2023-2024学年湖南省湘潭市岳塘区四校联考八年级(下)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖南省湘潭市岳塘区四校联考八年级（下）期中
数学试卷
一、选择题（共40分）
1.下列长度的三条线段，不能组成直角三角形的是( )
A. 1，2，3
B. 5，12，13
C. 0.3，0.4，0.5
D. 32，42，52
2.窗棂即窗格(窗里面的横的或竖的格)是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案.下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是( )
A. 八边形
B. 十四边形
C. 十边形
D. 十二边形
4.如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BCD=40°，则∠A的度数为
( )
A. 40°
B. 38°
C. 50°
D. 30°
5.在▱ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，则▱ABCD的周长为( )
A. 10cm
B. 8cm
C. 6cm
D. 5cm
6.如图，下列条件中，不能使▱ABCD成为菱形的是( )
A. AB=AD
B. AC⊥BD
C. ∠ABD=∠CBD
D. AC=BD
7.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
8.已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足|a−b|+a2+b2−c2=0，则△ABC是( )
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形
9.如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E、F分别在边AB、CD上，∠FEB=120°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点C恰好落在AD边C′上，则C′D的长度为( )
A. 3
B. 33
C. 32
D. 3
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径
画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半
径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，以下结论错误的是( )
A. AD是∠BAC的平分线
B. ∠ADC=60°
C. 点D在线段AB的垂直平分线上
D. S△ABD：S△ABC=1：2
二、非选择题（共110分）
11.若直角三角形的两条直角边分别为12和16，则它的斜边上的中线长为______．
12.已知一个n边形的内角和等于1980°，则n=．
13.如图，△ABC是直角三角形，BD平分∠ABC，AD=4，则点D到BC的距离为
______．
14.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=24，BD=10，若点E
是BC边的中点，则OE的长是______．
15.如图，已知P是∠AOB平分线上一点，∠AOP=15°，CP//OB交OA于
点C，PD⊥OB，垂足为D，且PC=6，则△OPC的面积等于______．
16.正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H
是AF的中点，那么CH的长是______．
17.已知，如图：AE⊥AB，BC⊥AB，AE=AB，ED=AC.求证：ED⊥AC．
18.如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，B点坐标为(−1,−1)．
(1)写出A、C点的坐标：A(______，______)、C(______，______)；
(2)将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A′B′C′，画出图形并写出点A′B′C′的三点坐标；
(3)求△A′B′C′的面积．
19.已知：如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交对角线AC于点M、N.求证：四边形BMDN是平行四边形．
20.将两张完全相同的矩形纸片ABCD，矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG．
(1)求证：四边形DHBG为菱形；
(2)若四边形DHBG的面积为60，AD=6，求AB的长．
21.如图，已知正方形ABCD，AB=4，点M在边CD上，射线AM交BD于点E，交射线BC于点F，过点C作CP⊥CE，交AF于点P．
(1)求证：△ADE≌△CDE．
(2)判断△CPF的形状，并说明理由．
(3)作DM的中点N，连结PN，若PN=3，求CF的长．
22.【探究】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，连结CD.若CD=8，则AB=______；【应用】如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若
AB=8，AC=6，求△DEF的周长；
【拓展】如图③，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=45°，连结AC、BD.M是AC的中点，连结BM、DM.若△BMD的面积为32，则AC的长为______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、12+(2)2=(3)2，故选项A中的三条线段能构成直角三角形；
B、52+122=132，故选项B中的三条线段能构成直角三角形；
C、0.32+0.42=0.52，故选项C中的三条线段能构成直角三角形；
D、92+162≠252，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
2.【答案】CD
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：CD．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】D
【解析】解：这个正多边形的边数是n，
则(n−2)⋅180°=1800°，
解得：n=12，
则这个正多边形是12．
故选：D．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：(n−2)×180°．
4.【答案】A
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=9°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD．
∴∠A=∠BCD=40°．
故选：A．
根据“同角的余角相等”解答．
本题主要考查了直角三角形的性质，运用了“同角的余角相等”求解的．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，
∵AB=2cm，BC=3cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2(AB+BC)=2×(2+3)=10(cm)．
故选：A．
平行四边形的周长等于两邻边长度之和的二倍．
本题考查平行四边形的性质，是基础题，熟悉“平行四边形对边相等”这一性质是解答关键．6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴▱ABCD是菱形，故A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABD=∠CBD，
∴▱ABCD是菱形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴▱ABCD是矩形，不是菱形，故D符合题意；
故选：D．
根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
7.【答案】C
【解析】解：如图，
∵∠1=40°，∠E=90°，
∴∠3=∠1+∠E=130°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠3=130°．
故选：C．
由三角形的外角性质可得∠3=130°，再由平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
8.【答案】C
【解析】解：∵|a−b|+a2+b2−c2=0，
∴a−b=0，a2+b2−c2=0，
∴a=b，a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故选：C．
根据非负数的性质可得a−b=0，a2+b2−c2=0，进而得到a=b，a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可得△ABC是等腰直角三角形．
此题考查了等腰直角三角形，非负数的性质，勾股定理逆定理，关键是根据非负数的性质得出a=b，a2 +b2=c2．
9.【答案】B
【解析】解：在正方形ABCD中，CD=AB=9，CD//AB，∠D=90°，
∴∠FEB+∠EFC=180°，
∴∠EFC=∠C′FE=60°，
∴∠C′FD=180°−∠EFC−∠C′FE=60°，
∴∠DC′F=30°，
∴C′F=2DF，
又∵C′F=CF，CF+DF=9，
∴DF=3，C′F=6，
∴C′D=62−32=33，
故选：B．
根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．
本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，所以A选项的结论正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠ADC=90°−∠CAD=90°−30°=60°，所以B选项的结论正确；
∵∠B=∠BAD，
∴DA=DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以C选项的结论正确；
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，
∴AD=2CD，
而BD=AD，
∴BD=2CD，
∴BD：BC=2：3，
∴S△ABD：S△ABC=2：3，所以D选项的结论错误．
故选：D．
利用基本作图可对A选项进行判断；通过角度的计算得到∠BAC=60°，∠CAD=∠BAD=30°，则可对B选项的结论正确；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对C选项进行判断；根据含30度的直角三角形三边的关系得到AD=2CD，则BD=2CD，所以BD：BC=2：3，
然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
11.【答案】10
【解析】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长=122+162=20，
×20=10，
则斜边上的中线长=1
2
故答案为：10．
根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)·180°．
根据n边形的内角和为(n−2)·180°得到(n−2)·180°=1980°，然后解方程即可求解．
【解答】
解：n边形的内角和为(n−2)·180°，
则(n−2)·180°=1980°，
解得n=13．
故答案为：13．
13.【答案】4
【解析】解：过点D作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A=90°，
∴DE=AD=4，
故答案为：4．
过点D 作DE ⊥BC 于E ，根据角平分线的性质解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14.【答案】6.5
【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，OA =12AC =12，OD =12BD =5，
在Rt △BOC 中，BC = BO 2+CO 2=13，∵点E 是BC 边的中点，
∴OE =12BC =6.5，
故答案为：6.5．
根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理求出BC ，再利用直角三角形斜边的中线的性质OE =12BC ，即可求出OE 的长．
此题主要考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出EO =12BC 是解题关键．15.【答案】9
【解析】解：过点P 作PE ⊥OA 于点E ，如图所示，
∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，∠AOP =15°，
∴∠AOB =30°，∠COP =∠POD =15°，PD =PE ，
∵CP//OB ，
∴∠ECP =∠AOB =30°，∠POD =∠CPO =∠AOP ，
∵PC =6，∠PEC =90°，
∴PE =3，OC =PC =6，
∴△PCO 的面积=12OC ⋅PE =12
×6×3=9；
故答案为：9．
过点P 作PE ⊥OA 于点E ，然后根据平分线的性质可知PE =PD ，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠ECP 的度数，从而可以求得PE 的长，本题得以解决．
本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】 5
【解析】解：如图，连接AC 、CF ，
∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，BC =1，CE =3，
∴AC = 2，CF =3 2，∠ACD =∠GCF =45°，
∴∠ACF =90°，
由勾股定理得，AF = AC 2+CF 2= 2+18=2 5，
∵H 是AF 的中点，
∴CH =12AF =12
×2 5= 5，故答案为： 5．
根据正方形性质求出AC 、CF ，∠ACD =∠GCF =45°，再求出∠ACF =90°，然后利用勾股定理列式求出AF ，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线构造直角三角形．17.【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，
∴∠EAD =∠CBA =90°，
在Rt △ADE 和中Rt △ABC 中，
{DE =AC AE =AB ，
∴Rt △ADE ≌Rt △ABC(HL)，
∴∠EDA =∠C ，
又∵在Rt △ABC 中，∠B =90°，
∴∠CAB +∠C =90°
∴∠CAB +∠EDA =90°，
∴∠AFD =90°，
∴ED ⊥AC ．
【解析】求出∠EAD =∠CBA =90°，根据HL 证Rt △ADE ≌Rt △ABC ，推出∠EDA =∠C ，求出∠CAB +∠EDA =90°，根据三角形内角和定理求出∠AFD =90°即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠EDA =∠C ．18.【答案】−2 1 1 2
【解析】解：(1)A 点坐标为(−2,1)，C 点坐标为(1,2)；
故答案为−2，1；1，2；
(2)如图，△A′B′C′为所作，A′点坐标为(1,3)，B′点坐标为(2,1)，C 点坐标为(4,4)；
(3)△A′B′C′的面积=3×3−12×2×3−12×3×1−12×2×1=72
．
(1)利用各象限点的坐标特征写出A 、C 的坐标；
(2)根据点平移的坐标变换规律写出A 、B 、C 的对应点A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△A′B′C′的面积．
本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC =∠ADC ，AB =CD ，AB//DC ，
∵BM 平分∠ABC ，DN 平分∠ADC ，
∴∠ABM =12∠ABC ，∠CDN =12
∠ADC ，
∴∠ABM =∠CDN ，∠BAM =∠DCN ，
在△ABM 和△CDN 中，{∠ABM =∠CDN AB =CD ∠BAM =∠DCN ，
∴△ABM≌△CDN，
∴BM=DN，∠AMB=∠CND，
∵∠BMN=180°−∠AMB，∠DNM=180°−∠CND，
∴∠BMN=∠MND，
∴BM//DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
【解析】先证明△ABM≌△CDN，再证明BM=DN，BM//DN即可．
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，属于中考常考题型．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，
∴AB//CD，DF//BE，∠A=∠F=90°，AD=FB，
∴四边形DHBG是平行四边形，
在△AHD和△FHB中，
{∠A=∠F
∠AHD=∠FHB
AD=FB
，
∴△AHD≌△FHB(AAS)，
∴DH=BH，
∴平行四边形DHBG是菱形．
(2)解：∵菱形DHBG的面积为60，AD=6，∠A=90°，
∴DH=BH=60
AD =60
6
=10，
∴AH=DH2−AD2=8，
∴AB=AH+BH=8+10=18．
【解析】(1)先根据矩形的性质可得AB//CD，DF//BE，∠A=∠F=90°，AD=FB，再根据平行四边形的判定可得四边形DHBG是平行四边形，然后根据三角形全等的判定可证出△AHD≌△FHB，根据全等三角形的性质可得DH=BH，最后根据菱形的判定即可得证；
(2)先根据菱形的面积公式可得DH=BH=10，再利用勾股定理可得AH=8，然后根据AB=AH+BH即可得．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，
在△ADE和△CDE中，
{AD=CD
∠ADE=∠CDE
，
DE=DE
∴△ADE≌△CDE(SAS)；
(2)解：△CPF是等腰三角形，理由如下：
∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE，
又∵CP⊥CE，DC⊥CF，
∴∠DCE=∠PCF，
又∵AD//BF，
∴∠DAE=∠CFP，
∴∠PCF=∠PFC，
∴CP=PF，
∴△CPF是等腰三角形；
(3)解：如图，连接DF，
∵∠PCF=∠PFC，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=MP，
∴MP=PF，
又∵点N是DM的中点，
∴DF=2NP=6，
∴CF=DF2−CD2=36−16=25．
【解析】(1)由“SAS”可证△ADE≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质可得∠DAE=∠DCE，由余角的性质可得∠DCE=∠PCF，可得结论；
(3)由三角形中位线定理可求DF=6，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】1616
【解析】解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 中点，CD =8，
∴CD =12AB ，
∴AB =2CD =2×8=16．
故答案为：16．
(2)在Rt △ABC 中，由勾股定理得BC = AB 2+AC 2= 82+62=10，
∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB =∠ADC =90°，
∵E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，AB =8，AC =6，BC =10，
∴DE =12AB =4，DF =12AC =3，EF =12BC =5，
∴△DEF 的周长=EF +DE +DF =5+4+3=12；
(3)∵∠ABC =∠ADC =90°，M 是AC 的中点，
∴BM =DM =12AC ，
∴BM =AM =DM ，
∴∠BAM =∠ABM ，∠DAM =∠ADM ，
∵∠BMC =∠BAM +∠ABM ，∠DMC =∠DAM +∠ADM ，∠BAD =45°，
∴∠BMD =2∠BAD =90°，
∴S △BMD =12BM ⋅DM =12BM 2=32，
∵BM >0，
∴BM =8，
∴AC =2BM =16．
故答案为：16．
(1)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；
(2)根据勾股定理求出BC ，根据直角三角形斜边上的中线性质求出DE 和DF ，根据三角形的中位线性质求出EF ，再求出答案即可；
(3)由直角三角形斜边行中线的性质可BM =AM =DM ，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质求得∠BMD =90°，由直角三角形的面积公式求出BM ，即可得到AC 的值．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的面积，求出BM =AM =DM 及∠BMD =90°是解题的关键．。