第05讲 最短路径(原卷版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(人教版)

第05讲
最短路径课程标准
学习目标
①最短路径的基本原理②最短路径的基本模型 1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，
点到直线的距离最短。

2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，
垂直平分线的性质解决相应题目。

知识点01最短路径的基本原理
1.最短路径的基本原理：
①两点之间，线段。

如图，号线最短
②点到直线的距离。

如图，最短。

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离。

如图，MN是垂直平分线，CA=。

知识点02最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短1.如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：
方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线
的交点即为要找的点M。

解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。

连接P’Q，P’Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。

证明：∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的
∴MP MP’
∴MP＋MQ＝＋MQ＝。

∴MP＋MQ此时有最小值，为的长度
题型考点：①基本作图。

②求值计算。

【即学即练1】
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【即学即练2】
2．如图，在等边△ABC 中，BC 边上的高AD ＝6，E 是高AD 上的一个动点，F 是边AB 的中点，在点E 运动的过程中，EB +EF 存在最小值，则这个最小值是（）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
知识点03最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短
1.如图，已知∠MON 以及角内一点P ，角的两边OM 与ON 上存在点A 与点B ，使得△PAB 的周长最小：
方法点拨：分别作点P 关于OM 与ON 的对称点P ’与P ’’，连接P ’P ’’。

P ’P ’’
与OM 、ON 的交点A 与B 即为要找到的点。

解：如图，分别作点P 关于OM 与ON 的对称点P ’与P ’’，连接P ’P ’’。

P ’P ’’
与OM 、ON 的分别交于点A 与点B ，连接PA 、PB 以及AB ，此时△PAB 的周长最
小。

证明：∵P 与P ’关于OM 对称，P 与P ’’关于ON 对称
∴OM 是PP ’的
，ON 是PP ’’的。

∴AP AP ’，BP BP ’’
∴PB AB P A C P AB ++=△＝
＋AB ＋＝∴△PAB 的周长最小。

题型考点：①基本作图。

②求值计算。

【即学即练1】
3．如图，已知∠O ，点P 为其内一定点，分别在∠O 的两边上找点A 、B ，使△PAB 周长最小的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【即学即练2】
4．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α＝（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
知识点04最短路径基本类型——角内两点与角两边构成的四边形周长最短
1.如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小：
方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边
OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。

解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，
DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。

此时四边形PQMN
的周长最下。

证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的，OB是PC的。

∴MD MQ，NP NC。

C PQMN+
PQ
PN
QM
MN
=
+
+
四边形
＝PQ＋＋MN＋
＝PQ＋。

∴四边形PQMN的周长最小。

题型考点：①基本作图。

【即学即练1】
5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹）
知识点05最短路径基本类型——造桥选址问题
1.如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程
最短：
方法点拨：在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，
连接端点与另一村庄，直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。

如下图：
题型考点：①基本作图。

【即学即练1】
6．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）
A．B．
C．D．
题型01最短路径的作图
【典例1】
小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）
A．B．
C．D．
【典例2】
如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）
A．B．
C．D．
【典例3】
如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
【典例4】
将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M 出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？
【典例5】
如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．
【典例6】
如图：要求在l1、l2上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M，N的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
题型02最短路径的计算
【典例1】
如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）
A．7B．8C．10D．12
【典例2】
如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（）
A．6B．4C．3D．2
【典例3】
如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）
A．a B．2a﹣180°C．180°﹣a D．a﹣90°
【典例4】
如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（）
A．0.5m B．m C．1.5m D．2m
【典例5】
如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（）
A．13B．14C．15D．13.5
【典例6】
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（）
A．7B．9C．11D．14
【典例7】
如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）
A．B．C．a+b D．a
【典例8】
如图，在四边形ABCD中，∠C＝α°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）
A．αB．2αC．180﹣αD．180﹣2α。