(人教版)南京市选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．若函数2
1()f x x ax x =++在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]-
B ．[1,)-+∞
C ．[0,3]
D ．[3,)+∞
2．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线
()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（ ）
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．2
3．已知函数()2ln f x ax x x -=-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()0,1
C ．21,
e e +⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
D ．210,
e e +⎛⎫
⎪⎝⎭
4．已知()32
16132
m f x x x x =
-++在()1,1-单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[33]-，
B ．（-3,3）
C ．[55]-，
D ．(-5,5)
5．已知函数f (x )在x =x 0处的导数为12，则000
()()
lim 3x f x x f x x
∆→-∆-=∆（ ）
A ．-4
B ．4
C ．-36
D ．36
6．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，则使得()
()2
40x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()()2,00,2-⋃
B ．()(),22,-∞-⋃+∞
C ．()()
2,02,-⋃+∞
D ．()(),20,2-∞-⋃
7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）
A ．()3x x f x e
=
B ．()x x x
f x e e -=
- C ．()
x
x f x e = D ．()x
f x xe =
8．设函数()()
2
3x
f x x e =-，则（ ）
A ．()f x 有极大值，且有最大值
B ．()f x 有极小值，但无最小值
C ．若方程()f x a =恰有一个实根，则3
6
a e >
D ．若方程()f x a =恰有三个实根，则3
60a e <<
9．已知函数()f x 在R 上连续可导，导函数为()'f x ，(0)1f =，其满足
()()01f x f x x '->-，函数()
()x f x g x e
=，下列结论错误．．的是（ ） A ．函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B ．0x ≤时，不等式()x f x e ≥恒成立 C ．函数()g x 有最小值，无最大值 D ．1x =是函数()g x 的极大值点
10．已知函数()cos ln f x x x =-+，则()1f '的值为（ ） A ．sin11- B ．1sin1- C ．1sin1+ D ．1sin1--
11．已知函数2()f x x ax =-(1
x e e
≤≤，e 为自然对数的底数)与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．11,e e
⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦
B ．11,e e ⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．11,e e e e ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
D ．1,e e e ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
12．已知函数()x
e f x ax x
=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式
()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞
B ．(),e -∞
C ．,
2e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
二、填空题
13．若函数()ln 3f x a x ax =-+在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为________.
14．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1
()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩
的图象上任意两点，
且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 15．已知()3
2
f x x ax bx =++，在1x =处有极值1-，则2+a b =_______
16．设函数()()21x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若仅存在两个整数n 使得
()0f n <，则实数a 的取值范围是__________.
17．已知32()3f x x x a =-+(,a R ∈a 为常数),在]2,2⎡-⎣上有最大值4，那么此函数在
]2,2⎡-⎣上的最小值为_______.
18．在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度
（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）
（为正方形的边
长），三维测度（体积）
；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度
，则其四维测度
__________．
19．已知函数()f x 的导函数为
'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________
20．已知函数2
()41f x x x =-+，若()f x 在区间[a ，2a+1]上的最大值为1，则a 的取值
范围为_________．
三、解答题
21．某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。

为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后
旅游增加值y 万元投入()10x x ≥万元之间满足：21ln 25
x
y ax bx =
+-（a ，b 为常数），当10x =万元时，17.7y =万元；当15x =万元时，25y =万元.（参考数据：
ln 20.7,ln3 1.1,ln5 1.6===）
（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润()L x 万元与投入x 万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）
（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1） 22．已知a 为实数，函数3
2
33()22
f x x ax x a =++
+ （1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围；
（2）若(1)0f '-=，对任意1x ，[]21,0x ∈-，不等式()()12f x f x m -≤恒成立，求
m 的最小值．
23．已知函数()()ln a
f x x a R x
=-
∈． （1）判断()f x 在定义域上的单调性；
（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2，求a 的值．
24．已知函数32()f x x x ax b =--+在1x =处取得极值，且(1)1f =. （1）求a ，b 的值；
（2）求函数()y f x =在区间[0,2]上的值域.
25．设函数32
1a x x bx c 32
f x =-++（
），其中a ＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））
处的切线方程为y=1 （Ⅰ）确定b 、c 的值
（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）证
明：当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围．
26．已知函数()3
2
2312f x x x x m =--+.
（1）若1m =，求曲线()y f x =在()()
1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先求出()3222
1212x ax f x x a x x
+-=+-='，由()f x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦是增函数，则()0f x '≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，也即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
上恒成立， 【详解】
()3222
121
2x ax f x x a x x +-=+-=
'， 令32()21g x x ax =+-，
要使函数2
1()f x x ax x =++在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
是增函数，
则有()32
210g x x ax =+-≥在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
上恒成立，
即32210x ax +-，即2
12a x x -+在1,12x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
上恒成立， 令21()2h x x x =-+
，3
2()20h x x '
=--<，所以()h x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递减， 故1()32h x h ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭
，所以3a ≥
故选：D. 【点睛】
关键点睛：本题考查根据函数单调性求参数的范围，解答本题的关键是()f x 在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
是增函数转化为()0f x '≥在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上恒成立，即32210x ax +-，分离参数即2
12a x x -+在1,12x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
上恒成立，属于中档题.
2．D
解析：D 【分析】
()y f x =的所有切线的斜率即为()2a f x x x
'=+（0x >）的值域，由题意知当1x =时
()
f x '取得最小值，由基本不等式可知()2a x f x x '=+
≥=，当且仅当2a
x x =
即22a x =时()f x '取得最小值，可得2a = 【详解】 因为2
()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，
所以()2a
f x x x
'=+
， 由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值，
因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=， 当且仅当2a
x x
=
即22a x =时()f x '取得最小值， 又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当1x =时()2a
f x x x
'=+取得最小值，再利用基本不等式求()f x '取得最小值时满足2a
x x
=
即22a x =，即可求出a 的值. 3．B
解析：B 【分析】
函数()2
()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，即方程2
ln x x
a x +=
有两个根，设()2
ln x x
g x x
+=
，求出()g x '，研究出函数()g x 的单调性，由()g x 的图象与y a =有两
个交点，得出a 参数的范围，即得结果. 【详解】
函数()2
()ln 0f x ax x x x =-->有两个零点，
由题意得方程2ln x x a x +=
有两个根，设(
)2
ln x x
g x x
+=，则y a =与()y g x =有两个不同的交点，又
()243
1
(1)(ln (2)
12ln ）x x x x x x x g x x x +-+--'==
， 设()12ln h x x x =--，则()2
10h x x
'=--<
所以()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又(1)0h = 当()()(0,1),0,0x h x g x '∈>>，所以()g x 在(0,1)上单调递增， 当()()(1,),0,0x h x g x '∈+∞<<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，
又(1)1g =，22111()01e g e e e
e -==-<⎛⎫ ⎪⎝⎭
，当(1,)x ∈+∞时，ln 0x x +>，则()0g x >，即()g x 在(1,)+∞上单调递减，但恒正. 作出函数()y g x =的大致图象如下：
要使()y g x =的图象与y a =有两个交点， 所以实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
4．C
解析：C 【分析】
依题意得，(1,1)x ∈-时，2()60f x x mx '=+-恒成立，得到(1)0
(1)0
f f '-⎧⎨'⎩，解之即可．
【详解】 解：
()3216132
m
f x x x x -+=+，
()26f x x x m '∴=-+，
要使函数()f x 在()1,1-单调递减， 则()0f x '≤在()1,1x ∈-上恒成立， 即260x mx -+≤在()1,1x ∈-上恒成立，
则：()()
1010f f ⎧-≤⎪
⎨≤''⎪⎩，即：160160m m --≤⎧⎨+-≤⎩，
解得：55m -≤≤
则m 的取值范围为：[]55-，
. 故选：C . 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到(1)0
(1)0f f '-⎧⎨'⎩
是关键，考查化归思想与运
算能力，属于中档题．
5．A
解析：A 【分析】
根据题意，由极限的性质可得则00000
0()()()()1lim =lim 33x x f x x f x f x f x x x x
∆→∆→-∆---∆-∆∆，结合
导数的定义计算可得答案． 【详解】
根据题意，函数()f x 在0x x =处的导数为12，
则000000()()()()112
lim
=lim 4333x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→-∆---∆-=-=-∆∆；
故选：A ． 【点睛】
本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题．
6．D
解析：D 【分析】
构造函数()ln (),g x xf x = 根据()g x '的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,再解不等式即可. 【详解】
构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()
ln ()ln f x f x x xf x g x xf x x
x
+''=
+'=
，
已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数，
因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数 已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0， 故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,
由()()2
40x f x ->得224040
()0()0x x f x f x ⎧⎧->-<⎨
⎨><⎩⎩
或 ，解得x<-2或0<x<2 故选D. 【点睛】
本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集.
7．A
解析：A 【分析】
由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减，然后逐项分析各选项中函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】
由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减. 对于A 选项，函数()3x x f x e =
的定义域为R ，()()x x
x x
f x f x e e
---==-=-，该函数为奇函数，当0x >时，()x
x f x e
=
，()1x x
f x e -'=. 当01x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减，合乎题意； 对于B 选项，函数()x x
x
f x e e
-=
-的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意；
对于C 选项，函数()x
x f x e =
的定义域为R
，()1f e -=-，()1
1f e =，()()11f f -≠-，该函数不是奇函数，不合乎题意；
对于D 选项，函数()x
f x xe =的定义域为R ，当0x >时，()x
f x xe =，
()()10x f x x e '=+>，该函数在区间()0,∞+上单调递增，不合乎题意.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．D
解析：D 【分析】
先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程()f x a =的根的情形． 【详解】
由题意2()(23)(1)(3)x x
f x x x e x x e '=+-=-+，
∴当3x <-或1x >时，()0f x '>，当31x -<<时，(00f x '<， ()f x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上递增，在(3,1)-上递减． ()f x 极大值＝36
(3)f e
-=
，()f x 极小值＝(1)2f e =-，
x <x >()0f x >，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，
∴(1)f 也是最小值．()f x 无最大值． 作出()y f x =的图象，和直线y a =，如图， 当1a =或36a e >时，()f x a =有一个根，当3
6
0a e
<<时，()f x a =有三个根． 故选：D ．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解．
9．D
解析：D 【分析】 对()
()x
f x
g x e =求导，由条件可判断单调性，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】
()()x f x g x e =
，()()
()x
f x f x
g x e
-=''∴，当1x >时，()()0f x f x '->，即()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，故A 正确，不符合题意；当1x <时，()()0f x f x '-<，即()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，1x ∴=是函数()g x 的
极小值点，故D 错误，符合题意；
()g x 在(,0]-∞上单调递减，
(0)()(0)1f g x g e
∴≥=
=，即()
1x f x e ≥，()x f x e ∴≥，故B 正确，符合题意；可知()g x 在1x =处取得极小值即最小值，无最大值，故C 正确，不符合题意.
故选：D. 【点睛】
本题考查导数的应用，属于中档题.
10．C
解析：C 【分析】
根据导数的运算法则先求出函数的导数()f x '的解析式，再把1x =代入()f x '的解析式
运算求得结果． 【详解】
∵函数()cos ln f x x x =-+，∴()1sin f x x x
'=+， ∴()1sin11f ='+，故选C. 【点睛】
本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，属于基础题．
11．A
解析：A 【分析】
根据题意可将问题转化为方程2ln x ax x -=在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解，分离参数可得
2ln x x a x -=
，令()2ln x x
h x x
-=，利用导数求出()h x 值域即可求解. 【详解】
因为函数2
()f x x ax =-(1
x e e
≤≤)与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点， 则函数2
()f x x ax =-(
1
x e e
≤≤，e 为自然对数的底数) 与函数()ln g x x =的图象有交点， 即2ln x ax x -=在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解，
即2ln x x a x
-=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，
令()2ln x x
h x x
-=，（1x e e ≤≤），
()22
1ln x x h x x
-+'=， 当
1
1x e
≤<时，()0h x '<，函数为减函数， 当1x e <≤时，()0h x '>，函数为增函数， 故1x =时，函数取得最小值1， 当1=
x e 时，11h e e e ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
当x e =时，()h e e =，
故实数a 的取值范围是11,e e ⎡
⎤+⎢
⎥⎣⎦
.
故选：A 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2
x
g x e ax =-，可知函数()y g x =在区间
()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分
离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2x
e h x x
=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求
得实数a 的取值范围. 【详解】
函数()x
e f x ax x
=-的定义域为(
)0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立， 即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2
x
g x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，
所以，函数()2
x
g x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，
则()20x
g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2x
e
a x
∴≤，
令()2x
e h x x
=，其中0x >，则()min a h x ≤.
()()2
12x e x h x x
-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12
e h x h ==，2e a ∴≤.
因此，实数a 的取值范围是,2
e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题
13．【分析】先求导数再根据导数几何意义列方程根据取值范围得结果【详解】设存在两点满足在该点处的切线相互垂直则因为所以从而或故答案为：
【点睛】本题考查导数几何意义利用导数研究存在性问题考查综合分析求解能力
解析：22
(,)(,)33
+∞-∞-
【分析】
先求导数，再根据导数几何意义列方程，根据取值范围得结果. 【详解】
()()ln 3a
f x a x ax f x a x
'=-+∴=
- 设存在两点()112212,,(,),()A x y B x y x x <满足在该点处的切线相互垂直， 则21212111
(
)()1(1)(1)0a a a a x x x x a
--=-∴--=-< 因为121,,44x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()121,1,1,44x x ⎛⎫
∈∈ ⎪⎝⎭
从而
121131(0,3),1(,0)4
x x -∈-∈- 2212111942(1)(1)(0,)493a a a x x ∴
=--∈∴>∴>或23
a <- 故答案为：2
2(,)(,)33
+∞-∞-
【点睛】
本题考查导数几何意义、利用导数研究存在性问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
14．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值
解析：1e
-
【分析】
先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把
12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.
【详解】
当1x <时，()0x
f x e '=-<，当1x >时，()1
0f x x
'=
>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，
所以1
2
1
1x
e x -⨯
=-即12x x e =，其中11<x .
又1121x
x x x e =，令(),1t
g t te t =<，
则()()1,1t
g t t e t '=+<，
当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e
=-=-， 故答案为：1e
-. 【点睛】
本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.
15．【分析】求出由题意求出即得答案【详解】在处有极值即解得经检验当时在处有极值符合题意故答案为：【点睛】本题考查函数的极值点与极值属于中档题 解析：3-
【分析】 求出()'
f
x .由题意，()()'10,11f f ==-，求出,a b ，即得答案.
【详解】
()()32'2,32f x x ax bx f x x ax b =++∴=++. ()f x 在1x =处有极值1-，
()()'
10,11f f ∴==-，即320
11a b a b ++=⎧⎨++=-⎩
，解得1a b ==-.
经检验，当1a b ==-时，()3
2
f x x x x -=-在1x =处有极值1-，符合题意.
1a b ∴==-，23a b ∴+=-.
故答案为：3-. 【点睛】
本题考查函数的极值点与极值，属于中档题.
16．【分析】设则存在两个整数使得利用导数分析函数的单调性与极值作出函数的图象可得出关于的不等式组进而可求得实数的取值范围【详解】设由题意可知存在两个整数使得当时；当时函数的最小值为而直线恒过定点如下图所
解析：253,32e e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
设()()21x
g x e x =-，y ax a =-，则存在两个整数1x 、2x ，使得()()1122g x ax a g x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩
，
利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，可得出关于a 的不等式组，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】 设()()21x
g x e
x =-，y ax a =-，
由题意可知，存在两个整数1x 、2x 使得()()1122g x ax a
g x ax a ⎧<-⎪⎨<-⎪⎩
，
()()21x g x e x '=+，当21x <
-时，()0g x '<；当1
2
x >-时，()0g x '>.
∴函数()y g x =的最小值为()min 12g x g e ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，
()01g =-，()10g e =>，而直线y ax a =-恒过定点()1,0，如下图所示：
则满足不等式()0f x <的两个整数解应分别为11x =-，20x =，
所以()()1223g a g a ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩，即23253a e
a e ⎧
->-⎪⎪⎨⎪-≤-
⎪⎩，解得25332a e e ≤<
. 因此，实数a 的取值范围是253,32e e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭.
故答案为：253,32e e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数不等式的整数解问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
17．【解析】【分析】利用导数二次函数的性质研究函数的单调性由单调性求
得函数在上的最值【详解】因为所以利用导数的符号可得函数的增区间为减区间为因为所以在上单调递增在上单调递减当时函数取得最大值所以所以可得 解析：16-
【解析】 【分析】
利用导数、二次函数的性质研究函数的单调性，由单调性求得函数在[2,2]-上的最值. 【详解】
因为32()3f x x x a =-+，所以2'()363(2)f x x x x x =-=-，
利用导数的符号，可得函数的增区间为(,0),(2,)-∞+∞，减区间为(0,2)， 因为[2,2]x ∈-，所以()f x 在[2,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减， 当0x =时，函数取得最大值4a =， 所以3
2
()34f x x x =-+，
所以(2)812416f -=--+=-，(2)81240f =-+=， 可得当2x =-时，函数取得最小值为16-， 故答案是：16-. 【点睛】
该题考查的是有关求函数在某个区间上的最小值的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数最值问题，属于简单题目.
18．12a4【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度）从而得到W=2a3从而得到W=12a4【详解】在二维空间中二维测度S=a2与一维测度（周 解析：
【解析】 【分析】
依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到
．
【详解】
在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是
；
在三维空间中，三维测度
与二维测度
的关系是
，
故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足
，
所以
，故
（为常数），
类比各个维度测度的解析式的形式可得，
故，填
．
【点睛】
本题考查类比推理，属于基础题．
19．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力
解析：-1 【解析】 【分析】
首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可. 【详解】
由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x
=+
， 令1x =可得：()()1'12'11
f f =+，则()'11f =-. 【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．【分析】先作函数图象结合图象分类确定最大值为1所满足的条件解得结果【详解】因为作函数图象：由图象得【点睛】在研究函数性质特别是单调性最值零点时要注意用好其与图象的关系结合图象研究
解析：13[,0]22⎧⎫
-⋃⎨⎬⎩⎭
【分析】
先作函数图象，结合图象分类确定最大值为1所满足的条件，解得结果. 【详解】
因为211a a a <+∴>-，作函数()f x 图象：
由图象得10
013
{
0421021422
a a a a a a -<≤>⎧∴-≤≤=⎨≥+≥+=⎩或或
【点睛】
在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
三、解答题
21．（1）()()22151126ln ln 105025550255
x x L x x x x x x =-
+-=-+-≥；（2）投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元. 【分析】
（1）利用待定系数法求出151,2525
a b =-
=，即可得答案； （2）利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最值； 【详解】
（1）由已知得：1
10010ln 217.72122515ln 3252a b a b ⎧⨯+-=⎪⎪⎨⎪⨯+-=⎪⎩，化简得：151
,2525a b =-=，
()2151ln 1050255x y x x x ∴=-
+-≥，则该景点改造升级后旅游增加利润为： ()()22151126ln ln 105025550255
x x
L x x x x x x x =-
+--=-+-≥； （2）由（1）得：()()2126ln 1050255
x
L x x x x =-
+-≥ 则()()()212512612625
25252525x x x x L x x x x x
---+'=-+-=-=-
，令()0L x '=得25x =，
当()10,25x ∈时，()()0,L x L x '>单调递增；当()()()25,0,x L x L x '∈+∞<时，单调递减；
25x ∴=时，()L x 取得最大值，且()()max 2511.9L x L ==，
∴当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.
【点睛】
待定系数法求函数的解析式，一般是根据条件列出方程，再求参参数值；利用导数求函数的单调性，可求得函数的最值. 22．（1
）,22a ⎛⎡⎫-∈-∞-
⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭
；（2）5
16. 【分析】
（1）函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，即()0f x '=有实数解，利用判别式大于等于零解出a 的取值范围；
（2）由(1)0f '-=可得a 值，令()0f x '=解出方程根，得出函数的单调性和最值，代入不等式可得m 的取值范围，进而得出m 的最小值． 【详解】 （1）
3233()22f x x ax x a =++
+23()322
f x x ax '∴=++． 由题意知()0f x '=有实数解．2
344302
a ∴∆=-⨯⨯
≥
2
92a ∴≥，即a ≤或a ≥,22a ⎛⎡⎫-∈-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭
（2）
(1)0f '-=，3
3202a ∴-+
=，即94
a =． 231()323(1)22f x x ax x x ⎛
⎫'=++
=++ ⎪⎝
⎭，令()0f x '=得112x =-，21x =-． 则()f x 在11,2⎛
⎫--
⎪⎝
⎭单调递减，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
单调递增， 当[]1,0x ∈-时，25
(1)8f -=
，149
216f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，27(0)8f =，
max 27()(0)8f x f ∴==
，min 149
()216
f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 故1x ，[]21,0x ∈-时，()()12f x f x -≤max min 5
()()16
f x f x -=
所以516m ≥
，即m 的最小值为516
． 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是将()()12f x f x m -≤恒成立，转化为求()()12f x f x -的最大值，即求
max min ()()f x f x -，代入不等式可得参数m 的最小值，考查了学生转化思想和计算能力，
属于中档题．
23．（1）当0a ≥时，()f x 在0,
上是增函数；当0a <时，()f x 在(]0,a -上是
减函数，在(),a -+∞上是增函数；（2）a e =-. 【分析】
（1）先确定()f x 的定义域为(0,)+∞，再求导，由“()0f x '>，()f x 为增函数
()0f x '<，()f x 在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论．
（2）因为2
()x a
f x x '
+=
，0x >．由（1）可知①当0a 时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，()()1min f x f =当01a <-时，即1a -时，()f x 在(0,)+∞上也是增函数，
()()1min f x f =③当1a e <-<时，即1e a -<<-时，()f x 在[1，]a -上是减函数，在(a -，]e 上是增函数，()()min f x f a =-④当a e -时，即a e -时，()f x 在[1，]e 上是减
函数，()()min f x f e =最后取并集． 【详解】
解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()2
x a
f x x +'=
①当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞上为增函数； ②当0a <时，由()0f x '=得x a =-；由()0f x '>得x a >-； 由()0f x '<得x a <-；
∴()f x 在(]0,a -上为减函数；在(),a -+∞上为增函数．
所以，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当0a <时，()f x 在(]0,a -上是减函数，在(),a -+∞上是增函数． （2）∵()2x a
f x x
+'=
，0x >．由（1）可知： ①当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上为增函数，()()min 12f x f a ==-=，得2a =-，矛盾!
②当01a <-≤时，即1a ≥-时，()f x 在()0,∞+上也是增函数，
()()min 12f x f a ==-=，
∴2a =-（舍去）．
③当1a e <-<时，即1e a -<<-时，()f x 在[]1,a -上是减函数，在(],a e -上是增函数，
∴()()()min ln 12f x f a a =-=-+=，得a e =-（舍去）． ④当a e -≥时，即a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上是减函数，有
()()min 12a
f x f e e
==-
=， ∴a e =-． 综上可知：a e =-． 【点睛】
本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．
24．（1）1a =，2b =；（2）[1,4] 【分析】
（1）先求出()'
f x ，由题得()01f '=，又(1)1f =，则可求出a ，b 的值；
（2）利用导数确定()y f x =在区间[0,2]上的单调性，列表分析求出值域. 【详解】 （1）：
32()f x x x ax b =--+，2()32f x x x a '∴=--，
函数3
2
()f x x x ax b =--+在1x =处取得极值，
(1)0f '∴=，得1a =；又(1)1f =，得2b =，
经检验，1a =，2b =符合题意， 所以1a =，2b =；
（2）由（1）得32()2f x x x x =--+，2
()321f x x x '∴=--，
令()0f x '>得：1
3x <-或1x >；
令()0f x '<，得：1
13
-
<<x ， 所以函数()y f x =在区间[0,2]上()f x 与()'
f x 的变化情况如下表：
由上表可知函数在区间上的值域为.【点睛】
本题主要考查了函数极值的概念，利用导数求解函数的值域，考查了学生的运算求解能力.
25．（Ⅰ）b=0，c=1, （Ⅱ）见解析（Ⅲ）()
+∞． 【详解】 （1）∵f （x ）13=
x 32
a -x 2
+bx +c ， ∴f （0）＝c ，f ′（x ）＝x 2﹣ax +b ，f ′（0）＝b ；
又∵y ＝f （x ）在点P （0，f （0））处的切线方程为y ＝1， ∴f （0）＝1，f ′（0）＝0． ∴b ＝0，c ＝1．
（2）∵b ＝0，c ＝1时，()32
1132
a f x x x =-+，f '（x ）＝x 2﹣ax ．由于点（t ，f （t ））处的切线方程为
y ﹣f （t ）＝f '（t ）（x ﹣t ），而点（0，2）在切线上， ∴2﹣f （t ）＝f '（t ）（﹣t ），
化简得
3221032a t t -+=，即t 满足的方程为3221032a
t t -+=． 下面用反证法证明．
假设f '（x 1）＝f '（x 2），由于曲线y ＝f （x ）在点（x 1，f （x 1））及（x 2，f （x 2））处的切线都过点（0，2），
则下列等式成立：32
1132
222
211222103221032a x x a x x x ax x ax ⎧-+=⎪⎪
⎪-+=⎨⎪-=-⎪⎪⎩
①②③；
由③得x 1+x 2＝a ，
由①﹣②得21x +x 1x 22
234
x +=
a 2
④； 又21x +x 1x 222
212()x x x +=+-x 1x 2＝a 2﹣x 1（a ﹣x 1）
21x =-ax 1+a 2213()24a x =-+a 23
4
≥a 2
∴由④得x 12a =，此时x 22
a
=，这与x 1≠x 2矛盾，∴f ′（x 1）≠f ′（x 2）． （3）由（2）知，过点（0，2）可作y ＝f （x ）的三条切线， 等价于方程2﹣f （t ）＝f '（t ）（0﹣t ）有三个相异的实根，
即等价于方程32
21032
a t t -+=有三个相异的实根； 设g （t ）23=
t 32
a -t 2
+1， ∴g ′（t ）＝2t 2﹣at ＝2t （t 2
a
-）； ∵a ＞0，∴有
由g （t ）的单调性知：要使g （t ）＝0有三个相异的实根，当且仅当124
a -＜0，
即a ＞
∴a 的取值范围是()
+∞． 26．（1）12y x =-；（2）()7,20-. 【分析】
（1）求出()f x 的导数，求出()1f '即为切线斜率，再求出()1f ，即可利用点斜式求出切线方程；
（2）利用导数讨论()f x 的变化情况，求出极大值和极小值，即可根据题意建立不等式，求出m 的取值范围. 【详解】
（1）由题意，()2
6612f x x x '=--，故()112f '=-，
又当1m =时，()12312112f =--+=-，
故所求的切线方程为()12121y x +=--，即12y x =-.
（2）由题意，()()
()()22
661262612f x x x x x x x '=--=--=+-，
令()0f x '=，得1x =-或2x =，
故当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，当()1,2x ∈-时，()0f x '<，当()2,x ∈+∞时，
()0f x '>
故当1x =-时，函数()f x 有极大值()()()121311217f m m -=⨯--⨯-⨯-+=+， 当2x =时，函数()f x 有极小值()2283412220f m m =⨯-⨯-⨯+=-.
若函数()f x 有3个零点，实数m 满足70200m m +>⎧⎨-<⎩
，解得720m -<<，
即实数m 的取值范围为()7,20-. 【点睛】
本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.。