人教A版高中数学选择性必修第三册《排列与组合》知识探究课件
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多少张?
思路 解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列与组合定义的理解,辨
别一个简单问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,
若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是
组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺
序无关.
! − !
(1)计算, 较大时的组合数.
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明,特别地,当 >
性质 = − 转化,减少计算量.
时计算 ,用
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
典例4
+ + ⋯ +
式子
!
A.
+
解析
可表示为( D )
取元素的个数.(2)解决本题是根据排列数的第二个公式
=
!
,应用排列数
− !
公式的阶乘情势时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算.
典型例题
分析计算能力
典例2 (1)用排列数表示 − ൫ − ሻ ⋯ − ൫ ∈ ∗ 且 < ሻ;
= − .
探究点4 组合数、组合数公式及其性质
1.组合数:从个不同元素中取出 ⩽ 个元素的所有不同组合的个数,
叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号 表示.
2.组合数公式及其性质
(1)公式:连乘表示:
阶乘表示:
=
=
=
=
− − ⋯ −+
元素中进行次不放回地取出.
2.取出的个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组
合的特点.
3.辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否
有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,
否则就是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与
= + = ;
−
当 = 时, − + +
= + = .
典型例题
简单问题解决能力
典例3 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合 = ,则集合的子集中含有3个元素的有多少个?
(2)202X年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有
多少张?
解析 (1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.
(2)甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题.
= − .
∴
−
+
+ !
+− !
−
!
− !
=⋅
!
+− !
= −
,
探究点3 组合
一般地,从个不同元素中取出 ⩽ 个元素作为一组,叫做从个
不同元素中取出个元素的一个组合.
要点辨析
1.组合要求个元素是不同的,被取的个元素也是不同的,即从个不同的
要点辨析
1.排列数公式的情势及选择方法
(1)排列数的第一个公式
= − − ⋯ − + 适用于已知
的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.
(2)排列数的第二个公式
解不等式等.
=
!
适用于与排列数有关的证明、解方程、
− !
要点辨析
2.排列数的计算方法
分式的分母是!,分子是个连续自然数的乘积,最大的为 + ,最小的为.
+ + ⋯ +
故
!
= ⋅
+ + ⋯ +
!
= +
.
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
−
典例4-2 求值:− + +
选取元素的顺序无关.
4.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法
逐个地将各个组合表示出来.
典型例题
简单问题解决能力
典例3 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合 = ,则集合的子集中含有3个元素的有多少个?
(2)202X年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有
.
思路 解决本题是根据组合数的定义中 ⩽ ,特别地,当 > 时计算 ,用性质
= − 转化,减少计算量.
解析
⩽ − ⩽ ,
由组合数定义知:ቊ
所以 ⩽ ⩽ .
⩽ − ⩽ + ,
又因为 ∈ ∗ ,所以 = 或.
−
当 = 时, − + +
(2)求证:
−
+
解析
(1) ∵ − , − , ⋯ , − 中的最大数为 − ,且共有 − − ሺ −
ሻ + = (个)元素,
∴ − − ⋯ − =
− .
=
证明:(2) ∵
−
+
个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号
表示.
2.排列数公式
∗ , ⩽ ሻ.
连乘情势:
=
−
−
⋯
−
+
∈
阶乘情势:
=
!
.
− !
3.性质
(1) = !, ! =
(2)
=
− !
− !
= −
− .
人教A版同步教材名师课件
排列与组合
---知识探究
探究点1 排列
一般地,从个不同元素中取出 ≤ 个元素,按照一定的顺序排
成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
要点辨析
1.排列的定义包括三个方面:
(1)排列的对象两两不相同;
(2)取出元素;
(3)按一定的顺序排成一列,根据这三个方面进行判断即可.
!
!
.
! − !
(2)性质: = − , + − = +
.
(3)规定: = .
, ∈ ∗ , ⩽ .
要点辨析
1.组合数计算公式的选取技能
(1)涉及具体数字的可以直接用公式
(2)涉及字母的可以用阶乘式
=
=
分析计算能力
典例2 (1)用排列数表示 − ൫ − ሻ ⋯ − ൫ ∈ ∗ 且 < ሻ;
= − .
(2)求证:
−
+
思路 本题要求学生能根据排列数公式的逆用,进行计算与证明.(1)连续正整数的积可
以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选
−
+
= ?可以得到多少个焦点在轴上的双曲线方程
= ?
(3)平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?
可确定多少条射线?
典型例题
思路 解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列定义的理解,来推断题目
是不是排列,排列的定义包括三个方面:(1)排列的对象两两不相同;(2)取出元素;(3)
B. +
C. +
D.+
本题根据组合数的特点及其公式进行概括理解和分析计算.
解决本题是根据组合数公式
=
=
− − ⋯ −+
!
,其中最大的是元素的
总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是组合数公式的逆用.
问题,无变化就不是排列问题.
典型例题
估计解释能力、概括理解能力
典例1 判断下列问题是否为排列问题:
(1)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法?若选出3个座位安排三
位客人,又有多少种方法?
(2)从集合 = ⋯ 中,任取两个元素作为, ,可以得到多少个焦点在
轴上的椭圆方程
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正
整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数
(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.
(2)应用排列数公式的阶乘情势时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,
然后计算,这样往往会减少运算量.
典型例题
按一定的顺序排成一列.根据这三个方面进行判断即可.
解析
(1)第一问不是排列问题,第二问是排列问题,“入座”问题同“排队”问题,与顺序有
关.
(2)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.
(3)确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题.
探究点2 排列数、排列数公式及其性质
1.排列数把从个不同元素中取出 ⩽ 个元素的所有不同排列的
2.相同排列的两个条件:
(1)两个排列的元素完全相同.
(2)元素的排列顺序相同.
要点辨析
3.解决问题的关键有两点:一是“取出元素不重复”,二是“与顺序有关”.
4.判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是
无序的,而检验它是否有序的根据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应
视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列
=
− − ⋯ −+
!
!
计算.
! − !
(3)计算时应注意利用组合数的性质 = − 简化运算.计算.要点辨析
2.组合数与相应排列数的关系
组合数公式 =
体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算具体的组
合数时会用到.组合数公式
=
!
的主要作用有:
思路 解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列与组合定义的理解,辨
别一个简单问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,
若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是
组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺
序无关.
! − !
(1)计算, 较大时的组合数.
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明,特别地,当 >
性质 = − 转化,减少计算量.
时计算 ,用
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
典例4
+ + ⋯ +
式子
!
A.
+
解析
可表示为( D )
取元素的个数.(2)解决本题是根据排列数的第二个公式
=
!
,应用排列数
− !
公式的阶乘情势时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算.
典型例题
分析计算能力
典例2 (1)用排列数表示 − ൫ − ሻ ⋯ − ൫ ∈ ∗ 且 < ሻ;
= − .
探究点4 组合数、组合数公式及其性质
1.组合数:从个不同元素中取出 ⩽ 个元素的所有不同组合的个数,
叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号 表示.
2.组合数公式及其性质
(1)公式:连乘表示:
阶乘表示:
=
=
=
=
− − ⋯ −+
元素中进行次不放回地取出.
2.取出的个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组
合的特点.
3.辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否
有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,
否则就是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与
= + = ;
−
当 = 时, − + +
= + = .
典型例题
简单问题解决能力
典例3 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合 = ,则集合的子集中含有3个元素的有多少个?
(2)202X年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有
多少张?
解析 (1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.
(2)甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题.
= − .
∴
−
+
+ !
+− !
−
!
− !
=⋅
!
+− !
= −
,
探究点3 组合
一般地,从个不同元素中取出 ⩽ 个元素作为一组,叫做从个
不同元素中取出个元素的一个组合.
要点辨析
1.组合要求个元素是不同的,被取的个元素也是不同的,即从个不同的
要点辨析
1.排列数公式的情势及选择方法
(1)排列数的第一个公式
= − − ⋯ − + 适用于已知
的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.
(2)排列数的第二个公式
解不等式等.
=
!
适用于与排列数有关的证明、解方程、
− !
要点辨析
2.排列数的计算方法
分式的分母是!,分子是个连续自然数的乘积,最大的为 + ,最小的为.
+ + ⋯ +
故
!
= ⋅
+ + ⋯ +
!
= +
.
典型例题
分析计算能力、概括理解能力
−
典例4-2 求值:− + +
选取元素的顺序无关.
4.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法
逐个地将各个组合表示出来.
典型例题
简单问题解决能力
典例3 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合 = ,则集合的子集中含有3个元素的有多少个?
(2)202X年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有
.
思路 解决本题是根据组合数的定义中 ⩽ ,特别地,当 > 时计算 ,用性质
= − 转化,减少计算量.
解析
⩽ − ⩽ ,
由组合数定义知:ቊ
所以 ⩽ ⩽ .
⩽ − ⩽ + ,
又因为 ∈ ∗ ,所以 = 或.
−
当 = 时, − + +
(2)求证:
−
+
解析
(1) ∵ − , − , ⋯ , − 中的最大数为 − ,且共有 − − ሺ −
ሻ + = (个)元素,
∴ − − ⋯ − =
− .
=
证明:(2) ∵
−
+
个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号
表示.
2.排列数公式
∗ , ⩽ ሻ.
连乘情势:
=
−
−
⋯
−
+
∈
阶乘情势:
=
!
.
− !
3.性质
(1) = !, ! =
(2)
=
− !
− !
= −
− .
人教A版同步教材名师课件
排列与组合
---知识探究
探究点1 排列
一般地,从个不同元素中取出 ≤ 个元素,按照一定的顺序排
成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
要点辨析
1.排列的定义包括三个方面:
(1)排列的对象两两不相同;
(2)取出元素;
(3)按一定的顺序排成一列,根据这三个方面进行判断即可.
!
!
.
! − !
(2)性质: = − , + − = +
.
(3)规定: = .
, ∈ ∗ , ⩽ .
要点辨析
1.组合数计算公式的选取技能
(1)涉及具体数字的可以直接用公式
(2)涉及字母的可以用阶乘式
=
=
分析计算能力
典例2 (1)用排列数表示 − ൫ − ሻ ⋯ − ൫ ∈ ∗ 且 < ሻ;
= − .
(2)求证:
−
+
思路 本题要求学生能根据排列数公式的逆用,进行计算与证明.(1)连续正整数的积可
以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选
−
+
= ?可以得到多少个焦点在轴上的双曲线方程
= ?
(3)平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?
可确定多少条射线?
典型例题
思路 解决本题需要先把实际问题抽象成数学问题,根据对排列定义的理解,来推断题目
是不是排列,排列的定义包括三个方面:(1)排列的对象两两不相同;(2)取出元素;(3)
B. +
C. +
D.+
本题根据组合数的特点及其公式进行概括理解和分析计算.
解决本题是根据组合数公式
=
=
− − ⋯ −+
!
,其中最大的是元素的
总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是组合数公式的逆用.
问题,无变化就不是排列问题.
典型例题
估计解释能力、概括理解能力
典例1 判断下列问题是否为排列问题:
(1)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法?若选出3个座位安排三
位客人,又有多少种方法?
(2)从集合 = ⋯ 中,任取两个元素作为, ,可以得到多少个焦点在
轴上的椭圆方程
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正
整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数
(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.
(2)应用排列数公式的阶乘情势时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,
然后计算,这样往往会减少运算量.
典型例题
按一定的顺序排成一列.根据这三个方面进行判断即可.
解析
(1)第一问不是排列问题,第二问是排列问题,“入座”问题同“排队”问题,与顺序有
关.
(2)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.
(3)确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题.
探究点2 排列数、排列数公式及其性质
1.排列数把从个不同元素中取出 ⩽ 个元素的所有不同排列的
2.相同排列的两个条件:
(1)两个排列的元素完全相同.
(2)元素的排列顺序相同.
要点辨析
3.解决问题的关键有两点:一是“取出元素不重复”,二是“与顺序有关”.
4.判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排列是有序的还是
无序的,而检验它是否有序的根据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应
视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列
=
− − ⋯ −+
!
!
计算.
! − !
(3)计算时应注意利用组合数的性质 = − 简化运算.计算.要点辨析
2.组合数与相应排列数的关系
组合数公式 =
体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算具体的组
合数时会用到.组合数公式
=
!
的主要作用有: