函数单调性的判定及应用

周刊
函数单调性的判定及应用
周萍
(昆山经济技术开发区高级中学，江苏昆山215335)
摘要：函数是高中数学的重要组成部分，本文就函数单调性的判定方法作简要概括，并列举其在数学解题中的一系列应用。

关键词：单调性；判定；应用
函数是整个数学教学体系中的核心内容，几乎贯穿高中数学教学的全过程。

函数的单调性是在学习函数概念的基础上学习的，其为函数的研究奠定了基础，在教材中起着承前启后的重要作用，往往作为解题的有效依据，是高考命题中的热点，本文就函数单调性的判定方法及单调性在高考中的运用进行简要的分析和总结.
一、函数单调性的定义及其判定
(一） 定义
函数单调性定义：设/(x)是定义在D上的函数，对于任意的 X i，X2€D 且 X1〈X2，若 /(Xi )〈/(X2)，则 /(X)在D上为增函数；反之，则为减函数。

(二） 函数单调性的判定方法
1. 定义法
()作差法，即“取值—作差变形—判定符号一一下结论”这几个步骤。

()作商法：即“取值一作商变形—判定大小—
下结论”这几个步骤。

对于一些简单的初等函数用定义法可以很快的作出判定。

如：
例1讨论函数/(X)=X+*1在（，+W)上的单调性.
X
解：任取 X i、X2€(〇，+d:.)，设 X1〈X2
/(X i ) —/(X2)=(X i H---) —H---)
Xl X2 /
(X2—X i )i—X i X2)
X i X2
•••X i X2〉〇，X2—X i〉0，
•••当X i、X2€(〇, i]时，/(X i )>/(X2);当X i、X2^(i , +d)时，/(x )〈/X2),
.••函数/(X)=X+i在（0, i]上是减函数，在（，+d)
X
上是增函数．
2.性质法
在确定某些函数的单调性时，有时利用结论可以直接得到函数的增减性，如^=X+6，_y=a x2+X+c(a#0)"=
a (乒0)均可直接说出.
X
下面一些结论，在判断函数的单调性中也经常可以直接使用：
()函数一/(X)与函数/(X)的单调性相反；
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()当/(X)〉0或/X)〈0恒成立时，函数」、与/(X)的单调性相反;
(3)若/(x)，g(x)〉0都是增（减）函数，则/X)•g(x)仍为增（减）函数;
(’1.)若 /(x.)〉0, g(x.)〉0 且 /(x.)，g(x)都递增（减.)，则/X) •g(x)也递增（减）
()奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.
如：例K变题）讨论函数/(x)=x+i的单调性.
X
解：/(x)的定义域：x I X乒0}，/(x)是奇函数，故只需讨论/(X)在（0，+d)上的单调性，
由例i知/(x)=x+i在（0, i]上递减，在（，+«=)上
X
递增，
由奇函数对称性可知/(X)在（一d，—i]上递增，在(—i，0)上递减.
有些函数是由一些基本初等函数复合而成的，其单调性遵循“同增异减”原则，即①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增；②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减.
例 2 已知函数/(x)=log ^—^(〈^〈i，6〉0)为奇
6十X
函数，当x6(—i，a]时，/(X)的值域是（一d，i]，则a
解：易得 6=i，*_’g(x)=—,= —i+丄在 x6
X十i X十i
(—i，a]上递减，
又 0〈a〈i，/./(x)在 x 6 (—i，a]上递增，•••/()= i,•a= 2 .
3.导数法
在区间D上，若/(x)〉0,则/(x)在D上是增函数。

反之，则/(x)为减函数.
对于一些比较复杂的函数，比如函数的次数比较高或者未知数出现在分母上时，用导数的方法判定其单调性就比较简便.在判断含有参数的函数单调性时，需分类讨论，确定 /(X)的符号，从而确定函数单调性。

例3 (2016 •盐城三模）已知函数/(x)=m l n x(m6 R).
〇数学教学与研究
(1)若^=/(^)+工的最小值为0,求rn;
(2)设 g(x)=/(x)+rnx2+(rn2+2)x，求 g(x)的单调区间.
解：（1)略.（2) •••g(x)=rnlnx+rnx2+(rn2+2)x，
{2x Jr m')(mx+1)
..g(x)=-----------------，
x
当m<0时，g(x)>0,函数g(x)在（0，+⑴）上单调
递增；
当m〈0 时，由g Z(x)=0,得 x=—。

或 x=—，
2m
(A)若m=—2，则 g Z(x X0，g(x)在（0，+⑴）上单调
递减；
(B)若 m=—^，贝丨J——〈——，
当 10〈x〈30 时，/(x)〈0, /./(x)在（10,30)上递减.
•••当x=10 时，/(x)m a x=/(10) =16000，此时 a= 6 = 60，x=10.即为所求.
(二）利用函数单调性解不等式
对于高次、分式、抽象不等式，如果常规方法解决不了，就要运用“构造”这一桥梁，构造出恰当的函数，再用函数单调性可得到很快解决。

例5 (2016 •扬州模拟）已知函数/(x)=1x3+2x，对任意—3，3]，/(x—2)+/(x)〈0恒成立，则x的范围是________.
解：V/(x)是奇函数，/./(x—2)〈/(—x)
又 /’（x)=x2+2>0, //(x)在 R 上递增，/(x—2〈—x，/(x十x—2〈0.
由容’（工）>0，得工€(--m，----)，由g’（x)〈0,得 x
2m
----，+c
e (0，-2)U(
所以g(x)在(一2，一m)上递增，在(0，一:) (-1，十⑴）
m 与
上递减；
(0若m〈一2,贝l j—0 >—，
同理，g(x)在(一，一〇)上递增，在(0,一)与
m 2 m
(一 2，十⑴)上递减.
二、函数单调性的应用
(一）利用函数单调性求最值问题
在求最值问题时，通常会出现所求是一个关于某个参数的表达式.那么就要把表达式看成关于这个参数的函数，再运用函数单调性去找寻最值就水到渠成了。

例4 (2017 •南京二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板A B C D，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒.设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边A B B C分别为a厘米和6厘米，其中
(1)当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；
()试确定a，6，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.
(2)体积 V=(a—2x)(6 一2x) x = x [ab一2(a+6)x+ 4x2]->x G，b<60.
y^x{ab一4 v a b x+4x2)=4x3一240x2十3600x.当且 仅当a=b=60时，取等号.
设 /(x)=4x3—240x2十3600x，x G(0,30).则 /’（x)= 12(x一10)(x一30).
当 0〈x〈10 时，/(x)>0, //(x)在（0，10)上递增；
令 g()=x〖+x—2, •函数 g()在（G [ —3,3]上递
…得x G卜1，
增，/<—〈>x G
(三）利用单调性确定函数零点个数
例6函数/(x) ={
x2—2，x<0
2x—6 +l n x，x>0
的零点个数是
解：当x<0 时，令 x2—2 =0,得 x=—2,/(x)有一个零点.当 x>0 时，令 2x—6十lnx=0，得 lnx= 6 —2^.作 ^ =
l n x与^= 6 —2x的图象，两图象在（0，+⑴）上只有一个交点，即/(x)=2x—6 +l n x(x>0)只有一个零点.故答案为2.
判断函数是否存在零点可用数形结合法或零点存在性定理，而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性，解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如直接求解，或数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，或借助导数研究函数的单调性，得到函数的零点个数.而已知函数的零点个数，求表达式中参数的范围也成为高考中的热门考点。

例如：例7 ( 2016 •南京三模）设函数/(x)= (x—1x>a
{e2’z，g(x)=/(x)—b.若存在实数 6,使 g(x)恰—x—1,x〈a
有3个零点，则实数a的范围为________.
解：令^=工2 1，则：y'=2广，/•当x<2时，：y=工2 1
e.e.e.
G (一⑴，—2]，当x>2 时，y=—2^G
个零点，/a〈2 且一a一1〈 1a G
e2
(0，，2]，g(x)恰有三
(-1-e2，).
所以，从高中数学教学的全过程来讲，函数的单调性是函数性质中最核心的组成部分，其直接刻画了函数自变量与因变量之间的联系，也是研究函数其他性质的主要依据，并且是研究不等式、导数、三角函数、解析几何最值问题的最常用工具，是推进学生思维发展和数形结合主要参照物，串联着整个高中学段的各个层面，起着至关重要的桥梁作用。

参考文献：
[1]王院.从合理的课例设计谈教学的有效性—以函 数单调性为例[J].数学教学通讯，2016.
[2 ]范久良.浅谈函数单调性的应用[J].中国基础教育研 究，2006,9:45.
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