1992年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

作 BQ ， CR ，垂足为 Q, R ，则 Q, R l ，且 AP BQ CR l 与 m 的距离 d ．
/
连 PD, QE , RF ，则由三垂线定理之逆，知 PD, QE , RF 都 m ．
l
C
B
A

PD 15 d 2 ， QE
49 d 2 ， RF 10 d 2 ． 4
x 4 3 x 2 6 x 13 x 4 x 2 1 的最大值是_____．
x
2
2 x 3
2 2

x
2
1 x 2 ，表示点 x, x 2 与点 A3,2 的距离及
2



B 0,1 距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于
A.偶函数，又是周期函数 C.奇函数，又是周期函数 ◆答案：C B.偶函数，但不是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数
★解析： f ( 20 x ) f (10 (10 x )) f (10 (10 x )) f ( x ) f ( 20 x ) ． ∴ f ( 40 x ) f ( 20 ( 20 x )) f ( 20 x ) f ( x ) ．∴ f ( x ) 是周期函数； ∴ f ( x ) f ( 40 x ) f ( 20 ( 20 x )) f ( 20 ( 20 x )) f ( x ) ． ∴ f ( x ) 是奇函数．选 C
∴ arg
z2 5 ． 或 3 z1 3
3
z2 ∴ arg z ． 1
1992*11、 设数列 a1 , a2 , , an , 满足 a1 a2 1 ， 且对任何自然数 n ，都有 an an 1an 2 1 ， a3 2 ， 又 an an 1an 2 an 3 an an 1 an 2 an 3 ，则 a1 a2 a100 的值是__ ◆答案： 200 ★解析：由 an an 1an 2 an 3 an an 1 an 2 an 3 ，得 an 1an 2 an 3 an 4 an 1 an 2 an 3 an 4 ， 相减，得 an an 1an 2 an 4 an an 4 an ，由 an an 1an 2 1 ，得 an 4 an ． 又 a1 a2 1 ， a3 2 ，得 a4 4 ． ∴ a1 a2 a100 25a1 a2 a3 a4 200 。 1992*12、函数 f ( x ) ◆答案： 10 ★解析： f ( x ) __．
2 0
sin 3 A 2 sin A ，即 3 4 sin 2 A 2 ．得 A 30 0 , B 90 0 , C 60 0 ．选 B．
2
1992*5、设复数 z1 , z 2 在复平面上对应的点分别为 A, B ，且 z1 4 ， 4 z1 2 z1 z 2 z 2 0 ， O 为坐 标原点，则 OAB 的面积为( A. 8 3 ◆答案：A B. 4 3 ) C. 6 3 D. 12 3
2
★解析：注意到 所以 S
2 z1 cos i sin ．∴ z 2 8 ， z1 , z 2 的夹角为 60 0 ． z2 3 3
1 3 48 8 3 ．选 A． 2 2 1992*6 、 设 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 ， 且 满 足 下 列 关 系 f (10 x ) f (10 x ) ， ） f (20 x) f (20 x) ，则 f ( x) 是（
1992 年全国高中数学联合竞赛一试
一、选择题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分。 1992*1、 对于每个自然数 n ， 抛物线 y ( n n) x ( 2n 1) x 1 与 x 轴交于 An , Bn 两点， 以 An Bn
1992 2 2
表示该两点的距离，则 A.
1 k ( k Z )， 6
1992*9、从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异 面直线，则 k 的最大值是_____．
1992 年全国高中数学联合竞赛试题 第 2 页 共 8 页
◆答案： 4 ★解析：正方体共有 8 个顶点，若选出的 k 条线两两异面，则不能共顶点， 即至多可选出 4 条，又可以选出 4 条两两异面的线(如图)， 故所求 k 的最大值为 4．


1992*14、 (本题满分 20 分) 设 l , m 是两条异面直线，在 l 上有 A, B, C 三点，且 AB BC ，过
A, B, C 分 别 作 m 的 垂 线 AD, BE , CF ， 垂 足 依 次 是 BE
D, E , F ， 已 知 AD 15 ，
7 CF 10 ，求 l 与 m 的距离． 2 / ★解析：过 m 作平面 // l ，作 AP 于 P ， AP 与 l 确定平面 ， l ， l / m k ．
2 2
1992*3、设四面体四个面的面积分别为 S1 , S 2 , S 3 , S 4 ，它们的 M 最大值为 S ，记 定满足( ) A. 2 4 ◆答案：A ★解析： 故选 A． B. 3 4
4
S
i 1
4
i
S
，则 一
C. 2.5 4.5
D. 3.5 5.5
1 n 1 n 1 x n x n x x x x n2 x n2 x ★解析：⑴ 由 yf n ( x ) f n 1 ( x ) f n 1 ( x) ．故证． x x 1 x x 1


⑵ f1 ( x ) x
D' A' D A B B'
C'
C
z2 1992*10、 设 z1 , z 2 都是复数， 且 z1 3, z 2 5, z1 z 2 7 ， 则 arg z 的 1
值是______． ◆答案：
3
32 5 2 7 2 1 ★解析： cos OZ1Z 3 ,即 OZ1Z 3 120 0 ， 2 3 5 2
AB
i 1 i
i
的值是(
) D.
◆答案：B
1991 1992
B.
1992 1993ຫໍສະໝຸດ C.1991 1993
1993 1992
★解析：易得 An Bn
1 1 ，代入即可求得。选 B． n n 1
1992*2、已知如图的曲线是以原点为圆心， 1 为半径的圆的一部分， 则这一曲线的方程是( )
m
R KF
Q
P

l'
E D
当 D, E , F 在 K 同 侧 时 : 2QE PD RF ， 所 以
49 4d 2 15 d 2 10 d 2 ， 得
d 6．
当 D, E , F 不全在 K 同侧时 2QE PD RF ，所以 49 4d 15 d 10 d ．无实 解． 综上， l 与 m 距离为 6 ．
y
1 O 1 1 x
y 1 x 0 B. x 1 y y 1 x 0 C. x 1 y y 1 x 0 D. x 1 y y 1 x 0
A. x 1 y

2
2
2
2
1
2
2
2
2
◆答案：D ★解析： x 1 y 0 表示 y 轴右边的半圆， y 1 x 0 表示 x 轴下方的半圆，故选 D．
抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于 AB 10 ．即所求最小值为 10 ．
1992 年全国高中数学联合竞赛试题
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1992*13、 (本题满分 20 分)求证： 16

k 1
80
1 17 ． k
★证明：因为
1 k
2 k k
2 2 k k 1 ， k 1 k
1 1 2 2 2 ， f 2 ( x ) x 1 x x 1 y 1 ．故命题对 n 1,2 成立． x x
2
设对于 n m ( m 2 ， m 为正整数)，命题成立，现证命题对于 n m 1 成立． 1． 若 m 为偶数，则 m 1 为奇数．由归纳假设知，对于 n m 及 n m 1 ，有
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分。 1992*7、设 x, y , z 是实数 3 x,4 y ,5 z 成等比数列，且 ◆答案：
x z 1 1 1 , , 成等差数列，则 的值是______． z x x y z
34 15
2
★解析：由题意得 16 y 15 xz ， y
2 2 2
1992 年全国高中数学联合竞赛试题
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x n 1 x n 1 1 1992*15、 (本题满分 20 分)设 n 是自然数， f n ( x ) （ x 0,1 ） ，令 y x 。 1 xx x
1．求证： f n 1 ( x ) yf n ( x ) f n 1 ( x ) ， （ n 1） 2．用数学归纳法证明：
C sin B 都是方程 , A sin A
)
A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形
1992 年全国高中数学联合竞赛试题 第 1 页 共 8 页
◆答案：B ★解析：由题意得 x 4 x 4 ．根为 x 2 ．∴ C 2 A ， B 180 3 A ， sin B 2 sin A ．所以
2 xz x z 34 ，消去 y 整理得 ． xz xz 15
1992*8、在区间 0, 中，三角方程 cos 7 x cos 5 x 的解的个数是______． ◆答案： 7 ★解析： 由题意得 7 x 5 x 2k ， 或 7 x 5 x 2k ， ( k Z )， 得 x k ，x 在区间 0, 内共有 7 解．


同时
1 k
80
2 k k
2 2 k 1 k ． k 1 k


于是得
2 k 1 k
k 1 80 k 1


80
80 1 1 2 k k 1 k k 1


即 16

k 1
1 1 2 80 1 1 2 9 1 17 ． k
n n n 1 n2 i i n 2i , (i 1,2, , , n为偶数) y Cn 1 y (1) Cn i y (1) 2 2 n 1 n 1 f n ( x) n 1 n2 i i n 2i n 2 2 (1) C n 1 y , (i 1,2, , 1 , n为奇数) y Cn 1 y (1) Cn i y 2 2
4
S
i 1
4
i
4 S ，故 S i 4 ，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， S i 接近 2 S ，
i 1 i 1
1992*4 、 在 ABC 中 ， 角 A, B, C 的 对 边 分 别 记 为 a, b, c ( b 1 ) ， 且
log
b
x log b (4 x 4) 的根，则 ABC (