2021年湖南省邵阳市第二中学初升高自主招生考试数学试题
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A 54B.55C.56D.57
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，其中第13题每空2分．
11.将一质地均匀的正方体骰子掷两次，观察向上一面的点数，两次点数差的绝对值为2的概率是______．
12.设a≠b，且a2+3a＝b2+3b＝4，则ab2+a2b＝_____．
13.已知 ，那么
即 ，模仿上述求和过程，
四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（1）求值：
（2）分解因式：
17.已知：如图， 中 ， 平分 ，且 ．求证： ．
18.如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．设△ABC的面积为36，求△NEF的面积．
20.已知关于x的方程 ．其中p，q都是实数．
（1）若 时方程有两个不同的实数根 ， ，且 ．求实数p的值．
（2）若方程有三个不同的实数根 ， ， ，且 ．求实数p和q的值．
（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根 ， ， ， ，且 ？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．
A. B. C. D.
7.如图， 是 直径， 是 的弦，弦 ，垂足为点F， 交 于点G， 为 的切线，交 的延长线于H， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.市场油价经常波动，司机小王、小李在同一加油站加油，小王的加油方式为：每次加油金额相同，小李的加油方式为：每次的加油量相同，若两次加油的单价不同，只考虑加油单价，下列结论正确的是（）
19.已知抛物线 经过点 ，顶点在直线 上，且抛物线被x轴截得 线段长为1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若点M是线段 上的一个动点（点M与点O、B不重合），D为抛物线与x轴交点（位于对称轴左侧）， ，过点M作 交x轴于点N，连接 、 ，设 的长为t， 的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
A.小王合算B.小李合算C.一样合算D.无法确定谁更合算
二、多选题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.如图是二次函数 图象的一部分，过点 ， ，对称轴为直线 ．.已知 ，且满足 （ 表示不超过x的最大整数），则 的值可以为（ ）
2021年湖南省邵阳二中自主招生数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列等式中，不一定成立的是（）
A. B.
C D.
2.已知a，b满足等式 ， ，则x，y的大小关系是（）
A. B. C. D.
3.已知m为实数，且 ， 是关于x 方程 的两根，则 的值为（ ）
A. B. C. D.1
4.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2．则三棱锥C1﹣A1DB的体积为（ ）
A.24B.16C.12D.8
5.若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
6.关于x的方程 （a为常数）有两个不同的实根，则a的取值范围是（ ）
设 ，则 ______， ______．
14.如图，在边长为6的正 中，D，E分别在边 ， 上， ， ， ， 相交于点F，则点A，D，F所在圆的半径______．
15.将48个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装4个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格的盒子都能恰好装满，则不同的装法总数为______．
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，其中第13题每空2分．
11.将一质地均匀的正方体骰子掷两次，观察向上一面的点数，两次点数差的绝对值为2的概率是______．
12.设a≠b，且a2+3a＝b2+3b＝4，则ab2+a2b＝_____．
13.已知 ，那么
即 ，模仿上述求和过程，
四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（1）求值：
（2）分解因式：
17.已知：如图， 中 ， 平分 ，且 ．求证： ．
18.如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．设△ABC的面积为36，求△NEF的面积．
20.已知关于x的方程 ．其中p，q都是实数．
（1）若 时方程有两个不同的实数根 ， ，且 ．求实数p的值．
（2）若方程有三个不同的实数根 ， ， ，且 ．求实数p和q的值．
（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根 ， ， ， ，且 ？若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．
A. B. C. D.
7.如图， 是 直径， 是 的弦，弦 ，垂足为点F， 交 于点G， 为 的切线，交 的延长线于H， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.市场油价经常波动，司机小王、小李在同一加油站加油，小王的加油方式为：每次加油金额相同，小李的加油方式为：每次的加油量相同，若两次加油的单价不同，只考虑加油单价，下列结论正确的是（）
19.已知抛物线 经过点 ，顶点在直线 上，且抛物线被x轴截得 线段长为1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若点M是线段 上的一个动点（点M与点O、B不重合），D为抛物线与x轴交点（位于对称轴左侧）， ，过点M作 交x轴于点N，连接 、 ，设 的长为t， 的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
A.小王合算B.小李合算C.一样合算D.无法确定谁更合算
二、多选题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.如图是二次函数 图象的一部分，过点 ， ，对称轴为直线 ．.已知 ，且满足 （ 表示不超过x的最大整数），则 的值可以为（ ）
2021年湖南省邵阳二中自主招生数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列等式中，不一定成立的是（）
A. B.
C D.
2.已知a，b满足等式 ， ，则x，y的大小关系是（）
A. B. C. D.
3.已知m为实数，且 ， 是关于x 方程 的两根，则 的值为（ ）
A. B. C. D.1
4.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2．则三棱锥C1﹣A1DB的体积为（ ）
A.24B.16C.12D.8
5.若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A. B. C. D.
6.关于x的方程 （a为常数）有两个不同的实根，则a的取值范围是（ ）
设 ，则 ______， ______．
14.如图，在边长为6的正 中，D，E分别在边 ， 上， ， ， ， 相交于点F，则点A，D，F所在圆的半径______．
15.将48个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装4个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格的盒子都能恰好装满，则不同的装法总数为______．