九年级上册人教版数学《学练优 湖北专版》习题讲评 第21章 第9课时 实际问题与一元二次方程(2)

3．如图，某小区在宽 20 m，长 32 m 的矩形地面上 修筑同样宽的人行道(图中阴影部分)，余下的部分种上草 坪．要使草坪的面积为 540 m2，设道路的宽为 x m，则 可列方程为((2200－－xx))((3322－－xx))＝＝554400．
4．如图，在长为 10 cm，宽为 8 cm 的矩形的四个角 上截去四个全等的小正方形，使留下的图形(图中阴影部 分)面积是原矩形面积的 80%，求截去的小正方形的边 长．
知识点 2 “小路”问题 ☞ 例 3 学校生物小组有一块长 32 m，宽 20 m 的矩形 试验田(如图)，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向 纵、横分别开辟一条等宽的小道．要使种植面积为 540 m2，设小道的宽是 x m，则可列方程：((2200－－xx))((3322－－xx))＝＝ 540 ．
例 2 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段， 再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD(围墙 MN 最长可 利用 25 m)，现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，试 设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300 平方米．
解：设 AB 为 x m，则 BC 为(50－2x)m. 由题意，得 x(50－2x)＝300， 解得 x1＝10，x2＝15. 当 x1＝10 时，50－2x＝30＞25(不合题意，舍去)， 当 x2＝15 时，50－2x＝20＜25(符合题意)． 答：当砌墙宽为 15 米，长为 20 米时，矩形花园的 面积为 300 平方米．
变式 2 如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈， 用 100 AB，BC 分别为多少米．
解：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为(100－4x)米． 根据题意，得(100－4x)x＝400， 解得 x1＝20，x2＝5. 则 100－4x＝20 或 100－4x＝80. ∵80＞25，∴x2＝5 舍去．即 AB＝20，BC＝20. 答：羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米，20 米．
解：设这个矩形的长为 x cm，则宽为(x－3)cm. 根据题意，得 x(x－3)＝28. 解得 x＝7 或 x＝－4(舍去)．∴x－3＝4. 答：这个矩形的长为 7 cm，宽为 4 cm.
变式 1 一个直角三角形的两条直角边长相差 3 cm，
面积为 9 cm2，设较长的直角边长为 x 米，则可列方程： (x12－(x－3)x3＝)x9＝9．
第二十一章 一元二次方程
第9课时 实际问题与一元二次方程(2)
核心提要 典例精炼 变式训练 基础巩固 能力拔高 拓展培优
一元二次方程与图形问题，这类应用题经常用到的 几何知识有面积公式和勾股定理．
知识点 1 简单几何图形的面积问题 ☞ 例 1 已知一个矩形的长比宽多 3 cm，面积是 28 cm2，求这个矩形的长和宽．
2．已知一个直角三角形的两条直角边长的和是 14 cm，面积是 24 cm2，求两条直角边的长．
解：设其中一条直角边长为 x cm，则另一条直角边 长为(14－x)cm.
由题意，得12x(14－x)＝24，解得 x1＝6，x2＝8. 当 x＝6 时，14－x＝8；当 x＝8 时，14－x＝6. 答：两条直角边的长分别为 6 cm 和 8 cm.
(1)当花园垂直于墙的一边长为多少时，花园的面积 为 12 m2？
解：依题意，得 x(10－2x)＝12， 整理，得 x2－5x＋6＝0， 解得 x1＝2，x2＝3. 答：当花园垂直于墙的一边长为 2 米或 3 米时，花 园的面积为 12 m2.
(2)花园的面积能否为 13 m2？请说明理由．
解：假设可以． 依题意，得 x(10－2x)＝13，即 2x2－10x＋13＝0. ∵Δ＝(－10)2－4×2×13＝－4＜0， ∴该方程无解，即假设不成立． ∴花园的面积不能为 13 m2.
变式 3 在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形风景画(如 图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图 (如图②)．如果要使整个挂图的面积是 80 平方分米，那 么金色纸边的宽为 1 1 分米．
1．如图，在一块长为 32 米，宽为 15 米的矩形草地 中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，若 草地的总面积为 420 平方米，设小道的宽是 x 米，则可 列方程为(32－2x)(15－x)＝420(或 x22－3311xx＋＋3300＝＝00))．
解：设截去的小正方形的边长为 x cm. 由题意，得 10×8－4x2＝80%×10×8， 解得 x1＝2，x2＝－2(不符合题意，舍去)． 答：截去的小正方形的边长为 2 cm.
5．如图，已知一个矩形花园的一面靠墙(墙长 5 m)， 另外三面用总长度为 9 m 的栅栏围成，并且平行于墙的 一边开有宽 1 m 的门．设当花园垂直于墙的一边长为 x m 时，则另一边的长度为((1100－－22xx)) m.
6．将一根长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁 丝的长度为周长分别做成一个正方形，设其中一段铁丝 的长为 4x cm，要使这两个正方形的面积之和为 17 cm2， 那么这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
解：由题意，得 x2＋20－4 4x2＝17， 解得 x1＝4，x2＝1.∴4x＝16 或 4x＝4， ∴另一段长为 4 或 16. ∴剪成的两段长度分别为 4 cm 和 16 cm.