数学北师大版选修2-2同步练习 第二章§3计算导数 含解
数学北师大版选修2-2教材基础第二章§3计算导数含答案
§3 计算导数导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式。
高手支招1细品教材一、导函数一般地,如果一个函数f(x)在区间(a ，b ）上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x）:f′(x）=0lim→∆x x f x x f ∆-∆+)()(，则f′（x)是关于x 的函数，称f′(x）为f(x ）的导函数，通常也称为导数。
二、几种常见函数的导数1.设y=c （常数)，则y′=0.（1)表述：常数函数的导数为零.（2）证明:∵Δy=f(x+Δx）-f （x)=c-c=0，x y ∆∆=0, ∴y′=c′=0lim →∆x y ∆∆=0.∴y′=0。
（3）我们可以用几何图形对公式加以说明：因为y=c 的图像是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.【示例】设y=π2，则y′等于（ ）A.2π B。
π C.0 D。
以上都不是思路分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可。
因为π是常数,常数的导数为零,所以选C.答案：C状元笔记函数f （x ）=x 、f （x ）=x 2、f(x ）=x —1是函数f （x ）=x n (n∈R )的特殊情况，它们的导数也是f(x)=x n (n∈R )导数的特殊情况.2。
（x n )′=nx n —1(n 为实数)。
表述:正整数指数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n-1）次幂的乘积.【示例】求函数y=321x 在点x=8处的导数。
解：y=x 32-,y′=32-x 35-,y′|x=8=32-·835-=481-. 3.(sinx ）′=cosx。
（1)表述：正弦函数的导数等于余弦函数.（2）证明：y ＝f(x)=sinx ，Δy=sin（x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx -sinx ，xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , y′=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x xx x x x x ∆-∆+∆sin sin cos cos sin =0lim →∆x xx x x x ∆∆+-∆sin cos )1(cos sin =0lim →∆x +∆∆-xx x )22sin 2(sin 0lim →∆x x x x ∆∆sin cos =0lim →∆x 4)2(22sin )sin 2(2x x x x ∆•∆∆•-+cosx =—2sinx·1·0+cosx=cosx，∴y′=cosx。
北师大版数学高二-(北师大)选修2-2 作业 2.3计算导数
1．设函数f (x )＝cos x ，则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′＝( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确解析：注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A. 答案：A2．下列各式中正确的是( )A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x )′＝3xD ．(3x )′＝3x ·ln 3解析：由(log a x )′＝1x ln a，可知A ，B 均错；由(3x )′＝3x ln 3可知D 正确． 答案：D3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是( )A ．－4B ．4C ．±4D ．不确定解析：f ′(x )＝αx α－1，f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.答案：B4．曲线y ＝1x 在点P 处的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2 解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故B 正确． 答案：B5．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合f ′ (x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数的公式知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2.因为f ′(x )＋1＝g ′(x )，所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－13. 答案：1或－136．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1. ∴ln a ＝－1.∴a ＝1e. 答案：1e7．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x 13-. ∴f ′(8)＝23·813-＝13. 即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13. ∴适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)．即3x ＋y －20＝0.8．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 314-＝34x 14-＝344x . (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln 10.(4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，∴y ′＝(log 12x )′＝1x ·ln 12＝－1x ·ln 2. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .。
北师大版选修2-2高中数学2.3《计算导数》同步训练
§3计算导数双基达标(限时20分钟)1．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于()．A．1 B．2C．3 D．4解析∵y′＝n·x n－1，∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12.∴n＝3.答案 C2．若函数f(x)＝3x，则f′(1)等于()．A．0 B．－1 3C．3 D.1 3解析f′(x)＝13x－23，∴f′(1)＝13×1－23＝13.答案 D3．曲线y＝e x在点A(0，1)处的切线斜率为()．A．1 B．2 C．e D.1 e解析由y′＝e x，得在点A(0，1)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1，∴选A.答案 A4．曲线y＝2x在点(1,2)处的切线方程是_____________________________．解析y′＝－2x2，y′|x＝1＝－2，故切线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.答案2x＋y－4＝05．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2在点M(1,3)处的切线平行的直线方程是___________________________________________________________．解析y′＝6x，由条件知曲线在点M处的切线斜率为6×1＝6，故所求直线为y－2＝6(x＋1)，即6x－y＋8＝0. 答案6x－y＋8＝06．已知质点的运动方程为s＝f(t)＝12gt2＋2t，求s＝f(t)的导函数，并利用导函数f′(t)求f′(0)、f′(1)、f′(2)并解释实际意义．(其中s的单位为m，t 的单位为s)解f′(t)＝g(t)＋2∴f′(0)＝2表示质点的初始速度为2 m/s.f′(1)＝g＋2表示质点在1 s时的瞬时速度为(g＋2)m/s.f′(2)＝2g＋2表示质点在2 s时的瞬时速度为(2g＋2)m/s.综合提高(限时25分钟)7．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值等于()．A．4 B．－4C．5 D．－5解析∵f′(x)＝(xα)′＝α·xα－1.由题意f′(－1)＝－4，即α·(－1)α－1＝－4.∴α＝4.答案 A8．下列结论中不正确的是()．A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32B．若y＝1x，则y′|x＝2＝－22C．若y＝1x2·x，则y′|x＝1＝－52D．若y＝x－5，则y′|x＝－1＝－5解析对于A，y′＝4x3，y′|x＝2＝4×23＝32，正确；答案 B9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x . 答案 2x10．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 答案 x ＋2y －3－π6＝0 11．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝3x 5. 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5.12．(创新拓展)在如下算法框图中，输入f 0(x )＝cos x ，求输出的结果是什么？解由算法框图可知i＝1时，f1(x)＝f′0(x)＝－sin x，i＝2时，f2(x)＝f′1(x)＝－cos x，i＝3时，f3(x)＝f′2(x)＝sin x，i＝4时，f4(x)＝f′3(x)＝cos x＝f0(x)，i＝5时，f5(x)＝f′4(x)＝－sin x＝f1(x)，所以有f n(x)＝f n＋4(x)，i＝2 010时，f2 010(x)＝f2(x)＝－cos x.所以输出的结果为－cos x.。
北师版高中同步学考数学选修2-2精品课件 第二章 §3 计算导数
(4)y=log3x;(5)y=sin 2 + .
解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.
(3)∵y= =(x
1
)2
=
3 -1
= 4 4.
1
.
(4)y'=(log3x)'=
ln3
π
(5)∵y=sin + =cos
2
3 3-1
∴y'=4 4
∴y'=-sin x.
5
=
(4)∵y=log2x2-log2x=log2x,
1
∴y'=(log2x)'=x2 .
x
x
(5)∵y=-2sin2 1-2 2 4
x
x
=2sin 2 2 2 4 -1
x
=
x
=2sin 2cos 2=sin x,
∴y'=cos x.
3 -2
5
5
=
.
3
5
5
x2
.
探究学习
探究一
探究二
分析熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为
基本初等函数后再求导数.
探究学习
探究一
探究二
解:(1)y'=(x
(2)y'=
(3)y'=(
1
4
5
思想方法
3
3 3-1
x)'=(x 2 )'= 2
2
3
2
.
4
5
'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=3
3
北师大数学选修22配套作业：第二章 变化率与导数 §3 含解析
第2章 §3 计算导数A 级 基础巩固一、选择题1．下列结论中不正确的是( B )A ．若y ＝x 4，则y ′|x ＝2＝32B ．若y ＝1x ，则y ′|x ＝2＝－22 C ．若y ＝1x 2·x，则y ′|x ＝1＝－52 D ．若y ＝x －5，则y ′|x ＝－1＝－5[解析] ∵(1x )′＝(x －12)′＝－12 x －32 ∴y ′|x ＝2＝－28. 故B 错误．2．若f (x )＝3x ，则f ′(－1)＝( D )A ．0B ．－13C ．3D ．13[解析] ∵f (x )＝x 13， ∴f ′(x )＝13x －23 ∴f ′(－1)＝13(－1)－23＝13，∴选D. 3．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定[解析] f ′(x )＝3x 2，∴3x 2＝1，解得x ＝±33， 故存在两条切线，选B.4．(2019·武汉期末)若f (x )＝x 5，f ′(x 0)＝20，则x 0的值为( B )A ． 2B ．±2C ．－2D ．±2[解析] 函数的导数f ′(x )＝5x 4，∵f ′(x 0)＝20，∴5x 40＝20，得x 40＝4， 则x 0＝±2，故选B.5．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( A )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y －3＝0[解析] y ′＝4x 3，直线x ＋4y －8＝0的斜率为－14，所以切线l 的斜率为4.所以4x 3＝4，解得x ＝1.所以切点为(1,1)，切线l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.6．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.二、填空题7．已知函数f (x )＝1x ，且f ′(a )－f (a )＝－2，则a ＝1或－12. [解析] f ′(x )＝－1x2， ∴f ′(a )＝－1a 2，∴f ′(a )－f (a )＝－1a 2－1a， ∴1a 2＋1a ＝2，解a ＝1或－12. 8．(2019·全国Ⅰ卷理，13)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .[解析] y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴ 斜率k ＝e 0×3＝3，∴ 切线方程为y ＝3x .三、解答题9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率．[解析]设被扰动水面的面积为S，时间为t，依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)．B级素养提升一、选择题1．(2019·全国Ⅱ卷文，10)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(C) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.2．(2018·全国卷Ⅰ理，5)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.二、填空题3．(2018·全国卷Ⅲ理，14)曲线y＝(ax＋1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3.[解析]∵y′＝(ax＋a＋1)e x，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，得a＝－3.4．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是21.[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题5．试比较曲线y ＝x 2与y ＝1x在它们交点处的切线的倾斜角的大小． [解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2y ＝1x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即两条曲线的交点坐标为(1,1)． 对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝1x ，y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1. 由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．6．(2018·全国卷Ⅲ文，21(1))已知函数f (x )＝ax 2＋x －1e x.求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程．[解析] f ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x ＋2e x，f ′(0)＝2. 因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是2x －y －1＝0.C 级 能力拔高求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解析] 解法1：设切点坐标为(x 0，x 20)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12， ∴切点坐标为(12，14)， ∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.解法2：设与抛物线y ＝x 2相切且与直线x －y －2＝0平行的直线l 的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y ＝x2得x 2－x －m ＝0. ∵直线l 与抛物线y ＝x 2相切，∴判别式Δ＝1＋4m ＝0，∴m ＝－14， ∴直线l 的方程为x －y －14＝0， 由两平行线间的距离公式得所求最短距离d ＝|－2＋14|2＝728. 解法3：设点(x ，x 2)是抛物线y ＝x 2上任意一点，则该点到直线x －y －2＝0的距离d ＝|x －x 2－2|2＝|x 2－x ＋2|2＝22|x 2－x ＋2| ＝22(x －12)2＋728. 当x ＝12时，d 有最小值728，即所求的最短距离为728.。
高中数学北师大版选修2-2教师用书第2章 §3 计算导数 Word版含答案
§计算导数
.理解导数的概念.(重点)
.会用导数定义求简单函数的导数.
.记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数.(难点)
教材整理导函数的概念
阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题.一般地，如果一个函数()在区间(，)上的每一点处都有导数，导数值记为′()：′()＝，则′()是关于的函数，称′()为()的导函数，通常也简称为导数.
若函数()＝(－)，那么′()＝.
【提示】∵()＝－＋，
∴＝＝＋Δ－.
故′()＝＝(＋Δ－)＝－.
【答案】－
教材整理导数公式表
阅读教材“习题－”以上部分，完成下列问题.
给出下列命题：
①＝，则′＝；
②＝，则′＝－；③＝，则′＝；
④＝，则′＝).
其中正确命题的个数为( )
【解析】对于①，′＝，故①错误；显然②③④正确，故选.
【答案】
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
()＝；()＝；()＝；()＝.
【精彩点拨】首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式.
【自主解答】()′＝()′＝.
()′＝′＝(－)′＝－－＝－.
()′＝()′＝ .
()′＝()′＝).。
数学北师大选修22教材基础 第二章§3计算导数 含答案
§3 计算导数导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式.高手支招1细品教材 一、导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间（a ，b ）上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x):f′(x)=0lim→∆xx f x x f ∆-∆+)()(,则f′(x)是关于x 的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也称为导数.二、几种常见函数的导数 1.设y=c(常数)，则y′=0.（1）表述：常数函数的导数为零. （2）证明：∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=c-c=0,xy ∆∆=0, ∴y′=c′=0lim→∆xy∆∆=0.∴y′=0. （3）我们可以用几何图形对公式加以说明：因为y=c 的图像是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 【示例】设y=π2，则y′等于（ ）A.2πB.πC.0D.以上都不是思路分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可.因为π是常数，常数的导数为零，所以选C.答案：C状元笔记函数f(x)=x 、f(x)=x 2、f(x)=x -1是函数f(x)=x n (n ∈R )的特殊情况，它们的导数也是f(x)=x n (n ∈R )导数的特殊情况. 2.(x n )′=nx n-1(n 为实数).表述：正整数指数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的(n-1)次幂的乘积. 【示例】求函数y=321x在点x=8处的导数.解：y=x32-,y′=32-x 35-,y′|x=8=32-·835-=481-.3.(sinx)′=cosx.（1）表述：正弦函数的导数等于余弦函数. （2）证明：y ＝f(x)=sinx ，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx -sinx ，xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin ， y′=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x xxx x x x ∆-∆+∆sin sin cos cos sin=0lim→∆x xxx x x ∆∆+-∆sin cos )1(cos sin=0lim→∆x +∆∆-xxx )22sin 2(sin 0lim →∆x x x x ∆∆sin cos =0lim →∆x 4)2(22sin )sin 2(2x x x x ∆•∆∆•-+cosx =-2sinx·1·0+cosx=cosx ，∴y′=cosx. 【示例】求曲线y=sinx 在点A(6π,21)处的切线方程. 解：y′=cosx,曲线在点A 处的切线斜率为y′6|x x ==cos 6π=23. 所以，所求切线方程为y 21-=23(x-6π)，即63x-12y-3π+6=0. 状元笔记有些式子不能直接应用导数的公式，可以变形之后再应用导数公式. 4.(cosx)′=－sinx.（1）表述：余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号. （2）证明：Δy=cos(x+Δx)-cosx=cosxcosΔx -sinxsinΔx -cosx,y′=0lim→∆x =∆∆x y 0lim→∆x x xx x x x ∆-∆-∆cos sin sin cos cos =0lim →∆x xx x x x ∆∆--∆sin sin )1(cos cos =0lim →∆x -∆∆-xxx )2sin 2(cos 20lim →∆x x x x∆∆sin sin =0lim →∆x 1sin 4)2(2sin )cos 2(22•-∆•∆∆-x x x x x =-2cosx·1·0-sinx=-sinx, ∴y′=-sinx【示例】求过曲线y=cosx 上点P(3π,21)且与过这点的切线垂直的直线方程. 思路分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程. 解：∵y=cosx ， ∴y′=-sinx.曲线在点P(3π,21)处的切线斜率是y′3|π=x =-sin 3π=23-.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为32，∴所求的直线方程为y 21-=32(x-3π)， 即2x-3y-32π+23=0. 高手支招2基础整理本节首先通过几个常用函数的导数的推导过程,进一步理解导数的定义.然后引入了几种常见的基本初等函数的导数公式. 几种常见函数的导数高手支招3综合探究1.通过函数y=f(x)在x 0处的导数的定义，探究x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导与y=f(x)在(a,b)内处处可导的等价性.自变量x 在x 0处有增量Δx,那么相应地函数y 也有增量Δy=f(x 0+Δx)－f(x 0),若0lim→∆x xy∆∆存在,则这个极限值为y=f(x)在x=x 0处的导数.x 0∈(a,b)时,y=f(x)在x 0处可导,只能说明在(a,b)内某一点x 0可导,而不能说明(a,b)内每点处都有导数,所以不能得到y=f(x)在(a,b)内处处可导;反之，y=f(x)在(a ，b)内处处可导，因为x 0∈(a,b),所以y=f(x)在x 0处可导，所以，y=f(x)在x 0∈(a,b)处可导是y=f(x)在（a,b ）内处处可导的必要而不充分条件. 2.求函数导数的流程图.我们根据导数的概念，可以得到一个求函数导数的流程图.利用该流程图可以推导出常见函数的导数.。
2019-2020学年北师大版数学选修2-2讲义：第2章 §3 计算导数 Word版含答案
姓名，年级：时间：§3计算导数学习目标核心素养1．理解导数的概念．(重点)2．会用导数定义求简单函数的导数．（难点)3。
记住基本初等函数的求导公式，并能用它们求简单函数的导数．（重点）1．通过导数概念的学习，提升学生的数学抽象的核心素养.2．通过求简单函数的导数的学习,培养学生数学运算的核心素养.1．导函数的概念一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b）上的每一点x处都有导数，导数值记为f′（x):f′(x）＝错误!错误!，则f′(x)是关于x的函数，称f′（x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数．2．导数公式表函数导函数y＝c（c是常数）y′＝0y＝xα（α是实数)y′＝αxα－1y＝a x(a>0，a≠1)y′＝a x ln_a,特别地(e x)′＝e xy＝log a x(a〉0，a≠1)y′＝错误!，特别地（ln x)′＝错误!y＝sin x y′＝cos_xy＝cos x y′＝－sin_xy＝tan x y′＝错误!y＝cot x y′＝－错误!错误!错误!＝αxα－1"得到，即(x)′＝1，(x2）′＝2x，错误!错误!＝－错误!，（错误!）′＝错误!。
1．给出下列命题:①y＝ln 2，则y′＝错误!；②y＝错误!，则y′＝－错误!；③y＝2x,则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝错误!.其中正确命题的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4C[对于①，y′＝0，故①错误；显然②③④正确，故选C.]2．若函数f(x)＝(x－1）2，那么f′（x）＝________.2x－2 ［∵f（x）＝x2－2x＋1,∴错误!＝错误!＝2x＋Δx－2．故f′(x)＝错误!错误!＝错误!（2x＋Δx－2)＝2x－2．］3．若f(x）＝10x，则f′(1)＝________。
10ln 10 [f′(x）＝10x ln 10,∴f′(1)＝10ln 10。
]利用导数公式求函数的导数（1）y＝x12；(2)y＝错误!；(3)y＝3x；（4)y＝log5x.思路探究：首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．［解] (1)y′＝（x12)′＝12x11．（2)y′＝错误!错误!＝（x－4)′＝－4x－5＝－错误!。
高中数学选修2-2 北师大版 第2章 §3 计算导数 作业(含答案)
第二章 §3一、选择题1．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝1x ，则y ′＝1x 2B ．若y ＝x ，则y ′＝12xC ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xD ．若y ＝ln x ，则y ′＝1x解析： ⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，(x )′＝12x ，(cos x )′＝－sin x ，(ln x )′＝1x . 答案： D2．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．±4D ．不确定解析： f ′(x )＝a ·x a －1，f ′(－1)＝a ·(－1)a －1＝－4， ∴a ＝4. 答案： B3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析： y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1，由ln x 0－1＝0得x 0＝e.又∵k ＝1x 0，∴k ＝1e .答案： C4．已知直线ax －by ＋2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13解析： 曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3x 2|x ＝1＝3，直线ax －by ＋2＝0斜率k ′＝a b ，由题意可得3×a b ＝－1，故a b ＝－13.答案： D二、填空题5．若已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，且f ′(x )＋g ′(x )≤0，则x 的取值为_____________． 解析： ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ．g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得到－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1.∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .答案： 2k π＋π2，k ∈Z6．曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 在点A ⎝⎛⎭⎫－π3，12处的切线方程为_________________． 解析： ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴切线的斜率k ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝32， ∴过点⎝⎛⎭⎫－π3，12的切线方程为y －12＝32⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 即33x －6y ＋3π＋3＝0. 答案： 33x －6y ＋3π＋3＝0 三、解答题7．求下列函数的导数． (1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ； (4)y ＝log 12x ；(5)y ＝2cos 2x2－1.解析： (1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0. (2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34 )′＝34x 34 －1＝34x －14 ＝344x. (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ， ∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln 10. (4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a，。
高中数学选修2-2 北师大版 导数的概念 同步训练(含答案)
§2导数的概念及其几何意义2.1导数的概念双基达标(限时20分钟)1．函数f(x)在x0处可导，则li mh→0f(x0＋h)－f(x0)h()．A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B2．设函数f(x)在点x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()．A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b解析∵ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝a＋bΔx.∴f′(x0)＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝a.答案 C3．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()．A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的导数D．在区间[x0，x1]上的导数解析根据平均变化率的定义可知，当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比就是函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．答案 A4．设f (x )在点x ＝x 0处可导，且f ′(x 0)＝－2，则li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx等于 ________．解析 li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝li m Δx →0 f [x 0＋(－Δx )]－f (x 0)－Δx＝f ′(x 0)＝－2. 答案 －25．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为________．解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案 －4.8 m/s6．利用导数的定义，求函数y ＝1x 2＋2在点x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(x ＋Δx )2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋2 ＝－2x Δx －(Δx )2(x ＋Δx )2·x 2， ∴Δy Δx ＝－2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －2x －Δx (x ＋Δx )2·x 2＝－2x 3， ∴y ′|x ＝1＝－2.综合提高 (限时25分钟)7．设函数f (x )＝ax ＋3，则f ′(1)＝3，则a 等于( )． A ．2B ．－2C ．3D ．－3 解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)Δx ＝a ， ∴f ′(1)＝a ＝3.答案 C8．函数f(x)在x＝a处有导数，则limh→a f(h)－f(a)h－a为()．A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 解析令h－a＝Δh，则有h＝a＋Δh.h→a等价于Δh→0，原式可化为limΔh→0f(a＋Δh)－f(a)Δh，由导数的定义易得B.答案 B9．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.解析f′(－1)＝limΔx→0f(－1＋Δx)－f(－1)Δx＝limΔx→0a(－1＋Δx)3－a(－1)3Δx＝limΔx→0[a(Δx)2－3aΔx＋3a]＝3a＝3.∴a＝1.答案 110．曲线f(x)＝x在点(4,2)处的瞬时变化率是________．解析ΔfΔx＝f(4＋Δx)－f(4)Δx＝4＋Δx－2Δx＝14＋Δx＋2，∴limΔx→0ΔfΔx＝14.答案1 411．如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，求t＝4时，limΔt→0ΔyΔt的值．解∵Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3) ＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，∴ΔyΔt＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48ΔtΔt＝(Δt)2＋12Δt＋48.∴limΔt→0ΔyΔt＝limΔt→0[(Δt)2＋12Δt＋48]＝48.12．(创新拓展)服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间。
数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 3 计算导数 活页作业7
活页作业(七) 计算导数1．下列各式中正确的个数是( ) ①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③⎝⎛⎭⎫1x ′＝－12x －32；④(5x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：②(x －1)′＝－x －2.⑥(cos 2)′＝0. 答案：B2．已知过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，2B ．⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－2 D ．⎝⎛⎭⎫12，－2 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)． ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x 2.解k ＝－1x 20＝－4，得x 0＝±12.当x 0＝12时，y 0＝2；当x 0＝－12时，y 0＝－2.答案：B3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5D ．－5解析：f (x )＝x a ，f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 答案：A4．已知曲线y ＝f (x )＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( )A ．4B ．－4C ．28D ．－28解析：∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8.① 又f ′(2)＝3×22＝12＝k ，②由①②可得：k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28. 答案：C5．若曲线y ＝f (x )＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：设切点为(x 0，y 0)，l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4x 30＝4，x 0＝1， ∴切点为(1,1)．∴l 的方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0. 答案：A6．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝__________.解析：f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1f ′(2)，∴m ＝－4.答案：－47．设坐标平面上的抛物线E ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作曲线E 的切线l ，则l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：∵y ′＝2x ， ∴l ：y －a 2＝2a (x －a )． 令x ＝0，得y ＝－a 2.∴l 与y 轴的交点坐标为(0，－a 2)． 答案：(0，－a 2)8．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝ 3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，切点为(－1，－14)． ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)， 即3x －y －11＝0.答案：3x －y －11＝0 9．求下列函数的导数： (1)y ＝x 16； (2)y ＝1x 8；(3)y ＝5x 3.解：(1)y ′＝(x 16)′＝16x 15；(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 8′＝ (x －8)′＝－8x －9＝－8x 9； (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.10．求曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线方程． 解：∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴曲线过点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线的斜率为 －sin π3＝－32.∴所求切线方程为y －12＝－32⎝⎛⎭⎫x －π3， 即3x ＋2y －1－33π＝0.11．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为________． 解析：y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝e x 0，②k ＝e x 0，③∴e x 0＝e x 0·x 0.∴x 0＝1.∴k ＝e. 答案：e12．若曲线y ＝x －12在点 (a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝__________________.解析：∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32.∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32.∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案：6413．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 的值等于________．解析：如右图，在△ABC 中，边AC 是确定的，要使△ABC 的面积最大．则点B 到直线AC 的距离应最大．可以将直线AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B 点的切线平行于直线AC 时，△ABC 的面积最大．f ′(m )＝12m ，A 点的坐标为(1,1)，C 点的坐标为(4,2)，∴k AC ＝2－14－1＝13.∴12m ＝13.∴m ＝94.答案：9414．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 015(x )． 解：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )， 可知周期为4，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x .15．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于P 点，直线l 2过P 点且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，作PK 垂直x 轴于K ，求KQ 的长．解：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，则kl 1＝y ′|x ＝x 0＝12x 0.又l 1与l 2垂直，故kl 2＝－2x 0 .于是l2：y－y0＝－2x0(x－x0)．令y＝0，则－y0＝－2x0(x Q－x0)．即－x0＝－2x0(x Q－x0)，解得x Q＝12＋x0.又由已知可得x K＝x P＝x0，∴KQ＝|x Q－x0|＝1 2.。
江西省高二数学北师大版选修2-2同步精练：2.3计算导数 Word版含答案
1.函数y 在x ＝9处的导数为( )．A ．B ．C ．D ．123213162．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，且f ′(x )＜g ′(x )，则( )．A ．x ＜0 B ．x ＞C ．0＜x ＜ D ．x ＜0或x ＞2323233．函数y ＝的图像在横坐标为x ＝－1的点处的切线方程为( )．1xA ．y ＝x ＋2B ．y ＝－x －2C ．y ＝－xD ．y ＝－x ＋24．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值为( )．A ．4B ．－4C ．5D ．－55．y ＝cos x 在x ＝处切线的斜率为( )．π6A B ． C ． D ．12-126．若f (x )＝e x ，则f ′(0)＝( )．A ．0B ．1C ．eD ．e x7．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为__________．8．若曲线y ＝x 2的一条切线的斜率为8，则切点的坐标为__________．9．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的一条切线，求k 的值．10．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．参考答案1.答案：D 解析：y ′＝)′＝()x ＝9时，y.12x 16=2.答案：D 解析：∵f (x )＝x 2，g (x )＝x 3且f ′(x )＜g ′(x )，∴2x ＜3x 2，∴3x 2－2x ＞0，∴x (3x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞.233.答案：B 解析：当x ＝－1时，y ＝＝－1，11-∴切点坐标为(－1，－1)．y ′＝，当x ＝－1时，k ＝－1.211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴y ＋1＝－1(x ＋1)，∴y ＝－x －2.4.答案：A 解析：f ′(x )＝(x α)′＝αx α－1，∵f ′(－1)＝－4，∴α(－1)α－1＝－4，只有α＝4时满足．5.答案：B 解析：y ′＝(cos x )′＝－sin x ，当x ＝时，k ＝－sin ＝.π6π612-6.答案：B 解析：f ′(x )＝(e x )′＝e x ，当x ＝0时，f ′(0)＝e 0＝1.7. 解析：由题意y ′＝3x 2，当x ＝1时，k ＝3.83∴切线的方程为y －1＝3(x －1)，与x 轴交点为，与x ＝2交点为(2,4)，2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭∴S ＝×4＝.12223-838.答案：(4,16) 解析：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x ＝8，∴x ＝4，∴y ＝42＝16，∴切点坐标为(4,16)．9．答案：解：设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝，∴f ′(x 0)＝＝k .1x 01x ∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上，∴把k ＝代入①得y 0＝1，再把y 0＝1代入②得x 0＝e.∴k ＝.0000,,ln y kx y x =⎧⎪⎨=⎪⎩①②01x 1e 10.解：∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1.由f ′(x )＋g ′(x )≤0得到－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋，k ∈Z ，π2∴x 的取值为.π|2π+,Z 2x x k k ⎧⎫=∈⎨⎬⎭⎩。
2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套：2.3计算导数2.3
函数 y=sin x y=cos x
tan x
导函数
y'=cos x
y'=-sin x
y'=
1 ������������������2 ������
y=cot x
y'=−
������������
1 ������ 2
������
【做一做 1】 下列结论正确的是( )
A.若 y=sin x,则 y'=cos x
当Δt趋于0时,2-10t-5Δt趋于2-10t.
即t s末的瞬时速度为(2-10t)m/s.
当t=1时,2-10t=-8,
故1 s末的瞬时速度为-8 m/s.
题型一 题型二 题型三
题型二 利用公式求导数
【例 2】 求下列函数的导数:
(1)y=x4;(2)y=x-2;(3)y=ex;(4)y=log2x;
).
2.导函数
一般地,如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,
导数值记为
f'(x):f'(x)=
lim
Δ������→0
f(x+������x)-f(x) ������x
,
则������′(������)是关于������的函数,
称������′(������)为������(������)的导函数, 通常也简称为导数.
s末的瞬时速度.
分析:在t s末的瞬时速度即为s在t处的导数,1 s末的瞬时速度即为
s在t=1处的导数.
解:利用导数的定义知
������ 2(������ + ������)-5(������ + ������)2-(2������-5������2)
山东高二数学北师大版选修2-2课时作业：2.3 计算导数 Word版含解析
选修2-2 第二章 §3 课时作业10一、选择题1．下列结论正确的个数为( ) ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证． 答案：D2．曲线y ＝1x 在点P 处的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫12，2B ．⎝⎛⎭⎫－12，－2或⎝⎛⎭⎫12，2 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－2 D ．⎝⎛⎭⎫12，－2解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2， 由－1x 2＝－4，解得x ＝±12.所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2，故选B. 答案：B3．曲线y ＝x 3上切线平行或重合于x 轴的切点坐标( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(1,0)D ．以上都不是 解析：(x 3)′＝3x 2，若切线平行或重合于x 轴则切线斜率k ＝0，即3x 2＝0得x ＝0， ∴y ＝0，即切点为(0,0)．故选A. 答案：A4．函数f (x )＝x 2与函数g (x )＝2x ( ) A ．在[0，＋∞)上f (x )比g (x )增长的快 B ．在[0，＋∞)上f (x )比g (x )增长的慢 C ．在[0，＋∞)上f (x )与g (x )增长的速度一样快 D ．以上都不对解析：函数的导数表示函数的增长速度， 由于f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝2.若2x >2即x >1时f (x )增长速度比g (x )增长速度快， 若2x <2即x <1时f (x )比g (x )增长速度慢， 在x ＝2时两者增长速度相同． 故选D. 答案： D 二、填空题5．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝__________. 解析：∵(10x )′＝10x ln10， ∴f ′(1)＝10ln10. 答案：10ln106．曲线y ＝x 2的垂直于直线x ＋y ＋1＝0的切线方程为________．解析：∵y ′＝2x ，直线x ＋y ＋1＝0的斜率为－1，所以2x ＝1，x ＝12，代入y ＝x 2得y＝14，即与直线x ＋y ＋1＝0垂直的曲线y ＝x 2的切线的切点坐标为(12，14)，故所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.答案：4x －4y －1＝07．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为__________．解析：在点(1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝(n ＋1)×1n ＝n ＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1.∴a n ＝lgn n ＋1.∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2.答案：－2三、解答题8．求抛物线y ＝x 2过点(52，6)的切线方程．解：设此切线过抛物线上的点(x 0，x 20)．由导数的意义知此切线的斜率为2x 0. 又∵此切线过点(52，6)和点(x 0，x 20)， ∴x 20－6x 0－52＝2x 0.由此x 0应满足x 20－5x 0＋6＝0.解得x 0＝2或3. 即切线过抛物线y ＝x 2上的点(2,4)和(3,9)． ∴所求切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)． 化简得y ＝4x －4，y ＝6x －9.9．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0，y 0＝ln x 0.①②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e. ∴k ＝1x 0＝1e.。
2021-2022高二数学北师大版选修2-2课后作业：2.3 计算导数 Word版含解析
§3计算导数课后作业提升1已知f(x)=x2,则f'(3)等于()A.0B.2xC.6D.9解析:f'(x)=2x⇒f'(3)=6.答案:C2若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0解析:由题意知,直线l的斜率为4,且y'=4x3,令4x3=4,得x=1,即切点为(1,1),所以过该点的切线方程为y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.故选A.答案:A3已知f(x)=xα,若f'(-1)=-4,则α的值为()A.4B.-4C.5D.-5解析:将选项中的值分别代入已知进行检验,只有选项A适合.答案:A4已知f(x)=x2,g(x)=x3,且f'(x)<g'(x),则()A.x<0B.x>23C.0<x<23D.x<0或x>23解析:∵f(x)=x2,g(x)=x3且f'(x)<g'(x),∴2x<3x2,∴3x2-2x>0,∴x(3x-2)>0,∴x<0或x>23.答案:D5直线y=12x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=.解析:由y=ln x,得y'=1x ,令1x=12,得x=2,故切点为(2,ln2),代入直线方程,得ln2=12×2+b,所以b=ln2-1.答案:ln2-16给出下列命题,其中正确的命题是.(填序号)①任何常数函数的导数都是零;②直线y=x上任意一点处的切线方程是这条直线本身;③双曲线y=1x上任意一点处的切线斜率都是负值;④直线y=2x和抛物线y=x2在x∈(0,+∞)上函数值增长的速度一样快.答案:①②③7求下列函数的导数: (1)y=x√x;(2)y=1x4;(3)y=√x35;(4)y=log2x2-log2x;(5)y=-2sin x2(1-2cos2x4).解:(1)y'=(x√x)'=(x32)'=32x32-1=32√x;(2)y'=(1x4)'=(x-4)'=-4x-4-1=-4x-5=-4x5;(3)y'=(√x35)'=(x35)'=35x35-1=35x-25=5√x25=3√x355x;(4)∵y=log2x2-log2x=2log2x-log2x=log2x,∴y'=(log2x)'=1xln2;(5)∵y=-2sin x2(1-2cos2x4)=2sin x2(2cos2x4-1)=2sin x2cos x2=sin x,∴y'=(sin x)'=cos x.8在曲线y=f(x)=1x2上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.分析:依据导数的几何意义先求出切点的横坐标,再代入方程求出纵坐标.解:设切点坐标为P(x0,y0),f'(x0)=-2x0-3=tan135°=-1,即-2x0-3=-1,∴x0=213.代入曲线方程得y0=2-23,∴点P的坐标为(213,2-23).。
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基础巩固
1.y=cotx 的导数是（ ） A.y′=
x
2sin 1 B.y′=x 2cos 1- C.y′=x 2sin 1- D.y′=x 2cos 1 答案：C
思路分析：教材中已经给出了导数公式表，查表易求.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x 5，（2）y=21x
. 解：（1）y′=(x 5)′=5x 5-1=5x 4.
（2）y′=(21x )′=(x -2)′=-2x -2-1=3
2x -. 3.求下列函数的导数: (1)y=
31x ;(2)y=3x . 解：(1)y′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)y′=(3x )′=(x 31)′=31x 131-=31x 32
-. 思路分析：按照题目的形式特点利用相应的公式即可.
4.质点的运动方程是s=t 3(s:单位m ，t:单位s)，求质点在t=3时的速度. 解：v=s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2，
当t=3时，v=3×32=27(m/s)，
∴质点在t=3时的速度为27 m/s.
综合应用
5.求正弦曲线y=sinx 上切线斜率等于
21的点. 解：y′=cosx,y′o x x =|=
21，设切点为(x 0,y 0)，即cosx 0=21，∴x 0=2kπ±3π(k ∈Z ) ∴y 0=sinx 0=sin(2kπ±3π)=±2
3. 答:所求的点为(2kπ+3π,23)和(2kπ-3π,2
3-)(k ∈Z ). 6.设直线l 1与曲线y=
x 相切于P ，直线l 2过P 且垂直于l 1，若l 2交x 轴于Q 点，又作PK 垂直于x 轴，垂足为K ，求KQ 的长.
解：先确定直线l 2的斜率，再写出l 2的方程.设P(x 0,y 0)，则1l k =0|'x x y ==021x ，
由l 2与l 1垂直，故2l k =-20x ，于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0)，令y=0，则-y 0=-20x (x Q -x 0)，即-0x =-20x (x Q -x 0)，解得x Q =21+x 0，易见x K =x 0，于是|KQ|=|x Q -x K |=21.。