北京大学附属中学河南分校(宇华教育集团)2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题含答案

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项
是符合题目要求的）.
1.两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2
R 如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A ．模型1的相关指数2R 为0.99
B ．模型2的相关指数2R 为0.88
C ．模型3的相关指数2R 为0.50
D ．模型4的相关指数2R 为0.20
2.按照图1—图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）
A ．36
B ．40
C ．44
D ．52
3.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（ ）
A ．演绎推理
B ．类比推理
C ．合情推理
D ．归纳推理
4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
A ．假设三内角都不大于60度；
B ．假设三内角至多有一个大于60度
C ．假设三内角都大于60度
D ．假设三内角至多有两个大于60度
5.若复数23z i =-，则该复数的实部和虚部分别为（ ）
A ．2,3i -
B ．2，3
C ．-3，2
D ．2，-3
6.若复数(8)z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7.在ABC ∆中，::1:2:3,A B C CD AB ∠∠∠=⊥于D ，AB a =，则BD =（ ）
A ．4a
B ．3a
C ．2a
D ．34
a 8.已知三角形的3条中位线分别为3cm cm ，4,6cm ，则该三角形的周长是（ ）．
A ．10cm
B ．13cm
C ．24cm
D ．26cm
9.直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中一个是边长为30的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（ ）
A ．15
B ．22.5
C ．45
D ．90
10.如图，在ABC ∆中：//,//DE BC EF CD ，若3,2,1B C D E D F ===，则AB 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．4.5
D ．5
11.下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过点（ ）
A ．()2,2
B ．()1.5,2
C ．()1,2
D ．()1.5,4
二、填空题（共4题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.已知()211i a i i
-=-+，则a = ________． 14.若两个相似三角形的周长比为3：4，则它们的三角形面积比是________．
15.在等差数列{}n a 中，我们有1234563462
a a a a a a a a ++++++=，则在正项等比数列
{}n b 中，我们可以得到类似的结论是 ________．
16.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且14CF CD =，下列结论：
①030BAE ∠=，②
ABE AEF ∆∆,③AE EF ⊥,④ADF ECF ∆∆．其中正确的有
________．
三、解答题 （本大题共6小题，17题10分，其余为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题10分）
已知复数1z 满足()()1211z i i -++=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z 是实数，（1）求1z ，（2）求2z ．
18.（本题12分）
（1）用反证法证明：已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：a b c 、、中至少有一个数不大于13
（2>
19.（12分）
如图，在等腰梯形ABCD 中，//,AD BC AB DC =，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ，求证：（1）ABC DCB ∆≅∆；（2）DE DC AE BD =．
20.（本题12分）
如图，在ABC ∆中，0
90C ∠=，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．
（1）求证：BA BM BC BN =；
（2）如果CM 是O 的切线，N 为OC 的中点，当3AC =时，求AB 的值．
21.（本题12分）
为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
（1）求,,,m n s t 的值；
（2）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；
（3）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者帮助与性别有关．
参考公式：
在22⨯列联表：
随机变量
()()()()()
2
2,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++
22.（本小题满分12分）
某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如下表所示
（1）请根据上表提供的数据，求最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；
（2）据此估计2012年该城市人口总数．
参考公式：1
221ˆˆˆ,n i i
i n i i x y nxy b a
y bx x nx
==-==--∑∑
参考答案
一、选择题
ABACD CADBC DC
二、填空题
13. -1 14. 9:16=
②③
三、解答题
17.【解析】（1）∵()()1211z i i -+=-，∴12z i =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）设22,z a i a R =+∈，
则()()()()1222224z z i a i a a i =-+=++-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵12z z R ∈，
∴4a =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴242z i =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.解：(1)假设a b c 、、 都大于
13
，则1a b c ++>，这与已知1a b c ++=矛盾． 故a b c 、、中至少有一个不大于13．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 （2）略．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
∵//AD BC ，∴,DAC ACB EAD ABC ∠=∠∠=∠．
∴,DAC DBC EAD DCB ∠=∠∠=∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∵//ED AC ，∴EDA DAC ∠=∠．∴EDA DBC ∠=∠，∴
ADE CBD ∆∆．．．．．．．．．．．．10分
∴::DE BD AE CD =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴DE DC AE BD =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.（1）证明：连接MN 则090BMN ACB ∠==∠，
∴ACB NMB ∆∆，∴BC AB BM BN
=，∴AB BM BC BN =．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
（2）解：连接OM ，则0
90OMC ∠=，
∵N 为OC 中点，∴MN ON OM ==，∴060MON ∠=， ∵OM OB =，∴01302
B MON ∠=∠=． ∵090ACB ∠=，∴2236AB A
C ==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21.（1）30，160，430，300．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）14%．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（3）9.967 6.635k =>，能，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
22.（本题满分12分）
解：（1）∵2,10x y ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
51
051728311419132i
i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑， 522222*********i i x
==++++=∑．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴1
221ˆˆˆ3.2, 3.6n i i
i n i i x y nxy b a y bx x nx
==-===-=-∑∑．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
故y 关于x 的线性回归方程为ˆ 3.2 3.6y x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（2）当5x =时，ˆ 3.2*5 3.6y =+ ，即ˆ19.6y =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
据此估计2012年该城市人口总数约为196万．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。