2016届高考数学理科一轮复习(北师大版)题库第5章第1讲平面向量的概念及其线性运算

第1讲 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
1．如图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量a －b 等于( )
A ．－e 1－3e 2
B ．e 1＋3e 2
C ．－e 1＋3e 2
D ．e 1－3e 2
解析 由图可知a ＝2.5e 1＋1.5e 2，b ＝1.5e 1＋4.5e 2，a －b ＝e 1－3e 2，故选D.答案 D
2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，
且四边形ABCD 为平行四边形，则( )
A ．a －b ＋c －d ＝0
B ．a －b －c ＋d ＝0
C ．a ＋b －c －d ＝0
D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0
解析 依题意得，AB
→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有
OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0，选A. 答案 A
3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R)，那么A 、B 、C
三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
解析 由AB
→＝λa ＋b ，
AC
→＝a ＋μb (λ、μ∈R)及A 、B 、C 三点共线得： AB
→＝tAC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝ta ＋tμb ， 即可得⎩⎨⎧
λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.故选D.
答案 D
4．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→
(λ∈R )，
A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上
D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上
解析 若A 成立，则λ＝12，而1
μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1
μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1
μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D
5．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝
13⎝ ⎛⎭⎪⎫
12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )． A ．AB 边中线的中点
B ．AB 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．AB 边的中点
解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP
→＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC
→，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是
CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B
6．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF
→＝( )
A. 12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →
C ．－12AB →＋12A
D → D. 12AB →－12AD →
解析 在△CEF 中，有EF
→＝EC →＋CF →，因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的中点，所以CF
→＝12CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋12CB →＝12AB →＋
12DA →＝12AB →－12AD →
. 答案 D 二、填空题
7．设a ，b 是两个不共线向量，AB
→＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，
D 三点共线，则实数p 的值为________．
解析 ∵BD
→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，
∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.
即⎩⎨⎧
2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －1
8. 如图，在矩形ABCD 中，|AB →|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，则|a
＋b ＋c |＝________.
解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD →|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝
|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4. 答案 4
9．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则
△ABC 的形状为________．
解析 OB
→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB
→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.
故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形
10．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO
→＝xAB →＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是________． 解析 ∵AO
→＝xAB →＋AC →－xAC →，
∴AO
→－AC →＝x (AB →－AC →)，即CO →＝xCB →＝－3xCD →， ∵O 在线段CD 上(不含C 、D 两点)上运动， ∴0<－3x <1，∴－1
3<x <0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0
三、解答题
11．如图，过△OAB 的重心G 的直线与OA 、OB 分别交于P 、Q ，
设OP
→＝hOA →，OQ →＝kOB →，求证：1h ＋1k
是常数．
证明 OG →＝λ1OP →＋(1－λ1)OQ →(λ1
∈R)，OM →＝12OA →＋12OB →，且 O 、G 、M 三点
共线，G 为重心，故OG
→＝23OM →，
即λ1OP →＋(1－λ1
)OQ →＝23×12(OA →＋OB →)． 又∵OP
→＝hOA →，OQ →＝kOB →， ∴λ1(hOA →)＋(1－λ1
)(kOB →)＝13(OA →＋OB →)． 而OA →与OB →为三角形两邻边，∴OA →、OB →不共线． ∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ1h ＝1
3，
(1－λ1)k ＝13.
消去λ1得13h ＝3k －13k ，即1h ＋1
k ＝3.
12． (1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2
，CD →＝
4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．
(2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．
(1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →
＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2
. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →， 又因为AB
→，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，
AB →＝2e 1＋k e 2
， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，
设D B →＝λAB →
，所以⎩⎨⎧
－1＝2λ，4＝λk
⇒k ＝－8.
13． 如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝1
3AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝1
2BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ
→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．
解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA
→＝MA →－MQ →＝12BM →＋
λMC
→，
又∵AP
→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC
→＝12MC →，∴λ＝12
.
14．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA
→＋GB →＋GO →；
(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA
→＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1
m ＋1
n ＝3.
(1)解 ∵GA
→＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，
∴GA
→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.
(2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝1
3(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝
λGQ
→. 而PG
→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ
→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫
13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧
13－m ＝－13λ，
13＝λ⎝ ⎛
⎭⎪⎫n －13，
消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1
n ＝3.。