2019-2020年高考数学5月模拟试卷 理(含解析)

2019-2020年高考数学5月模拟试卷理（含解析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，P中元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5
2．（5分）已知复数z满足（4+3i）z=25（i是虚数单位），则z的虚部为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣D．
3．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）
A．5 B．C．D．
4．（5分）已知向量，若与平行，则实数x的值是（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
5．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）
A．i≤xx？B．i≤xx？C．i≤xx？D．i≤xx？
6．（5分）某班有34位同学，座位号记为01，02，…34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（）
A．23 B．09 C．02 D．16
7．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，若a2•a9=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35
8．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是（）
①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；
②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；
③若l∥α，α∥β，则l∥β；
④若l⊥α，l∥m，α∥β，则m⊥β．
A．①④B．①③C．②④D．②③
9．（5分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2﹣ab=0，若△ABC的面积为c，则ab的最小值为（）
A．24 B．12 C．6 D．4
10．（5分）若对任意的正实数t，函数f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．（﹣∞，2]
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上. 11．（4分）二项式的展开式中常数项为．
12．（4分）已知圆C：x2+y2﹣6y+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第二象限，则实数k=．
13．（4分）若不等式组表示的平面区域为M，不等式y≥x表示的平面区域为N．现随机向区域M内撒下一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为．
14．（4分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：
①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数：
②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；
③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；
④若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[0，]．
则所有正确结论的序号是．
15．（4分）计算C n1+2•C n22+…+n•C n n2n﹣1=n（1+2）n﹣1，可以采用以下方法：
构造恒等式C n0+C n12x+C n222x2+…+C n n2n x n=（1+2x）n，
两边对x求导，得C n12+2•C n222x+…+n•C n n2n x n﹣1=2n（1+2x）n﹣1，
在上式中令x=1，得C n1+2•C n22+…+n•C n n2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n•3n﹣1，
类比上述计算方法，计算C n12+22C n222+32C n323+…+n2C n n2n=．
三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．
（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求t的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．
17．（13分）已知函数f（x）=，方程f（x）=在（0，+∞）上的解按从小到达的顺序排成数列{a n}（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求S n的表达式．
18．（13分）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．
（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．
19．（13分）已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．
（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；否则，请说明理由．
20．（14分）已知函数f（x）=e x（sinx+cosx）+a，g（x）=（a2﹣a+10）e x（a∈R且a为常数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线过点（1，2），求实数a的值；
（Ⅱ）若存在实数x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）判断函数φ（x）=+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零点个数，并说明理由．
本题设有三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
21．（7分）已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．
（Ⅰ）写出矩阵M、N；
（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．
22．（7分）已知曲线C的方程为=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M是曲线C上任意一点，求点M到直线l距离的最小值．
23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣3．
（Ⅰ）若f（x）＜0，求x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求g（x）=3的最大值．
福建省龙岩市xx高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，P中元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5
考点：集合中元素个数的最值．
专题：集合．
分析：直接求出结合P，然后推出结果即可．
解答：解：集合M={1，2}，N={2，3}，
P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}={3，4，5}，
P中元素个数为5．
故选：B．
点评：本题考查结合的基本概念，基本知识的考查．
2．（5分）已知复数z满足（4+3i）z=25（i是虚数单位），则z的虚部为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣D．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数的乘除运算法则化简，求出复数的虚部即可．
解答：解：复数z满足（4+3i）z=25
则：z===4﹣3i．
复数的虚部为﹣3．
故选：A．
点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念．
3．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）
A．5 B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．
解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
∴，即b=2a，
∴，
∴离心率e=．
故选：D．
点评：本题主要考查双曲线的性质，要求熟练掌握双曲线的渐近线方程和离心率的公式．
4．（5分）已知向量，若与平行，则实数x的值是（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．
专题：计算题．
分析：由题意分别可得向量与的坐标，由向量平行的充要条件可建立关于x的方程，解之即可．
解答：解：由题意可得=（3，x+1），=（﹣1，1﹣x），
因为与平行，所以3×（1﹣x）﹣（x+1）×（﹣1）=0，
解得x=2
故选D
点评：本题为向量平行的问题，熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题．
5．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）
A．i≤x x？B．i≤xx？C．i≤xx？D．i≤xx？
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：根据流程图写出每次循环i，S的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案．解答：解：根据流程图，可知
第1次循环：i=2，S=；
第2次循环：i=4，S=；
…
第1008次循环：i=xx，S=；
此时，设置条件退出循环，输出S的值．
故判断框内可填入i≤xx．
故选：B．
点评：本题主要考察循环结构的程序框图和算法，属于基础题．
6．（5分）某班有34位同学，座位号记为01，02，…34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（）
A．23 B．09 C．02 D．16
考点：简单随机抽样．
专题：概率与统计．
分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
解答：解：从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于34的编号依次为21，32，09，16，其中第4个为16．
故选：D
点评：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
7．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，若a2•a9=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35
考点：等比数列的前n项和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列和对数的性质，结合题设条件导出log3a1+log3a2+…+log3a10=log3
（a1•a2•a3…a10）=log3（a2•a9）5，由此能够求出其结果．
解答：解：∵等比数列{a n}中，每项均是正数，且a2•a9=9，
∴log3a1+log3a2+...+log3a10=log3（a1•a2•a3 (10)
=log3（a2•a9）5
=log3310
=10．
故选：B．
点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列的通项公式和对数性质的合理运用．
8．（5分）已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是（）
①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；
②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；
③若l∥α，α∥β，则l∥β；
④若l⊥α，l∥m，α∥β，则m⊥β．
A．①④B．①③C．②④D．②③
考点：命题的真假判断与应用．
专题：空间位置关系与距离．
分析：①由已知可得：α∥β或相交，即可判断出正误；
②利用线面平行的性质定理即可判断出正误；
③利用线面面面平行的性质定理即可判断出正误；
④利用面面线面的平行与垂直的性质定理即可判断出．
解答：解：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β或相交，因此不正确；
②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，∴m⊂β，l⊄β，m⊂α，m⊂α，∴l∥m，因此正确；
③若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，因此不正确；
④若l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又l∥m，∴m⊥β，则m⊥β，正确．
故选：C．
点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．
9．（5分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2﹣ab=0，若△ABC的面积为c，则ab的最小值为（）
A．24 B．12 C．6 D．4
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：由题意和余弦定理可得C的值，进而由面积公式可得c和ab的关系，代入已知式子由基本不等式可得ab的不等式，解不等式可得．
解答：解：∵a2+b2﹣c2﹣ab=0，∴a2+b2﹣c2=ab，
∴由余弦定理可得cosC==，
∵C∈（0，π），∴C=，
∵△ABC的面积为c，∴absinC=c，
∴ab•=c，∴c=ab，
代入已知式子可得a2+b2﹣（ab）2﹣ab=0，
∴（ab）2+ab=a2+b2≥2ab，
整理可得（ab）2﹣4ab≥0，
解关于ab的不等式可得ab≥4，或ab≤0（舍去）
当且仅当a=b=2时取到等号，
∴ab的最小值为4，
故选：D．
点评：本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式和不等式的解法，属中档题．
10．（5分）若对任意的正实数t，函数f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．（﹣∞，2]
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：利用f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函数，可得f′（x）=3（x ﹣t）2+3（x﹣lnt）2﹣3a≥0在R上恒成立，分离参数a≤（x﹣t）2+（x﹣lnt）2，再求出右边的最小值，即可得出结论．
解答：解：∵f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函数，
∴f′（x）=3（x﹣t）2+3（x﹣lnt）2﹣3a≥0在R上恒成立，
∴a≤（x﹣t）2+（x﹣lnt）2，
（x﹣t）2+（x﹣lnt）2=2（x﹣）2+≥，
令y=t﹣lnt，则y′=1﹣，
∴（0，1）上，y′＜0，（1，+∞）上，y′＞0，
∴t=1时，y min=1，
∴的最小值为，
∴a≤，
故选：A．
点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确分离参数求最值是关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上. 11．（4分）二项式的展开式中常数项为7．
考点：二项式定理．
专题：计算题．
分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．
解答：解：展开式的通项是
=
令解得r=6
故展开式的常数项为=7
故答案为7
点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12．（4分）已知圆C：x2+y2﹣6y+8=0，若直线y=kx与圆C相切，且切点在第二象限，则实数k=﹣2．
考点：圆的切线方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：求出圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d=r，由点到直线的距离公式计算即可得到k，结合切点在第二象限，进而得到k的值．
解答：解：圆C：x2+y2﹣6y+8=0的圆心为（0，3），半径为r=1，
直线y=kx与圆C相切，即有
d==1，
解得k=±2．
由于切点在第二象限，则k=﹣2．
故答案为：．
点评：本题考查直线和圆的位置关系：相切，主要考查直线和圆相切的条件：d=r，注意点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
13．（4分）若不等式组表示的平面区域为M，不等式y≥x表示的平面区域为N．现随机向区域M内撒下一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为．
考点：几何概型；简单线性规划．
专题：概率与统计．
分析：画出区域M，N表示的图形，利用几何概型公式，只要求出两个区域的面积即可．
解答：解：由题意，区域M，N表示的图形如图
其中区域M是COE，区域N表示是区域OCD，由几何概型公式可得豆子落在区域N内的概率为：==；
故答案为：．
点评：本题考查几何概型，将基本事件“几何化”，实际问题转化为数学问题，将随机事件的概率抽象为几何概型是研究的关键．
14．（4分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：
①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数：
②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；
③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；
④若x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[0，]．
则所有正确结论的序号是①②．
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：画出函数的图象，①根据函数的单调性即可求出单调增区间；
②根据函数的对称中心即可求出函数f（x）的对称中心；
③根据函数图象的平移即可得到结论；
④根据函数单调性和定义域即可求出值域，进而得到正确结论的个数
解答：解：∵f（x）=，画出函数的图象如图所示
∴函数f（x）的增区间为{x|﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈z}
即{x|﹣π+kπ≤x≤+kπ，k∈z}，
∴区间[﹣，]是函数f（x）一个增函数：故①正确，
∴函数f（x）图象的对称中心为2x+=kπ，即x=kπ﹣，
当k=1时，x=，
∴点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故②正确，
对于③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到，故③错误；
对于④x∈[0，]，则函数f（x）的值域为[﹣1，]，故④错误．
故答案为：①②
点评：本题考查了正弦函数的单调性及对称性，同时要求学生掌握三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．
15．（4分）计算C n1+2•C n22+…+n•C n n2n﹣1=n（1+2）n﹣1，可以采用以下方法：
构造恒等式C n0+C n12x+C n222x2+…+C n n2n x n=（1+2x）n，
两边对x求导，得C n12+2•C n222x+…+n•C n n2n x n﹣1=2n（1+2x）n﹣1，
在上式中令x=1，得C n1+2•C n22+…+n•C n n2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n•3n﹣1，
类比上述计算方法，计算C n12+22C n222+32C n323+…+n2C n n2n=2n（2n+1）3n﹣2．
考点：类比推理．
专题：综合题；推理和证明．
分析：构造恒等式C n0+C n12x+C n222x2+…+C n n2n x n=（1+2x）n，两边对x求导，得
C n12+2•C n222x+…+n•C n n2n x n﹣1=2n（1+2x）n﹣1，两边同乘以x，得C n12x+2•C n222x2+…+n•C n n2n x n=2nx （1+2x）n﹣1，再两边对x求导，x=1，得结论．
解答：解：构造恒等式C n0+C n12x+C n222x2+…+C n n2n x n=（1+2x）n，
两边对x求导，得C n12+2•C n222x+…+n•C n n2n x n﹣1=2n（1+2x）n﹣1，
两边同乘以x，得C n12x+2•C n222x2+…+n•C n n2n x n=2nx（1+2x）n﹣1，
再两边对x求导，得C n12+22•C n222x+…+n2•C n n2n x n﹣1=2n（2n+1）（1+2x）n﹣2，
在上式中令x=1，得C n12+22C n222+32C n323+…+n2C n n2n=2n（2n+1）3n﹣2．
故答案为：2n（2n+1）3n﹣2
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．
（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求t的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（I）利用相互独立事件概率计算公式可得：，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为．ξ可取0，1，2．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）依题意，
∴t=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为．
ξ可取0，1，2．
，
，，
∴．
点评：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（13分）已知函数f（x）=，方程f（x）=在（0，+∞）上的解按从小到达的顺序排成数列{a n}（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求S n的表达式．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）方程f（x）=化为，可得=0，x∈（0，+∞），于是2x﹣=kπ，解得即可得出；（2）b n=，利用“裂项求和”即可得出．
解答：解：（1）方程f（x）=化为，∴=0，x∈（0，+∞），
∴2x﹣=kπ，解得x=，k∈Z．
∴a n=．（n∈N*）．
（2）b n===，
∴S n=π
=
=．
点评：本题考查了两角和差公式、数列“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（13分）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．
（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
分析：（Ⅰ）根据折叠前后的边角关系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE为正方形，从而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根据线面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根据面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）根据已知条件知道三直线EA，EC，ED两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，设EH=x，从而表示出HG=2﹣x，三棱锥B﹣GHE的高为AB=2，从而可表示出三棱锥B﹣GHE的体积V=，从而看出x=1时V最大，这时G为AD中点．从而可求G点坐标，求出向量坐标，可设平面BCD的法向量为={x，y，z}，根据即可求出，设直线BG与平面BCD所成角为θ，而根据sinθ=求出sinθ．
解答：解：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；
又AE∥BC交CD于点E；
∴四边形ABCE是边长为2的正方形；
∴AC⊥BE，DE⊥AE；
又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；
∴DE⊥平面ABCE；
∵AC⊂平面ABCE，∴AC⊥DE；
又DE∩BE=E；
∴AC⊥平面DBE；
∵AC⊂平面DAC；
∴平面DAC⊥平面DEB；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；
以E为原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；
设EH=x，则GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）；
∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；
∴=；∵0＜x＜2，∴x=1时，三棱锥B﹣GHE体积最大，此时，H为ED中点；
∵GH∥AE，∴G也是AD的中点，∴G（1，0，1），；
设是面BCD的法向量；
则
令y=1，得；
设BG与面BCD所成角为θ；
则=；
∴BG与平面BCD所成角的正弦值为．
点评：考查对折叠前后图形的观察能力，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，棱锥的体积公式，两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角的概念，直线和平面所成角与直线和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．
19．（13分）已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．
（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；否则，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）根据动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m，代入y2=4x，利用韦达定理，结合k PA+k PB=2k PG，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）设Q（x，y），根据题意得，…（2分）
整理得y2=4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）设存在符合题意的定点G．
设直线的方程为x=ny+m（n≠0且n∈R），则G（m，0）．…（5分）
将x=m+ny代入y2=4x，整理得y2﹣4ny﹣4m=0．
由题意得△=16n2+16m＞0，即n2+m＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4n，y1y2=﹣4m，
，，，
由题意得k PA+k PB=2k PG，即k PA+k PB﹣2k PG=0，
所以，…（7分）
即
…（9分）
把y1+y2=4n，y1y2=﹣4m代入上式，
整理得（m﹣2）n=（m+2）（2﹣m），…（11分）
又因为n∈R，所以，解得m=2．
所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为（2，0）．…（13分）
点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）=e x（sinx+cosx）+a，g（x）=（a2﹣a+10）e x（a∈R且a为常数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线过点（1，2），求实数a的值；
（Ⅱ）若存在实数x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）判断函数φ（x）=+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零点个数，并说明理由．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f'（0）=列式求得a的值；
（Ⅱ）把存在实数x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，转化为
，然后利用导数分别求出g（x）min和f（x）max，代入
，求解关于a的不等式得答案；
（Ⅲ）由φ（x）=0，得，转化为
，分别构造函数h（x）=1﹣x﹣xlnx，
，利用导数分别求得h（x）的最大值和t（x）的
最小值，由t（x）＞h（x）max，判断函数φ（x）在（0，+∞）上没有零点．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e x（sinx+cosx）+a，得
f'（x）=e x（sinx+cosx）+e x（cosx﹣sinx）=2e x cosx，
又曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线过点（1，2），得f'（0）=，
即2=1﹣a，解得a=﹣1；
（Ⅱ）存在实数x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，
即，
由（Ⅰ）知f'（x）=2e x cosx=0在x∈[0，π]上的解为，
函数f（x）在上递增，在上递减，∴，
又a2﹣a+10＞0恒成立，g（x）=（a2﹣a+10）e x在[0，π]上递增，
，
故，得a2﹣2a﹣3＜0，
实a的取值范围是（﹣1，3）；
（Ⅲ）由（x＞0），得
，化为，
令h（x）=1﹣x﹣xlnx，则h'（x）=﹣2﹣lnx，
由h'（x）=﹣2﹣lnx=0，得x=e﹣2，
故h（x）在上递增，在上递减，．
再令，
∵b＞1，∴函数在（0，+∞）上递增，．
知t（x）＞h（x）max，由此判断函数φ（x）在（0，+∞）上没有零点，
故φ（x）零点个数为0．
点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、存在量词等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是压轴题．
本题设有三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
21．（7分）已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．
（Ⅰ）写出矩阵M、N；
（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．
考点：几种特殊的矩阵变换．
专题：矩阵和变换．
分析：（Ⅰ）通过变换的特征即得结论；
（Ⅱ）由（I）得，通过题意可得，利用x′=y′计算即可．
解答：解：（Ⅰ）通过题意，易得M=，N=；
（Ⅱ）由（I）得，
由=，
得，
由题意得x′=y′得3x=﹣2y，
∴直线l的方程为3x+2y=0．
点评：本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于基础题．
22．（7分）已知曲线C的方程为=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M是曲线C上任意一点，求点M到直线l距离的最小值．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设，M到l的距离为d，运用点到直线的距离公式，结合两角差的余弦公式，以及余弦函数的值域，即可得到最小值．
解答：解：（Ⅰ）由，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x+y﹣4=0，
∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0．
（Ⅱ）设，M到l的距离为d，
则d===，
其中，
当cos（θ﹣φ）=1时，d有最小值，
∴M到直线l的距离的最小值为．
点评：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查点到直线的距离公式的运用，同时考查余弦函数的值域，属于中档题．
23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣3．
（Ⅰ）若f（x）＜0，求x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求g（x）=3的最大值．
考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义；二维形式的柯西不等式．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）运用绝对值不等式的解集，即可得到所求范围；
（Ⅱ）由柯西不等式，即可得到最大值，注意等号成立的条件．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）＜0⇔|x﹣2|＜3⇔﹣3＜x﹣2＜3⇔﹣1＜x＜5，
所以x的取值范围是（﹣1，5）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由柯西不等式可得，
（32+42）[（）2+（）2]≥（3+4）2，
所以g（x）≤=5．
当且仅当即时，
g（x）取最大值5．
点评：本题考查绝对值函数的性质和运用，主要考查绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．。