ．2 D ．32 3．若a R ∈，则“复数32ai
z i
-=
在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知实数x ，y 满足00
10360x y x y x y ≥≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，，则23z y x =-的最大值为
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
5．如图所示的流程图中，输出d 的含义是 A.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离 B.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的平方 C.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的倒数 D.两条平行线间的距离
6．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,3432=+=a a S ，则公比=q
A ．4±
B ．4
C ．2±
D ．2 7．函数2
ln x x y -=的图象大致为
8.直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为
A ．
6πB ．3π C ．2π D ．
3
2π
9．已知等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，G 为EF 的中点，若记
a AB =，AD
b =，则AG =
A ．3384
a b +
B ．31
82
a b +
C ．13
24
a b +
D ．13
48
a b +
10．已知()f x 是奇函数，且当0>x 时()24x
f x =-，则不等式()02>-x f 的解集为
A ．{}|04x x x <>或
B ．{}
|024x x x <<>或 C ．{
}
|04x x x <>或 D ． {}
|22x x x <->或 11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值1-，则ω的取值范围是 A ．513,1212ππ
⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭
B ．513,1212ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．713,1212ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
D ．713,1212ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则实数a 的取值范围为
A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．2,4e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.
13．已知53cos -=α，παπ≤≤2，则cos 24πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭______．
14. 已知21,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若021=⋅PF PF 且212PF PF =，则C
的离心率为．
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其首项11a =，且满足()32n n S n a =+，则n a =_______． 16．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面,ABCD PE BC ⊥于点E ，
2,3,6,1====PE BC AB EC ，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分。

17．（12分）设三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且1
cos 2
a C
b
c =-. （1）求角A 的大小； （2）若3a =，求三角形ABC 面积S 的最大值.
18．（12分）已知{}n a 为公差不为0的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()2,1n n
a
n n n n b c a b ==+-，求数列{}n c 的前n 项和n S .
19.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，
顶点
1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ，2AB AC ==，13AA =．
（1）证明：1AB CC ⊥；
（2）若点P 为11B C 的中点，求三棱锥1P ABA -的体积．
20.（12分）已知抛物线x y P 4:2
=的焦点为F ，经过点()0,4H 作直线与抛物线P 相交于B A ,两
点,设()()2211,,,y x B y x A ． (1)求21y y 的值；
(2)是否存在常数a ,当点M 在抛物线P 上运动时,直线a x =都与以MF 为直径的圆相切？若存在,求出所有a 的值；若不存在,请说明理由．
21．（12分）已知函数1
()ln ,(0,)f x a x a a R x
=
+≠∈. （1）若1a =，求()f x 的极值和单调区间；
（2）若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计
分．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：
1cos (sin x t t y t α
α=-+⎧⎨
=⎩
为参数，[0,)απ∈)，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程;
（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 若PQ =l 的斜率.
23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()214f x x x =++- （1）解不等式()6f x ≤；
（2）若不等式2
()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围.
参考答案
5032
三、解答题：
17．解：（1）由正弦定理：1cos 2a C b c =-可化为1
sin cos sin sin 2
A C
B
C =-………1分 即1
sin cos sin()sin 2
A C A C C =+-
………………………………2分
即1
sin cos sin cos cos sin sin 2
A C A C A C C =+-………………………………3分 所以1
cos sin sin 02
A C C -
=………………………………4分 又sin 0C ≠, 所以1
cos 2A =………………………………5分
因为0πA <<，所以π
3
A =………………………………6分
（2）由余弦定理得2231
cos 22
b c A bc +-=
= 即223b c bc +=+
所以32bc bc +≥，所以3bc ≤………………………………10分
所以三角形ABC 面积11333
sin 322S bc A =⨯=≤………………12分
18．解：（1）139,,a a a 成等比数列，所以2
319,a a a =………………………………1分
即()()2
11128a d a a d +=+，即2
1a d d =.………………………………3分
因为0d ≠，所以12d
a ==，………………………………4分
所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.………………6分
（2）由题意得：224n n
n b ==，()()21424n
n
n n c n n =+-=+-，………………8分
所以()()()()
()
()1414224412145
n
n n
n n S n n +⎡⎤---++-⎣⎦=+=+-
--.………………12分 19. 解：（1）证明：因为顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点M ， 所以1A M ABC ⊥平面， ………………………………2分 又AB ABC ⊂平面，所以1A M AB ⊥， …………………3分 又因为AB AC ⊥，
而111A M A ACC ⊂平面，11AC A ACC ⊂平面且1A M AC M =，…4分 所以AB ⊥平面11A ACC ，又因为111CC A ACC ⊂平面， 所以1AB CC ⊥．………………6分 （2）解：如图，因为P 是11B C 的中点， 所以
11111111111122
22222222323
P ABA C ABA B AA C B AA C V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯=
…………………………10分 1111111122
2222222323
B AA
C B AA C V V --===⨯⨯⨯⨯=
………………………12分 20.解：(1)法一：依题意过点()0,4H 的直线可设为4+=my x ，……………………1分
由⎩
⎨⎧=+=x y my x 442，得
01642
=--my y ， ……………………3分 设()()2211,,,y x B y x A ，则1621-=y y ， …………………4分
∴y 1y 2＝－16.…………………………………5分 法二:∵A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，H(4,0)，
∴(x 2－4，y 2)． …………1分 ∵A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，H(4,0)在一条直线上， ∴(x 1－4)y 2－(x 2－4)y 1＝0.…………2分
∵A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在抛物线y 2＝4x 上，
∴x 1＝y 214，x 2＝y 22
4， …………3分
∴⎝⎛⎭⎫y 214－4y 2－⎝⎛⎭⎫y 224－4y 1＝0， 即y 1y 24(y 1－y 2
)＝－4(y 1－y 2)． …………4分
根据已知得y 1≠y 2，∴y 1y 2＝－16.…………5分
(2)存在． …………6分 ∵F 是抛物线P 的焦点， ∴F(1,0)．
设M(x ，y)，则MF 的中点为N ⎝⎛⎭⎫
x ＋12，y 2，|MF|＝1＋x.…………7分
∵直线x ＝a 与以MF 为直径的圆相切的充要条件是N ⎝⎛⎭⎫x ＋12
，y 2到直线x ＝a 的距离等于|MF|
2，
即⎪⎪⎪
⎪x ＋12－a ＝
1＋x 2，∴ax ＝a 2－a.…………9分 ∵对于抛物线P 上的任意一点M ，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切， ∴关于x 的方程ax ＝a 2－a 对任意的x≥0都要成立． ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝0，a 2－a ＝0，解得a ＝0.…………11分 ∴存在常数a ，并且仅有a ＝0满足“当点M 在抛物线P 上运动时，直线x ＝a 都与以MF 为直径的圆相切”．…………12分
21．解：（1）
1a =，∴1()ln ,(0)f x x x x =
+>∴22111
'()x f x x x x
-=-+= ………1分 令'()0f x =，得1x =
当x 变化时，(),'()f x f x 的变化情况如下表：
x
(0,1)
1 (1,)+∞
'()f x - 0
+ ()f x
减
极小值(1)1f =
增
……4分
∴当1x =时，函数()f x 有极小值1；函数()f x 的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1,)+∞； ………………5分
（2）若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使0()0f x <成立，即()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0………………6分
22
1()
1'(),(0)a x a a f x a x x x -=-+=
≠令'()0f x =，得1x a =…………7分
①当0a <时，'()0f x <∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减
∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11
()ln f e a e a e e
=
+=+ ∴由1()0f e a e =
+<得1a e <-，即1
(,)a e
∈-∞-………8分
②当0a >时，
（i ）当1e a ≤即1
0a e
<≤时，'()0f x ≤∴函数()f x 在区间(0,]e 上单调递减
∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11
()ln 0f e a e a e e
=+=+>
显然，这与()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不符……9分
（ii ）当1
0e a
<<即1a e >时
当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：
∴函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()ln
f a a a a
=+………10分
∴由1
1
()ln
0f a a a
a
=+<，得a e >，即(,)a e ∈+∞……………11分 ∴综上述，实数a 的取值范围是1
(,)(,)e e
-∞-+∞．………………12分
22.解：（1）2
4cos ,4cos ρθρρθ=∴=， ………1分
由2
2
2
,cos x y x ρρθ=+=,得2
2
4x y x +=.………3分 所以曲线C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=.………4分
（2）把 1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨=⎩代入22
4x y x +=，整理得26cos 50t t α-+=………5分
设其两根分别为12,t t ，则12126cos ,5,t t t t α+==………6分
12PQ t t ∴=-=
==………7分
得cos α=，566ππα=或，………9分
所以直线l 的斜率为3
±. ………10分
23.解：（1）由已知得13321()542334x x f x x x x x ⎧
-+<-⎪⎪
⎪
=+-≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
，，， 当21x <-时，3361x x -+≤⇒≥-1
12x ∴-≤<-
当142x -≤≤时，561x x +≤⇒≤1
12x ∴-≤≤
当4x >时，3363x x -≤⇒≤舍
综上得()6f x ≤的解集为[]1,1-…………5分
（2）()421289f x x x x +-=++-≥
2()48f x x a a +-<-有解
289a a ∴->，(9)(1)0a a -+>1a ∴<-或9a >
a ∴的取值范围是()
,1(9,)-∞-+∞.…………10分。