四川省绵阳市 中考数学模拟试卷(word解析版)

四川省绵阳市中考数学模拟试卷（1）
一．选择题（共12小题,满分36分,每小题3分）
1．（3分）已知关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0：②x﹣（x﹣1）（3﹣x）＝0；③（k2+1）x2+kx＝1；④,其中一元二次方程的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）如图图形中是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x﹣4的图象先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度得到的图象对应的二次函数的表达式为y＝x2+ax+b,则ab的值为（）
A．﹣22B．22C．88D．﹣88
4．（3分）将如图所示的图案绕其中心旋转一个合适的角度可以和原图案重合,这个旋转角的最小度数为（）
A．45°B．60°C．75°D．90°
5．（3分）下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0一定有实数根的是（）A．a＞0B．a＝0C．c＜0D．c＝0
6．（3分）在圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7,则∠B的度数为（）
A．140°B．100°C．80°D．40°
7．（3分）某超市2019年的销售利润是100万元,计划到2021年利润要达到144万元,若设每年平均增长率是x%,则可得方程（）
A．100（1+x）2＝144B．100（1+x%）2＝144
C．x2＝144D．100x（x+1）＝144
8．（3分）已知⊙A与⊙B的半径分别为3cm和7cm,两圆的圆心距AB＝7cm,则两圆的位置关系是（）
A．外切B．内切C．相离D．相交
9．（3分）如图,二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1,0）、点B（3,0）、点C（4,y1）,若点D（x2,y2）是抛物线上任意一点,有下列结论：①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a；③若y2＞y1,则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和,其中正确结论的序号是（）
A．①④B．①②C．②③D．①③④10．（3分）如图,在⊙O中,弦BC＝,半径OA⊥弦BC于点D,将⊙O沿弦BC向上折叠,使折叠后的圆弧与AD交于点E,若sin∠ABE＝,则OD的长度（）
A．3B．C．4D．
11．（3分）如图,⊙O的半径为4,CD切⊙O于点D,AB是直径．若ED⊥AB于点F且∠CDE ＝120°,则ED的长度为（）
A．2B．4C．6D．4
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x,y）对应值如表所示,点A （﹣4,y1）,B（﹣2,y2）,C（4,y3）在该抛物线上,则y1,y2,y3的大小关系为（）x…﹣3﹣2﹣101…
y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…
A．y1＝y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）
13．（4分）给出下列两条抛物线：．请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点：（5条以上得满分）
14．（4分）若关于x的一元二次方程的两个根分别为x1＝1,x2＝2,则这个方程是．15．（4分）如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA＝3,AB ＝5,将△AOB绕点A按顺时针方向旋转得到△ADC,使CD所在直线经过点B,则直线CD 的解析式为．
16．（4分）如图,抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B．
①若点M（﹣2,y1）、、P（2,y3）在该函数图象上,则y1＜y2＜y3；
②将抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
③抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+3有且只有一个交点；
④点A关于直线x＝1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m＝1时,四边形BCDE
周长的最小值为．
其中正确判断的序号是．
17．（4分）如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,P是对角线AC上的动点,以点P为圆心,PC 长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时,CP的长为．
18．（4分）如图,抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D,与x轴交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x,﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1,y1）,N（x2,y2）是抛物线上两点（x1＜x2）,若x1+x2＞2,则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有．（填序号）
三．解答题（共7小题,满分90分）
19．（16分）解方程：
（1）3（x﹣3）＝5x（x﹣3）；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝13．
20．（12分）方程有多少个实根？是正数根还是负数根？
21．（12分）如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,以AB为直径的⊙O交BC于点E,点D为AC
的中点,连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若CE＝1,OA＝,求∠ACB的度数．
22．（12分）某商品市场销售抢手,其进价为每件80元,售价为每件130元,每个月可卖出500件；据市场调查,若每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）,每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时,每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时,每个月的利润恰为40000元？根据以上结论,请你直接写出x在什么范围时,每个月的利润不低于40000元？
23．（12分）如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1,﹣1）,B（2,﹣4）,点P是抛物线上不与A,B重合的一个动点,点Q是y轴上的一个动点．
（1）求a,k,b的值．
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（3）当点P在直线AB上方时,请求出△P AB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（4）是否存在以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出P,Q的坐标；
若不存在,请说明理由．
24．（12分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按图1所示的位置摆放,将△ADE绕点A按逆时针方向旋转,如图2,连接BD,EC,设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）如图1,BD与EC的数量关系是,BD与EC的位置关系是；
（2）如图2,（1）中BD和EC的数量关系和位置关系是否仍然成立,若成立,请证明；若不成立请说明理由．
（3）如图3,当点D在线段BE上时,∠BEC＝．
（4）当旋转角α＝时,△ABD的面积最大．
25．（14分）如图,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且B的坐标为（3,0）,抛物线对称轴为l：x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC,BC,求△ABC的面积；
（3）若点P是直线BC下方抛物线上一动点,连接AC,BP,CP,求四边形ACPB面积的最大值．
四川省绵阳市中考数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题,满分36分,每小题3分）
1．（3分）已知关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0：②x﹣（x﹣1）（3﹣x）＝0；③（k2+1）x2+kx＝1；④,其中一元二次方程的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①ax2+bx+c＝0当a＝0是一元一次方程,故不符合题意；
②x﹣（x﹣1）（3﹣x）＝0是一元二次方程,故符合题意；
③（k2+1）x2+kx＝1是一元二次方程,故符合题意；
④是分式方程,故不符合题意；
故选：B．
2．（3分）如图图形中是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心,故A符合题意；
故选：A．
3．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x﹣4的图象先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度得到的图象对应的二次函数的表达式为y＝x2+ax+b,则ab的值为（）
A．﹣22B．22C．88D．﹣88
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8,
∴将抛物线y＝（x﹣2）2﹣8先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度得到：y ＝（x﹣2﹣2）2﹣8+3,即y＝x2﹣8x+11,
∴a＝﹣8,b＝11,
故ab＝﹣8×11＝﹣88．
故选：D．
4．（3分）将如图所示的图案绕其中心旋转一个合适的角度可以和原图案重合,这个旋转角的最小度数为（）
A．45°B．60°C．75°D．90°
【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°,旋转4次所组成,故最小旋转角为90°．
故选：D．
5．（3分）下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0一定有实数根的是（）A．a＞0B．a＝0C．c＜0D．c＝0
【解答】解：∵一元二次方程有实数根,
∴Δ＝（﹣4）2﹣4ac＝16﹣4ac≥0,且a≠0,
∴ac≤4,且a≠0；
A、若a＞0,当a＝1、c＝5时,ac＝5＞4,此选项错误；
B、a＝0不符合一元二次方程的定义,此选项错误；
C、若c＜0,当a＝﹣1、c＝﹣5时,ac＝5＞4,此选项错误；
D、若c＝0,则ac＝0≤4,此选项正确；
故选：D．
6．（3分）在圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7,则∠B的度数为（）
A．140°B．100°C．80°D．40°
【解答】解：设∠A的度数为2x,则∠B、∠C的度数分别为4x、7x,
由题意得：2x+7x＝180°,
解得：x＝20°,
则∠B＝4x＝80°,
故选：C．
7．（3分）某超市2019年的销售利润是100万元,计划到2021年利润要达到144万元,若设每年平均增长率是x%,则可得方程（）
A．100（1+x）2＝144B．100（1+x%）2＝144
C．x2＝144D．100x（x+1）＝144
【解答】解：由题意可得,
100（1+x%）＝144,
故选：B．
8．（3分）已知⊙A与⊙B的半径分别为3cm和7cm,两圆的圆心距AB＝7cm,则两圆的位置关系是（）
A．外切B．内切C．相离D．相交
【解答】解：∵两圆的半径分别为3cm,7cm,
∴半径和为：3+7＝10（cm）,半径差为：7﹣3＝4（cm）,
∵其圆心距为7cm,4＜7＜10,
∴这两圆的位置关系是：相交．
故选：D．
9．（3分）如图,二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1,0）、点B（3,0）、点C（4,y1）,若点D（x2,y2）是抛物线上任意一点,有下列结论：①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4,则0≤y2≤5a；③若y2＞y1,则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和,其中正确结论的序号是（）
A．①④B．①②C．②③D．①③④
【解答】解：抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）,
即y＝ax2﹣2ax﹣3a,
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a,
∴当x＝1时,二次函数有最小值﹣4a,所以①正确；
当x＝4时,y＝a•5•1＝5a,
∴当﹣1≤x2≤4,则﹣4a≤y2≤5a,所以②错误；
∵点C（4,5a）关于直线x＝1的对称点为（﹣2,5a）,
∴当y2＞y1,则x2＞4或x＜﹣2,所以③错误；
∵b＝﹣2a,c＝﹣3a,
∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0,
整理得3x2+2x﹣1＝0,解得x1＝﹣1,x2＝,所以④正确．
故选：A．
10．（3分）如图,在⊙O中,弦BC＝,半径OA⊥弦BC于点D,将⊙O沿弦BC向上折叠,使折叠后的圆弧与AD交于点E,若sin∠ABE＝,则OD的长度（）
A．3B．C．4D．
【解答】解：连接BF,BO,如图：
∵将⊙O沿BC对折交AD于点E,
∴BE＝BF,DE＝DF,
∵AF是⊙O的直径,
∴∠ABF＝90°,
∴∠A+∠F＝90°,
∵半径OA⊥弦BC于点D,
∴∠F+∠FBD＝90°,
∴∠EBD＝∠FBD＝∠A,
∴∠ABE＝90°﹣2∠A,连接OB,
∵OA＝OB,
∴∠A＝∠ABO,
∴∠ABO＝∠DBE,
∴∠ABE＝∠OBD,
∵sin∠ABE＝,
∴sin∠OBD＝,
设OD＝x,则OB＝4x,则BD＝＝x,
∵BC＝6,
∴BD＝BC＝3,
∴x＝3,
∴x＝3,即OD＝3,
故选：A．
11．（3分）如图,⊙O的半径为4,CD切⊙O于点D,AB是直径．若ED⊥AB于点F且∠CDE ＝120°,则ED的长度为（）
A．2B．4C．6D．4
【解答】解：∵CD切⊙O于点D,
∴OD⊥CD,
∴∠ODC＝90°,
∵∠CDE＝120°,
∴∠ODE＝∠CDE﹣∠ODC＝30°,
∵AB是直径,ED⊥AB,
∴EF＝DF,OF＝OD＝2,
∴DF＝＝2,
∴ED＝4,
故选：D．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x,y）对应值如表所示,点A （﹣4,y1）,B（﹣2,y2）,C（4,y3）在该抛物线上,则y1,y2,y3的大小关系为（）x…﹣3﹣2﹣101…
y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…
A．y1＝y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2
【解答】解：由表格可得,
该函数的对称轴是直线x＝＝﹣2,当x＞﹣2时,y随x的增大而减小,当x＜﹣2时,y随x的增大而增大,
∵点A（﹣4,y1）,B（﹣2,y2）,C（4,y3）在该抛物线上,﹣2﹣（﹣4）＝2,4﹣（﹣2）＝6,∴y3＜y1＜y2,
故选：B．
二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）
13．（4分）给出下列两条抛物线：．请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点：①抛物线开口向上,②抛物线都与y轴交于点（0,1）,③当x＞﹣1时,y随x的增大而增大,④抛物线都不经过第四象限,⑤两条抛物线最小值都为﹣1．等等．（5条以上得满分）
【解答】解：两条抛物线的共同点：①抛物线开口向上,②抛物线都与y轴交于点（0,1）,
③当x＞﹣1时,y随x的增大而增大,④抛物线都不经过第四象限,⑤两条抛物线最小值都
为﹣1．等等．
14．（4分）若关于x的一元二次方程的两个根分别为x1＝1,x2＝2,则这个方程是x2﹣3x+2＝0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别为x1＝1,x2＝2,
∴x1+x2＝﹣＝3,x1x2＝＝2,
∴这个方程是x2﹣3x+2＝0．
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
15．（4分）如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA＝3,AB ＝5,将△AOB绕点A按顺时针方向旋转得到△ADC,使CD所在直线经过点B,则直线CD 的解析式为y＝﹣x+4．
【解答】解：∵OA＝3,AB＝5,
∴OB＝＝4,
∴A（3,0）,B（0,4）,
∴直线AB为y＝﹣x+4,
由题意可知AB＝AC,AD⊥DC,
∴BD＝CD,
∴△ACD与△ABD关于AD对称,
∴△ABD与△ABO关于AB对称,D是O的对称点,
设D（m,n）,
则,解得,
∴D（,）,
设直线CD的解析式为y＝kx+4,
把D的坐标代入得,＝k+4,解得k＝﹣,
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4,
故答案为y＝﹣x+4．
16．（4分）如图,抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B．
①若点M（﹣2,y1）、、P（2,y3）在该函数图象上,则y1＜y2＜y3；
②将抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
③抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+3有且只有一个交点；
④点A关于直线x＝1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m＝1时,四边形BCDE
周长的最小值为．
其中正确判断的序号是②④．
【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝1,
∴点P（2,y3）关于x＝1的对称点P'（0,y3）,
∵a＝﹣1＜0,
∴当x＜1时,y随x增大而增大,
又∵,点M（﹣2,y1）、、P'（0,y3）在该函数图象上,
∴y2＞y3＞y1,
故①错误；
②将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为y＝﹣（x+2）
2+2（x+2）+m+1﹣2,即y＝﹣（x+1）2+m,
故②正确；
③把y＝m+3代入y＝﹣x2+2x+m+1中,
得x2﹣2x+2＝0,
∵Δ＝b2﹣4ac＜0,
∴抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+3没有交点,
故③错误；
④当m＝1时,抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2,
∴A（0,2）,C（2,2）,B（1,3）
作点B关于y轴的对称点B'（﹣1,3）,作C关于x轴的对称点C'（2,﹣2）,
连接B'C',与x轴、y轴分别交于D、E点,则BE+ED+CD+BC＝B'E+ED+C'D+BC,
根据两点之间线段最短,知B'C'最短,而BC的长度一定,此时四边形BCDE的周长最小,最小为,
故④正确．
故答案为：②④．
17．（4分）如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,P是对角线AC上的动点,以点P为圆心,PC 长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时,CP的长为或．
【解答】解：作PE⊥AD于E,PF⊥AB于F,
在Rt△ABC中,AC＝＝5,
由题意可知,⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切,
当⊙P与AD相切时,PE＝PC,
∵PE⊥AD,CD⊥AD,
∴PE∥CD,
∴△APE∽△ACD,
∴＝,即＝,
解得,CP＝,
当⊙P与AB相切时,PF＝PC,
∵PF⊥AB,CB⊥AB,
∴PF∥BC,
∴△APE∽△ACD,
∴＝,即＝,
解得,CP＝,
综上所述,当⊙P与矩形ABCD的边相切时,CP的长或,
故答案为：或．
18．（4分）如图,抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D,与x轴交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x,﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1,y1）,N（x2,y2）是抛物线上两点（x1＜x2）,若x1+x2＞2,则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有①③④．（填序号）
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1,0）、B（3,0）,
∴,
故①正确．
②：由①分析知：,
∴b＝﹣2a,c＝﹣3a,
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a）＝16a2,
∴若b2﹣4ac＜2a,即16a2＜2a,
∴．
根据题目已有条件,无法推断出a＜,
∴②无法定论．
③∵对于任意实数x,﹣ax2﹣bx≤a成立,
即对于任意实数x,﹣ax2﹣bx﹣a≤0成立．
令g＝﹣ax2﹣bx﹣a（﹣a≠0）．
∵a＞0,
∴﹣a＜0,
∴关于实数x的二次函数g＝﹣ax2﹣bx﹣a图象开口向下．
若对于任意x,g＝﹣ax2﹣bx﹣a≤0,故需判断△＝（﹣b）2﹣4•（﹣a）•（﹣a）与0的数量关系．
∵b＝﹣2a,c＝﹣3a,
∴△＝（2a）2﹣4a2＝0,
∴对于任意实数x,g≤0．
故③正确．
④,
∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）．
∵b＝﹣2a,
∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2a（x1﹣x2）＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）．
∵a＞0,x1＜x2,x1+x2＞2,
∴x1﹣x2＜0,x1+x2﹣2＞0,
∴a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0,
∴y1＜y2．
故④正确．
⑤：经分析,AC≠BC,AB＝4．
若△ABC为等腰三角形,则AC＝AB或AB＝BC．
∵OA＝1,OC＝c＝﹣3a,OB＝3,
∴AC＝,BC＝．当AC＝AB＝4时,则,
∴（不合题意,舍去）．
当AB＝BC＝4时,则,
∴（不合题意,舍去）．
综上所述：a值有两个．
故⑤不正确．
故答案为①③④．
三．解答题（共7小题,满分90分）
19．（16分）解方程：
（1）3（x﹣3）＝5x（x﹣3）；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝13．
【解答】解：（1）∵3（x﹣3）＝5x（x﹣3）,
∴3（x﹣3）﹣5x（x﹣3）＝0,
则（x﹣3）（3﹣5x）＝0,
∴x﹣3＝0或3﹣5x＝0,
解得x1＝3,x2＝；
（2）整理成一般式,得：x2+2x﹣8＝0,
∴（x+4）（x﹣2）＝0,
则x+4＝0或x﹣2＝0,
解得x1＝﹣4,x2＝2．
20．（12分）方程有多少个实根？是正数根还是负数根？
【解答】解：方程变形为x2﹣x＝,
则它的解就是二次函数y＝x2﹣x和反比例函数y＝交点的横坐标．
由图象可得二次函数过第1,2,4象限和坐标原点,反比例函数过第1,3象限,
∴它们有一个交点且在第1象限．
∴原方程有一个实数根,并且为正实数根．
21．（12分）如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,以AB为直径的⊙O交BC于点E,点D为AC 的中点,连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若CE＝1,OA＝,求∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：如图,连接OD,OE,
∵OB＝OE,
∴∠OBE＝∠OEB,
∵点D是AC的中点,O是AB的中点,
∴OD∥BC,
∴∠OBE＝∠AOD,∠OEB＝∠DOE,
∴∠AOD＝∠EOD,
在△AOD和△EOD中,
,
∴△AOD≌△EOD（SAS）,
∴∠OED＝∠OAD＝90°,
∴OE⊥DE,
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图,连接AE,
∵AB为⊙O直径,
∴∠AEB＝∠AEC＝90°,
∵点D为AC的中点,
∴设AD＝CD＝x,
∴AE＝＝,
∵∠C+∠CAE＝90°,∠BAE+∠CAE＝90°,∴∠C＝∠BAE,
∴△AEC∽△BEA,
∴＝,
∴＝,
∴x＝,
两边平方,得
（4x2﹣1）x2＝3,
整理,得4x4﹣x2﹣3＝0,
∴（x2﹣1）（4x2+3）＝0,
∴（x2﹣1）＝0或（4x2+3）＝0,
解得,x＝±1（负值舍去）,（4x2+3）＝0无解,
∴x＝1,
∴AC＝2x＝2,
∴cos∠C＝＝,
∴∠C＝60°．
答：∠ACB的度数为60°．
22．（12分）某商品市场销售抢手,其进价为每件80元,售价为每件130元,每个月可卖出500件；据市场调查,若每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）,每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时,每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时,每个月的利润恰为40000元？根据以上结论,请你直接写出x在什么范围时,每个月的利润不低于40000元？
【解答】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）,每个月的销售利润为y元,由题意得：
y＝（130﹣80+x）（500﹣2x）
＝﹣2x2+400x+25000
∵每件售价不能高于240元
∴130+x≤240
∴x≤110
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+400x+25000,自变量x的取值范围为0＜x≤110,且x为正整数．
（2）∵y＝﹣2x2+400x+25000
＝﹣2（x﹣100）2+45000
∴当x＝100时,y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价100元时,每个月可获得最大利润,最大的月利润是45000元．
（3）令y＝40000,得：
﹣2x2+400x+25000＝40000
解得：x1＝50,x2＝150
∵0＜x≤110
∴x＝50,即每件商品的涨价为50元时,每个月的利润恰为40000元；
由二次函数的性质及问题的实际意义,可知当50≤x≤110,且x为正整数时,每个月的利润不低于40000元．
∴每件商品的涨价为50元时,每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤110,且x为正整数时,每个月的利润不低于40000元．
23．（12分）如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1,﹣1）,B（2,﹣4）,点P是抛物线上不与A,B重合的一个动点,点Q是y轴上的一个动点．
（1）求a,k,b的值．
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（3）当点P在直线AB上方时,请求出△P AB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（4）是否存在以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出P,Q的坐标；
若不存在,请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1,﹣1）,代入y＝ax2中,可得：a＝﹣1,
把A（﹣1,﹣1）,B（2,﹣4）代入y＝kx+b中,可得：,解得,
∴a＝﹣1,k＝﹣1,b＝﹣2；
（2）观察函数图象可知,关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2；
（3）过点A作y轴的平行线,过点B作x轴的平行线,两者交于点C,
∵A（﹣1,﹣1）,B（2,﹣4）,
∴C（﹣1,﹣4）,AC＝BC＝3,
设点P的横坐标为m,则点P的纵坐标为﹣m2．
过点P作PD⊥AC于D,作PE⊥BC于E．则D（﹣1,﹣m2）,E（m,﹣4）,∴PD＝m+1,PE＝﹣m2+4．
∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC,
＝×AC•PD+×BC•PE﹣×BC•AC,
＝×3×（m+1）×3×（﹣m2+4）﹣×3×3,
＝﹣m2+m+3．
∵﹣＜0,m＝﹣＝,
而﹣1＜m＜2,
∴当m＝时,S△APB的最大值为,此时点P的坐标为（,﹣）；（4）存在三组符合条件的点．
当以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形时,
∵AP＝BQ,AQ＝BP,A（﹣1,﹣1）,B（2,﹣4）,
可得坐标如下：
①P′的横坐标为﹣3,代入二次函数表达式,
解得：P'（﹣3,﹣9）,Q'（0,﹣12）；
②P″的横坐标为3,代入二次函数表达式,
解得：P″（3,﹣9）,Q″（0,﹣6）；
③P的横坐标为1,代入二次函数表达式,
解得：P（1,﹣1）,Q（0,﹣4）．
故：P、Q的坐标分别为（﹣3,﹣9）、（0,﹣12）或（3,﹣9）、（0,﹣6）或（1,﹣1）、（0,﹣4）．24．（12分）把两个等腰直角△ABC和△ADE按图1所示的位置摆放,将△ADE绕点A按逆时针方向旋转,如图2,连接BD,EC,设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）如图1,BD与EC的数量关系是BD＝CE,BD与EC的位置关系是BD⊥CE；
（2）如图2,（1）中BD和EC的数量关系和位置关系是否仍然成立,若成立,请证明；若不成立请说明理由．
（3）如图3,当点D在线段BE上时,∠BEC＝90°．
（4）当旋转角α＝90°或270°时,△ABD的面积最大．
【解答】解：（1）BD＝EC,且BD⊥EC,理由如下：
∵AB＝AC,AD＝AE,
∴AB﹣AD＝AC﹣AE,
∴BD＝EC；
∵AB⊥AC,点D,E分别在AB,AC上,
∴BD⊥EC；
故答案为：BD＝EC；BD⊥EC；
（2）成立,
证明：根据旋转的性质可得：AD＝AE,AB＝AC,∠BAD＝∠CAE,∴△ABD≌△ACE（SAS）,
∴BD＝EC,
作BD的延长线EC交EC于点F,交AC于点G,
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD＝∠ACE,
∵∠AGB＝∠FGC,
∴∠GAB＝∠GFC＝90°,
∴BD⊥EC；
（3）当点D在线段BE上时,
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC,
∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC,
∴∠BAD＝∠CAE,
又∵AB＝AC,AD＝AE,
∴△BAD≌△CAE（SAS）,
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°,
∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°,
故答案为：90°；
（4）由题意知,点D的轨迹是以A为圆心AD为半径的圆,
在△ABD中,当AB为底时,点D到AB的距离最大时,△ABD的面积最大,
当AD⊥AB时,△ABD的面积最大,
∴旋转角为90°或270°,
故答案为：90°或270°．
25．（14分）如图,抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且B的坐标为（3,0）,抛物线对称轴为l：x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC,BC,求△ABC的面积；
（3）若点P是直线BC下方抛物线上一动点,连接AC,BP,CP,求四边形ACPB面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意得,
,
解得,
∴抛物线的解析式的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0,则x2﹣2x﹣3＝0,
解得：x1＝3,x2＝﹣1,
∴A（0﹣1,）B（3,0）,
令x＝0,y＝﹣3,
∴C（0,﹣3）,
∴AB＝4,
∴S△ABC＝×4×3＝6；
（3）∵B（3,0）,C（0,﹣3）,
设直线BC的解析式为y＝kx+n,
∴,
∴直线BC的解析式为y BC＝x﹣3,
如图,过P作PN⊥x轴交AB于N,交BC于G
设P（m,m2﹣2m﹣3）,G（m,m﹣3）,
∴GP＝m﹣3﹣m2+2m+3
＝﹣m2+3m,
∴S△BCP＝GP（BN+ON）＝GP•OB＝﹣x,
∴四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BCP＝6+（﹣x）＝﹣,∵﹣＜0,
∴x＝时,四边形ACPB的面积的最大值为．。