2021版新高考数学一轮集训5 一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法 建议用时：45分钟
一、选择题
1．已知R 是实数集，集合A ＝{x |x 2
－x －2≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |x －62x －1≥0，则A ∩(∁R B )
＝( )
A.(1，6) B ．[－1，2] C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2
D ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤
12，2
C [由x 2
－x －2≤0可得A ＝{x |－1≤x ≤2}．由x －6
2x －1≥0得
⎩⎨⎧（x －6）（2x －1）≥0，2x －1≠0，
所以B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜1
2或x ≥6，
所以∁R B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |12≤x ＜6， 所以
A ∩(∁R
B )＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |12≤x ≤2.故选C.]
2．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则不等式2x 2＋bx ＋a ＞0的解集为( )
A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12 B ．⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12
C ．{x |－2＜x ＜1}
D ．{x |x ＜－2或x ＞1}
A
[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1＋2，2a ＝－1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧b
a ＝－1，
2a ＝－2，
解得⎩
⎨⎧a ＝－1，b ＝1，
则不等式2x 2＋bx ＋a ＞0，即为2x 2＋x －1＞0，解得x ＞1
2或x ＜－1，故选A.] 3．不等式2x 2－4x ＞22ax ＋a 对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，4) B ．(－4，－1)
C ．(－∞，－4)∪(－1，＋∞)
D ．(－∞，1)∪(4，＋∞)
B [∵不等式2x 2－4x ＞22ax ＋a 对一切实数x 都成立，
∴x 2－4x >2ax ＋a 对一切实数x 都成立，即x 2－(4＋2a )x －a >0对一切实数x 都成立．
∴Δ＝(4＋2a )2－4×(－a )<0，即a 2＋5a ＋4<0. ∴－4<a <－1，
∴实数a 的取值范围是(－4，－1).]
4．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对任意的x ∈(1，4)都有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1
C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
D [∵对任意的x ∈(1，4)，都有f (x )＝ax 2－2x ＋2>0恒成立，∴a >2（x －1）
x 2
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
14－⎝
⎛⎭⎪⎫1x －122，对任意的x ∈(1，4)恒成立，∵14<1x <1，
∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12，
∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞.]
5．(2019·辽宁师大附中模拟)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( )
A ．[－4，1]
B ．[－4，3]
C ．[1，3]
D ．[－1，3]
B [原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解集为{1}，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，
即1<a ≤3， 综上可得－4≤a ≤3.] 二、填空题
6．(2019·石家庄模拟)不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，
∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，1.]
7．(2019·江淮十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ＜1
2
，1x ，x ≥12，则不等式x 2·f (x )＋x －2≤0
的解集是________．
{x |－1≤x ≤1} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，
3x 2＋x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2
·1x ＋x －2≤0，即
⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1
2，－1≤x ≤23或⎩⎪
⎨⎪⎧x ≥12，x ≤1，
∴－1≤x ＜12或12≤x ≤1，即解集为{x |－1≤x ≤1}．] 8．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－235，＋∞ [法一：由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图
象的示意图如图．所以不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.
法二：原题即转化为a ＞－x ＋2x 在[1，5]上有解，设－x ＋2
x ＝f (x )，即a ＞f (x )min ，f (x )＝－x ＋2
x 在[1，5]上是减函数，
∴a ＞f (5)＝－23
5.] 三、解答题
9．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＜0的解集是(0，5). (1)求f (x )的解析式；
(2)若对于任意的x ∈[－1，1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围． [解] (1)由题意可知，0，5是f (x )＝0的两个实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＋5＝－b
2，5×0＝c 2，∴⎩⎨⎧b ＝－10，c ＝0，
即f (x )＝2x 2－10x .
(2)由(1)可知不等式2x 2－10x ＋t ≤2对∀x ∈[－1，1]恒成立． 即2x 2－10x ＋t －2≤0在[－1，1]上恒成立， ∴⎩⎨⎧2＋10＋t －2≤0，2－10＋t －2≤0，∴⎩⎨⎧t ≤－10，t ≤10，∴t ≤－10. 即t 的取值范围为(－∞，－10].
10．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
[解] (1)根据题意得200⎝ ⎛
⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－
14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10，故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10].
(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛
⎭⎪⎫5x ＋1－3x
＝9×104⎝ ⎛
⎭⎪⎫5＋1x －3x 2
＝9×104⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，
故x ＝6时，y max ＝457 500元，即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．
1．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价应定为( )
A ．12元
B ．16元
C ．12元到16元之间
D ．10元到14元之间
C [设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 由题意得(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16.
所以每件销售价应为12元到16元之间，故选C.]
2．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________． 1±5
2
[由题意可知，方程x 2－2ax ＋a ＝－1有唯一解， ∴Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，即a ＝1±5
2.]
3．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．
9 [由题意知f (x )＝x 2
＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22
＋b －a 24.
因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 2
4. 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22
.
又f (x )＜c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22
＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c .
所以⎩⎪⎨⎪⎧－a
2－c ＝m ，①
－a
2＋
c ＝m ＋6.②
②－①，得2c ＝6，所以c ＝9.] 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .
(1)若a ＝2，试求函数y ＝
f （x ）
x (x >0)的最小值；
(2)对于任意的x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，依题意得y ＝f （x ）x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋
1
x －4.因为x >0，所以x ＋1
x ≥2，
当且仅当x ＝1
x 时，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝
f （x ）
x
的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，
所以要使得“∀x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0，2]上恒成立”．
不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，
则只要g (x )≤0在[0，2]上恒成立即可，所以⎩⎨⎧g （0）≤0，
g （2）≤0，
即⎩⎨⎧0－0－1≤0，
4－4a －1≤0， 解得a ≥34，
则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34，＋∞.
1．(2019·福州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (ac ≠0)，若f (x )＜0的解集为(－1，m )，则下列说法正确的是( )
A ．f (m －1)＜0
B ．f (m －1)＞0
C ．f (m －1)必与m 同号
D ．f (m －1)必与m 异号
D [∵f (x )＜0的解集为(－1，m )，
∴－1，m 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(ac ≠0)的两个实数根，且a ＞0. ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －m ).
∴f (m －1)＝－am 与m 必异号． 故选D.]
2．(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．
(－3，0)∪(3，＋∞) [设x <0，则－x >0， 因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ).
又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎨⎧x ＞0，x 2－2x ＞x 或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2－2x ＞x ，解得x >3或－
3<x <0.
故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).]
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