重庆市渝中区巴蜀中学高三数学下学期第三次模拟试卷 理(含解析)

重庆市渝中区巴蜀中学2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数的对应点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁U A）∩B等于( ) A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}
3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=( )
A．6 B．5 C．4 D．3
4．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为( ) A．32 B．36 C．18 D．86
5．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3πB．4πC．5πD．7π
6．下列说法中正确的是( )
A．若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∀x∈R有x2≤0
B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件
C．若命题p：＞0，则￢p：≤0
D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±
7．设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则
a+a+a=( )
A．24 B．25 C．26 D．27
8．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是( )
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20
9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲
线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x 10．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f （y）﹣f（y）﹣x+2，若x∈[1，3]，则的最大值为( )
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0
得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则b的值为__________．
12．已知x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=，则cos2x=__________．
13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，每人只能参加一项活动，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有___________种不同的分配方法．
一、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC与圆交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=__________．
一、选做题
15．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的直角坐标是__________．
一、选做题
16．已知关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．
（1）求实数m的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为，求边长a．
18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，∠DBC=45°（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．
（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．
21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．
22．已知数列{a n}中，a1=，a n=（n≥2，n∈N）．
（1）证明数列{﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）证明：a1a2…a n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N+）．
重庆市渝中区巴蜀中学2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数的对应点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．
专题：计算题．
分析：利用复数的除法运算，将复数表示出来，根据复数的几何意义，即可得到答案．解答：解：复数=，
∴复数在复平面内对应的点为（1，﹣2），
故复数的对应点位于第四象限．
故选：D．
点评：本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题．复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系．属于基础题．
2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则（∁U A）∩B等于( )
A．{x|x＞2或x＜0} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：求出集合A中的一元二次不等式的解集，确定出集合A，由全集R，求出集合A的补集，然后求出集合B中对数函数的定义域确定出集合B，求出集合A补集与集合B的交集即可．
解答：解：由集合A中的不等式x2﹣2x＞0，
因式分解得：x（x﹣2）＞0，
解得：x＞2或x＜0，所以集合A={x|x＞2或x＜0}，又全集U=R，
∴C u A={x|0≤x≤2}，
又根据集合B中的对数函数可得：x﹣1＞0，解得x＞1，
所以集合B={x|x＞1}，
则（C u A）∩B={x|1＜x≤2}．
故选D
点评：此题属于以一元二次不等式的解法及对函数的定义域为平台，考查了补集及交集的运算，是一道基础题．也是2015届高考中常考的题型．
3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=( )
A．6 B．5 C．4 D．3
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意，=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．
解答：解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，
∴6﹣x=3，∴x=3．
故选D
点评：本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题．
4．重庆一中学有三个年级共430人，其中初一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，为了解该校初中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为( ) A．32 B．36 C．18 D．86
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
解答：解：∵一年级有160人，初二年级人数是初三年级人数的2倍，
∴一年级有160人，初二年级年级为180人，初三年级人数为90人，
在抽取的样本中有初一年级学生32人，则该样本中的初三年级人数为人，
故选：C．
点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
5．一个几何体的俯视图是半径为l的圆，其主视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3πB．4πC．5πD．7π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与半球的组合体，结合图中数据，求出它的表面积．
解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底部为圆柱，上部为半球的组合体，
且圆柱的底面圆半径为1，高为1，半球的半径为1；
所以该组合体的表面积为
2π×1×1+π×12+×4π×12=5π．
故选：C．
点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的表面积的应用问题，是基础题目．
6．下列说法中正确的是( )
A．若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∀x∈R有x2≤0
B．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件
C．若命题p：＞0，则￢p：≤0
D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：A项利用存在性和全称量词的否定来判断．
B项利用原命题和逆否命题同真假判断
C项用不等式解集的补集思路处理．
D项考虑二次项系数为0的情况．
解答：解：对于A项，若命题p：∀x∈R有x2＞0，则￢p：∃x0∈R有x02≤0．故A错．对于B项，p是q的充分不必要条件，即p⇒q，则￢q⇒￢p，∴￢p是￢q的必要不充分条件．故B对．
对于C项，若命题p：＞0，则￢p：≤0或x=0．故C错．
对于D项，当a=0时，方程ax2+x+a=0为x=0．为一次函数．也满足唯一解的条件．故D错．故选：B
点评：本题主要考查逻辑用语中四种命题的判定和否定，基础题型．
7．设等差数列{a n}和等比数列{b n}首项都是1，公差和公比都是2，则
a+a+a=( )
A．24 B．25 C．26 D．27
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列求出b2，b3，b4，然后利用等差数列求解即可．
解答：解：等比数列{b n}首项是1，公比是2，
∴b2=2，b3=4，
b4=8，
等差数列{a n}首项是1，公差是2，
∴a+a+a=a 2+a4+a8=3a1+11d=3+11×2=25．
故选：B．
点评：本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．
8．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是( )
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20
考点：循环结构．
专题：压轴题；图表型．
分析：结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．
解答：解：根据框图，i﹣1表示加的项数
当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，
i﹣1=10执行“是”
所以判断框中的条件是“i＞10”
故选A
点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．
9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲
线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．
解答：解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，
设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得
∴x=，y=
∴B（，）
代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，
故选：C．
点评：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础．
10．已知函数f（x）满足f（0）=1，且对于任意实数x，y∈R都有：f（xy+1）=f（x）f （y）﹣f（y）﹣x+2，若x∈[1，3]，则的最大值为( ) A．B．C．D．
考点：抽象函数及其应用．
专题：函数的性质及应用；不等式．
分析：利用赋值法，先令y=x，x=y，两式相减得到f（x）﹣f（y）+y﹣x=0，再令y=0，求出f（x）=x+1，代入化简，利用基本不等式即可求出最值．
解答：解：f（xy+1）=f（x）f（y）﹣f（y）﹣x+2，①，
交换x，y的位置得到f（yx+1）=f（y）f（x）﹣f（x）﹣y+2，②
由①﹣②得f（x）﹣f（y）+y﹣x=0，
再令y=0，
则f（x）﹣f（0）﹣x=0，
∵f（0）=1，
∴f（x）=x+1，
∴==≤，当且仅当x=∈[1，3]取等号，
∴则的最大值为．
故选：A．
点评：本题主要考查了抽象函数式的解法，以及基本不等式的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7
y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0
得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则b的值为﹣1.4．
考点：线性回归方程．
专题：概率与统计．
分析：由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．
解答：解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，
∵回归方程为=bx+a．若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），
∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，
故答案为：﹣1.4
点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．
12．已知x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=，则cos2x=﹣．
考点：二倍角的余弦；三角函数的化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：条件即sinx+cosx=，平方可得2sinxcosx=﹣，求得sinx的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x的值．
解答：解：∵x是三角形的内角，且sinx﹣cos（x﹣π）=sinx+cosx=，
平方可得2sinxcosx=﹣，∴sinx=，
∴cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2×=﹣，
故答案为：﹣．
点评：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
13．要分配甲、乙、丙、丁、戊5名同学去参加三项不同的教学活动，其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人，每人只能参加一项活动，且甲，乙两人不能参加同一活动，则一共有24_种不同的分配方法．
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：排列组合．
分析：间接法：先求出活动一和活动二各要2人，活动共有三要1人的方法种数，去掉甲，乙两人参加同一活的方法种数即可．
解答：解：由题意把甲、乙、丙、丁、戊5人分配去参加三项不同的活动，
其中活动一和活动二各要2人，活动三要1人共有=30种方法，
其中甲，乙两人参加同一活动+=6种方法，
故符合题意得方法共30﹣6=24种，
故答案为：24．
点评：本题考查排列组合的应用，间接法是解决问题的关键，属中档题．
一、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC与圆交于B，C．若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．
考点：圆周角定理；相似三角形的判定．
专题：计算题．
分析：由已知中PA是圆的切线，PBC是圆的割线，可得△PAB∽△PCA，结合已知和相似三角形对应边相等，先求出PB长，进而可得AB的长．
解答：解：∵PA是圆的切线，PBC是圆的割线，
∴∠PAB=∠PCA，
又∴∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴PB：PA=PA：PC，
即PA2=PB•PC=PB•（PB+BC），
即36=PB•（PB+9），
解得PB=3，
又由AB：AC=PA：PC得：AB：8=6：12，
解得：AB=4，
故答案为：4．
点评：本题考查的知识点是弦切角定理，相似三角形的判定与性质，难度不大，属于基础题．一、选做题
15．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C与θ=（ρ＞0）所表示的图形的交点的直角坐标是．
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为直角坐标方程，
再化为极坐标方程ρ=2cosθ，联立，解得即可得出．
解答：解：曲线C的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π），化为（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），
化为极坐标ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ，
联立，解得，ρ=1，
∴两图形的交点直角坐标为：．
故答案为：．
点评：本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
一、选做题
16．已知关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，则a的取值范围为（﹣2，2）．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用绝对值的几何意义求出最小值，然后求解a的范围．
解答：解：|x+2|+|x﹣2|≥|x+2+2﹣x|=4，关于x的不等式|x+2|+|x﹣2|≤a2解集为空集，可得a2＜4，解得a∈（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，函数的最值的应用，考查计算能力．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m（x∈R），函数f（x）的最大值为2．
（1）求实数m的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC的面积为，求边长a．
考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，根据最大值为2求出m的值即可；
（2）由（1）确定出的f（x）解析式，以及f（A）=0，求出A的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinC，得到b=3c，再利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入得到bc=3，联立求出b与c的值，利用余弦定理求出a的值即可．
解答：解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣m=（cos2x+1）+sin2x﹣m=2sin（2x+）+﹣m，
∴函数f（x）在2x+=时取得最大值，即2+﹣m=2，
解得：m=；
（2）∵f（A）=0，
∴2sin（2A+）=0，即sin（2A+）=0，
由A为锐角，解得：A=，
∵sinB=3sinC，由正弦定理得b=3c①，
∵△ABC的面积为，
∴S△ABC=bcsinA=bcsin=，即bc=3②，
联立①②，解得：b=3，c=1，
∵a2=b2+c2﹣2bc•cosA=32+12﹣2×3×1×cos，
∴a=．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）由频率分布直方图能估算所调查的600人的平均年龄．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．
解答：解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．
（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，
∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
EX==．
点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=，∠DBC=45°（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）在底面梯形中，通过求解直角三角形求得DE=3，得到BE=DE，进一步得到AC⊥BD．再由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，由线面垂直的判定得答案；
（2）法一、找出二面角APCD的平面角，求解直角三角形得到AP=，再求出四边形ABCD
的面积，代入体积公式得答案；
解法二、由（1）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出所用点的坐标，设点P（0，﹣，t）（t＞0）．由二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，借助于空间向量求得t，即得到AP．再求出四边形ABCD的面积，代入棱锥体积公式得答案．
解答：（1）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥B C于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得，
CE==1，DE=，
∴BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，
∴∠BOC=90°，即AC⊥BD．
由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：法一、
作OH⊥PC于点H，连结DH．如图1所示．
由（1）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．
∴PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．
故∠DHO是二面角APCD的平面角，∴∠DHO=60°．
在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．
在Rt△PAC中，=．设PA=x，可得=．
解得x=，即AP=．
∵四边形ABCD为等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=，
∴，
∴；
解法二、
由（1）知AC⊥BD．
以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图2所示．
由题意知各点坐标如下：A（0，﹣，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣，0，0）．
由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P（0，﹣，t）（t＞0）．
设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，
由=（﹣，﹣2，0），=（﹣，，﹣t）
知，取y=1，得=（﹣2，1，）．
又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），
于是cosθ===，
解得t=，即AP=．
∵四边形ABCD为等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=，
∴，
∴．
点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，训练了利用空间向量求空间角的问题，是中档题．
20．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．
（1）若a=1，求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）根据不等式恒成立转化为求函数f（x）的最小值，求函数的导数，利用导数进行求解即可．
解答：解：（1）若a=1，则f（x）=e x﹣ax﹣1，有f（0）=0，
f′（x）=e x﹣1，
所以斜率为f′（0）=0，所以切线为y=0．
（2）求导：f′（x）=e x﹣a，
令f′（x）＞0，解得x＞lna，
所以函数在（lna，+∞）递增，（﹣∞，lna）递减，
所以在x=lna，取得最小值．
故f（x）≥0恒成立，等价于f（x）min≥0，
即f（lna）=a﹣alna﹣1≥0成立．
令h（a）=a﹣alna﹣1，
h′（a）=﹣lna，
所以知h（a）在（0，1）递增，（1，+∞）递减．
有h（a）max=h（1）=0，
所以当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，
所以a=1时，f（x）≥0对任意x∈R恒成立．
所以实数a的取值集合为{1}．
点评：本题主要考查导数的综合应用，以及函数切线的求解，利用导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．
21．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，P 为直线x=2 上一点．直线PF1，PF2与圆x2+y2=1的另外一个交点分别为M、N 两点，求证：直线MN 恒过一定点．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由椭圆的定义求得椭圆方程．
（2）设P（2，t），直线PF1：，由得：9x2+t2（x2+2x+1）=9，
根据题目条件求得．
解答：解：（1）由题意知，c=1，左右焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0）
所以2a=|AF1|+|AF2|=2，所以椭圆标准方程为
（2）设P（2，t），直线PF1：，由得：9x2+t2（x2+2x+1）=9，即（t2+9）x2+2t2x+t2﹣9=0，﹣1×，∴，∴
同理可得：N（），∴，
直线MN的方程为：，∴直线MN恒过定点T（）．
点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题，再2015届高考中经常涉及．
22．已知数列{a n}中，a1=，a n=（n≥2，n∈N）．
（1）证明数列{﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
（2）证明：a1a2…a n＜2•n!．（注意：n!=1×2×3×…×n，n∈N+）．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由a n=（n≥2，n∈N）．两边取倒数：即可化为
=，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）欲证原结论，只需证＜•…•，先用数学归纳法证：•…•≥﹣…﹣
，即可得出．
解答：证明：（1）由a n=（n≥2，n∈N）．两边取倒数：=，化为=，
∴数列是首项﹣1=﹣，公比q=等比数列，
∴﹣1=，
∴a n=．
（2）欲证原结论，只需证＜•…•，
现先用数学归纳法证：•…•≥
﹣…﹣，（*）
当n=1时，左右两边显然相等．
假设n=k时，•…•≥﹣…﹣
，
则n=k+1时，•…•≥（﹣…﹣），
∵（﹣…﹣）=﹣…﹣
+•
=﹣…﹣+≥﹣…﹣﹣．
由数学归纳法可知：（*）对于∀n∈N*都成立．
又﹣…﹣=1﹣=1﹣＞，
故原命题成立．
点评：本题考查了“取倒数法”、等比数列的通项公式、“数学归纳法”、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。