2015年吉林省中考数学试卷(含详细答案)

----------------启用前 x y x .
_ -------------------- __ __ _号 卷
__ 上
__ A . 3a 2a a B . 2a 3a 6a C . a 2 a 3 a 6 D . (3a)2 6a 2 __ __ __ __ _ 答 __ __
__
_ -------------------- A . 20 B . 35
A. ∠BCD 50 -------------
绝密★
在
--------------------
吉林省 2015 年初中毕业生学业考试
数
学
第Ⅱ卷(非选择题 共 108 分)
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.把答案填写在题中的横线上) 7.不等式 3 2x ＞5 的解集为 .
8.计算： x x 2 y 2
_ __
项是符合题目要求的) __
__ 1.若等式 0□1 1成立,则□内的运算符号为
( ) __ 生 __ 考
__ 2.购买 1 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料,所需钱数为 ( ) __ __ A . (a b)元 B . 3(a b) 元 C . (3a b) 元 D . (a 3b) 元 _ _ _ _
3.下列计算正确的是 ( )
_ _ _ _
名 __ 姓 _ _ _
__
__ _ 题 5.如图, AB ∥CD , AD CD ,∠1 70 ,则∠2 的度数是 ( ) 校
学
本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.
此 第Ⅰ卷(选择题 共 12 分)
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
-------------------- B. C. D.
-------------------- 4.如图,有一个正方体纸巾盒,它的平面展开图是 ( )
--------------------
A B C D 9.若关于 x 的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个不相等的实数根,则 m 的值可能是
(写出一个即可).
10.图中是对顶角量角器,用它测量角的原理是 .
11.如图,在矩形 ABCD 中, AB 6 cm ,点 E ,F 分别是边 BC ,AD 上一点.将矩形 ABCD
沿 EF 折 叠 , 使 点 C ,D 分 别 落 在 点 C ,D 处 . 若 C E ⊥AD , 则 EF 的 长 为
cm .
12.如图,在菱形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (8,2),点 D 的坐标为 (0,2),则
点 C 的坐标为 .
业
毕
C . 40
D . 70
6.如图,在 O 中, AB 为直径, BC 为弦, CD 为切线,连接 OC .若
无
-------------------- ,则∠AOC 的度数为 ( )
A . 40
B . 50
C . 80
D .100
13. 如图 ,利用标杆 BE 测量建筑物的高度 . 若标杆 BE 的高为 1.5 m , 测得 AB 2m ,
BC 14 m ,则楼高 CD 为 m .
效 数学试卷 第 1 页（共 26 页） 数学试卷 第 2 页（共 26 页）
如图,在□ABCD中,AE⊥BC,交边BC于点E,点F为边CD上一点,且DF BE.过点F作FG⊥CD,交边AD于点G.
求证：DG DC.
14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB90,AC5cm,BC12cm.将△ABC绕点B顺时
针旋转60,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为cm.19.(本小题满分7分)
图1,图2,图3都是44的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.在图1,图2中已画出线段AB,在图3中已画出点A.
三、解答题(本大题共12小题,共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分5分)
先化简,再求值：(x3)(x3)2(x24),其中x2.
16.(本小题满分5分)
根据图中的信息,求梅花鹿和长颈鹿现在的高度.
按下列要求画图：
(1)在图1中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形；
(2)在图2中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形；
(3)在图3中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方
形.
20.(本小题满分7分)
要从甲、乙两名同学中选出一名,代表班级参加射击比赛.如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图.
17.(本小题满分5分)
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有数字1和2；乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有数字3,4和5.从两个口袋中各随机取出1个小球.用画树状图或列表的方法,求取出的2个小球上的数字之和为6的概率.
18.(本小题满分5分)
数学试卷第3页（共26页）
(1)已求得甲的平均成绩为8环,求乙的平均成绩；
(2)观察图形,直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差s2,s2哪个大；
甲乙
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本班应该选参赛更适
合；
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班应该选参赛更适合.
21.(本小题满分7分)
数学试卷第4页（共26页）
(2) 用 方 向 和 距 离 描 述 灯 塔 P 相 对 于 B 处 的 位 置 .( 参 考 数 据 ： sin53 0.80, (上底 下底) 高 ,用含 l,l ,h 的代数式表示
心圆半径 R 与 r 的差).类比 S 梯形 2
_ 此
__ __ (2)直接写出每分进水,出水各多少升.
__ __ _ __ _号 卷
--------------------分) 例函数 y k
x (0＜k ＜1 5) 的 图 象 交 于 点 B ,D , 连 接 AD ,BC ,AD 与 x 轴 交 于 点
__ ___ __ 上
__ _ _ _ __ 名 _ 24.(本小题满分 8 分) 答
--------------------为 R , 圆 心 角 为 n 的 扇 形 面 积 是 S nπR 2 __ 360 .由弧长 l 180 得 _ _
S nπR 2 1 nπR __ 扇形
360 2 180 R 2 lR . 通 过 观 察 , 我 们 发 现 S 2 lR 类 似 于 __
2 底 高. __ 题
_校 S 的值(用含 n 的代数式表示 )；
如图,
向航行 (1)当 4≤x≤12 (2)直接写出阴 -------------一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 53 方向,距离灯塔 100 海里的 A 处,它沿正南方
----------------一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 45 方向上的 B 处. (1)在图中画出点 B ,并求出 B 处与灯塔 P 的距离(结果取整数)；
在 --------------------
cos53 0.60, tan53 1.33, 2 1.41) 22.(本小题满分 7 分)
一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始 4 min 内只进水不出水,在随后的 8 min 内既进水又出水,每分的进水量和出水量有两个常数 .容器内的水量 y (单位： L )与 时间 x (单位： min )之间的关系如图所示. --------------------时,求 y 关于 x 的函数解析式；
_ _ _ 23.(本小题满分
8 生 __ 如图,点 A (3,5) 关于原点 O 的对称点为点 C ,分别过点 A,C 作 y 轴的平行线,与反比 考 __
__
__ E ( 2,0) . _ _
(1)求 k 的值； --------------------影部分面积之和. _ _ _ _ _ _ 姓_ nπR 如 图 1, 半 径 扇形 __
1 1 扇形 __ S 1 __ 三角形 --------------------
学 业 毕
无
--------------------
类比扇形,我们探索扇环(如图 2,两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇 环)的面积公式及其应用.
(1)设扇环的面积为 S , AB 的长为 l , CD 的长为 l ,线段 AD 的长为 h (即两个同
扇环 1 2
1
1 2 S ,并证明；
扇环
(2)用一段长为 40 m 的篱笆围成一个如图 2 所示的扇环形花园,线段 AD 的长 h 为多
少时,花园的面积最大,最大面积是多少？ 25.(本小题满分 10 分)
两个三角板 ABC ,DEF ,按如图所示的位置摆放,点 B 与点 D 重合,边 AB 与边 DE 在 同一条直线上(假设图形中所有的点,线都在同一平面内).其中,∠C ∠DEF 90 ,
∠ABC ∠F 30 , AC DE 6 cm .现固定三角板 DEF , 将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移,当点 C 落在边 EF 上时停止运动.设三角板平移的距离为 x(cm ) ,两个
三角板重叠部分的面积为 y(cm 2 ).
(1)当点 C 落在边 EF 上时, x cm ；
(2)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围；
(3)设边 BC 的中点为点 M ,边 DF 的中点为点 N .直接写出在三角板平移过程中,点 M 与点 N 之间距离的最小值.
26.(本小题满分 10 分)
如图 1,一次函数 y kx b 的图象与二次函数 y x 2 的图象相交于 A ,B 两点,点 A ,B 的横坐标分别为 m ,n(m ＜0,n ＞0).
图1 图2
(1)当 m 1, n 4 时, k ,b ； 当m 2,n 3 时, k ,b ；
(2)根据(1)中的结果,用含 m ,n 的代数式分别表示 k 与 b ,并证明你的结论； (3)利用(2)中的结论,解答下列问题：
如图 2,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 C ,D ,点 A 关于 y 轴的 对称点为点 E ,连接 AO ,OE ,ED .
①当 m 3 , n ＞3 时,求 △S
ACO
四边形AOED
②当四边形 AOED 为菱形时, m 与 n 满足的关系式为 ；
当四边形 AOED 为正方形时, m , n .
效
数学试卷 第 5 页（共 26 页）
数学试卷 第 6 页（共 26 页）
吉林省2015年初中学业水平考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】∵011，∴□内的运算符号为，故选B。

【考点】有理数的运算
2.【答案】D
【解析】买1个面包和3瓶饮料所用的钱数：a3b元，故选D。

【考点】整式的应用
3.【答案】A
【解析】A，正确；B，2a3a6a2，故错误；C，a2a3a5，故错误；D，(3a)29a2，故错误；故选A。

【考点】整式的应用
4.【答案】B
【解析】观察图形可知，一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是，故选：B。

【考点】正方体的平面展开图
5.【答案】C
【解析】∵AB∥CD，∴ACD170。

∵AD CD，∴DAC ACD70。

∴2180DAC ACD180707040，故选C。

【考点】平行线的性质，等腰三角形的性质
6.【答案】C
∵BCD50，∴OCB40。

∴AOC80，故选C。

【考点】圆的性质
第Ⅱ卷
二、填空题
7.【答案】x＞1
【解析】移项，得：2x＞53，即2x＞2，系数化1，得：x＞1，不等式组的解集为：x＞1，故答案为：x＞1。

【考点】一元一次不等式
8.【答案】x y
【解析】原式
x(x y)(x y)
x y，故答案为：x y。

x y x
【考点】分式的化简
9.【答案】0
【解析】∵一元二次方程x2x m0有两个不相等的实数根，
1
∴△14m＞0，解得m＜，故m的值可能是0，故答案为0。

4
【考点】一元二次方程根的判别式
10.【答案】对顶角相等
【解析】由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角。

因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数。

故答案为：对顶角相等。

【考点】平面角的关系
11.【答案】62
【解析】如图所示：∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C，D处，C E AD，
∴四边形ABEG和四边形C D FG是矩形，∴EG FG AB6cm。

∴在Rt△EGF中，EF EG2FG262cm，故答案为：62cm。

∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AC BD ， AE CE 1
∵ BE 1.5， AB 2 ， BC 14 ，∴ AC 16 ，∴ 。

12.【答案】 (4,4)
【解析】连接 AC ， BD 交于点 E ，如图所示。

1
AC ， BE DE
BD 。

2
2
∵点 B 的坐标为 (8,2)，点 D 的坐标为 (0,2)，∴ OD
2 ，BD 8 ，∴ AE OD
∴点 C 的坐标为： (4,4)，故答案为： (4,4)。

【考点】菱形的性质，位置与坐标
13.【答案】12
【解析】∵ EB AC ， DC AC ，
2 ，DE 4 ，∴ AC 4。

∴ EB ∥DC ，∴ △ABE ∽△ACD ，∴ BE A B
CD A C。

1.5 2 CD 16
∴ CD 12 ，故答案为：12。

【考点】相似三角形的应用
14.【答案】42
【解析】∵将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 60 ，得到 △BDE ，
∴ △ABC ≌△BDE ， CBD
60 ，∴ BD BC
12 cm 。

∴ △BCD 为等边三角形，∴ C D BC CD 12 cm 。

在 Rt △ACB 中， AB
A
C
2
B C
2
52 122 13 ，
△ACF 与 △BDF 的周长之和
AC AF CF
BF DF BD AC AB CD BD 5 13 12 12 42 (cm) ，故答案为：42。

【考点】勾股定理，等边三角形的判定，旋转的性质
三、解答题
15.【答案】5
【解析】原式x292x283x21，当x2时，原式615。

根据题意得：
x4
16.【答案】1.5m，5.5m
【解析】设梅花鹿的高度是x m，长颈鹿的高度是y m。

y x 1.5
，解得：。

3x1y y 5.5
答：梅花鹿的高度1.5m，长颈鹿的高度是5.5m。

【考点】一元一次方程或二元一次方程组解决实际问题
1
17.【答案】，作图如下
3
【解析】∵共有6种情况，取出的2个小球上的数字之和为6的有2种情况，∴取出的2个小球上的数字21
之和为6的概率为：。

63
【考点】列表法或画树状图法求概率
18.【答案】∵四边形ABCD为平行四边形，∴B D，AB CD。

∵AE BC，FG CD，∴AEB GFD90。

B D
在△AEB和△GFD中，BE DF，
AEB GFD
∴△AEB≌△GFD，∴AB DC，∴DG DC。

【考点】平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质
19.【答案】（1）如图①，符合条件的C点有5个：
（2）如图②，正方形ABCD即为满足条件的图形：
（3）如图③，边长为10的正方形ABCD的面积最大。

【考点】勾股定理
20.【答案】（1）8
（2）s2＞s2
甲乙
（3）乙
甲
【解析】（1）乙的平均成绩是：(8988789887)108（环）。

（2）根据图象可知：甲的波动小于乙的波动，则s2＞s2。

甲乙
（3）如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适，故答案为：乙，甲。

【考点】折线统计图的识别，方差
21.【答案】（1）如图，作PC AB于C。

在Rt△PAC中，∵PA100，PAC53，∴PC PA sin PAC1000.8080。

在Rt△PBC中，∵PC80，PBC BPC45，∴PB2PC 1.4180113，即B处与灯塔P的距离约为113海里。

则3k b5
22.【答案】（1）y 5
4
x15(4≤x≤12)
（2）5L，3.75L
【解析】（1）设当4≤x≤12时的直线方程为：y kx b(k0)。

∵图象过(4,20)，(12,30)，∴204k b 3012k b
，
5
k
解得：4，
b15
∴y 5
x15(4≤x≤12)。

4
（2）根据图象，每分钟进水2045升，设每分钟出水m升，则588m3020，1515
解得：m，故每分钟进水、出水各是5升、升。

44
【考点】一次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数解析式
23.【答案】（1）3
（2）12
【解析】（1）∵A(3,5)，E(2,0)，∴设直线AE的解析式为y kx b。

k1
，解得：。

2k b0b2
∴直线AE的解析式为y x2。

∵点A(3,5)关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为(3,5)。

∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为(3,a)，
∴a321，∴点D的坐标为(3,1)。

∵反比例函数y k
x
(0＜k＜15)的图象经过点D，∴k3（1）3。

（2）如图：∵点A和点C关于原点对称，
2 2 nπ 2 1 2 1 2
∴阴影部分的面积等于平行四边形 C DGF 的面积，∴ S
阴影 4 3 12 。

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质
24.【答案】（1） S
扇环 (l ﹣l )h ，证明：设大扇形半径为 R ，小扇形半径为 r ，圆心角度数为 n 。

1 2 则由1 nπr 180 ，得 R 180l 180l 1 ， r 2 ， nπ nπ 1 1 90 1 所以图中扇环的面积 S l R l r (l l )(l l ) (l l )(R r) (l l )h ，故猜想正确。

1 2 1 2 1 2 1 2 2
（2）根据题意得： l
1 l
2 40 2h ，则 S
扇环 1 1 (l l )h (40 2h)h h 2 20h (h 10)2 100 。

2
∵ 1＜0 ，∴开口向下，有最大值，当 h 10 时，最大值是 100，即线段 AD 的长 h 为10 m 时，花园的面积
最大，最大面积是100 m 2 。

【考点】扇形的面积公式，二次函数的应用
25.【答案】（1）15
3 8
x 2 (0＜x≤6) （2） y
3 x 2 2 3x 6 3(6＜x≤12) 2
4 3 6 x 2 2 3x 12 3(12＜x≤15) （3） 3 3 2
【解析】（1）如图 1 所示，作 CG
AB 于 G 点。

在 Rt △ABC 中，由 AC 6 ， ABC 30 ，得 BC
AC tan30 6 3。

在 Rt △BCG 中， BG BC cos30
9。

四边形 CGEH 是矩形， CH
GE BG BE 9 6 15 cm ，故答案为：15。

（2）①当 0≤x ＜6 时，如图 2 所示，
x，BE x6，EH(x6)，
GDB60，GBD30，DB x，得DG
1
2
x，BG
3
2
x，
11133
重叠部分的面积为y DG x x x2。

22228
②当6≤x＜12时，如图3所示，
BD x，DG1
2
x，BG
33
23
重叠部分的面积为y
S
△BDG
△S BE
H
1111313
DG BG BE EH，即y x x(x6)(x6)
2222223
化简，得y
3
24
x223x63。

③当12＜x≤15时，如图4所示。

AC6，BC63，BD x，BE x6，EG3(x6)，
3
重叠部分的面积为y
S
△ABC
S
△BEG
11113
=AC BC BE EG，即y663(x6)
22223
(x6)，化简，得y18333
(x212x36)
x2
23x123。

6
6
NG EF 3 3 ， MB CB 3 3，
B 30 ， MG MB 最小=3 3 （3）① ，② 2m n 0 ； 1，2
3 8 x 2 (0＜x≤6)
综上所述： y 3 x 2 2 3x 6 3(6＜x≤12) 。

24 3 6
x 2 2 3x 12 3(12＜x≤15)
（3）如图 5 所示，作 NG DE 于 G 点，
点 M
在 NG 上时 MN
最
短，
NG
是 △
DEF
的中
位线。

【考
点】函
数思
想，分
类讨
论思
想
26.【答
案】（1）
3，4；1，
6
（2） k
m n ，b mn ，见解析
3
2
n 6
【解析】（1）当 x 1 时， y x 2
1 ，则 A ( 1,1)。

1 1 1 3 3 3 3 3 3 ，
MN 2 2 2 2 2 2。

当x4时，y x216，则B41,6)，把A(1,)
k3
，解得。

4k b16b4
当x2时，y x24，则A(2,4)；当x3时，y x29，则B(3,9)，把A(2,4)，B(3,9)分别代入2k b4k1
y kx b得，解得。

3k b9b6
故答案为：3，4；1，6。

（2）k m n，b mn。

km b m2
理由如下：把A(m,m2)，B(n,n2)代入得y kx b，解得。

kn b n2
（3）①当m3时，A(3,9)。

∵点A关于y轴的对称点为点E，∴E(3,9)。

，B(4,16)分别代入y kx b得k b1
(
n33
(33)3n2n6
∴k3n b3n，∴AB的解析式为y(3n)x3n，则D(0,3n)。

当y0时，(3n)x3n0，解得x
3n
3n。

3n
则C(
3n
,0)，∴
S
△ACO
S
四边形AOED
13n
9
2
1
2
(n＞3)。

②连结AE交OD于P，如图②。

∵点A(m,m2)关于y轴的对称点为点E，
∴E(m,m2)，∴OP m2。

∵k m n，b mn，∴D(0,mn)。

若四边形AOED为菱形，则OP DP，即mn2m2，所以n2m。

若四边形AOED为正方形，则OP AP，即m m2，解得m1，所以n2m2。

【考点】待定系数法求函数解析式，抛物线的性质，化归思想的应用。